JNF

Charakteristisches Polynom berechnen
Eigenräume berechnen
Wenn $AV \neq GV$ Haupträume berechnen
Vom Hauptverktor höchster Stufe Kernkette beginnen
- Multiplizieren mit $A - \lambda I$ gibt nächsten Vektor
In Wechselmatrix neuesten bist zu ältesten Vektor eintragen -> 1sen über der Diagonale

Determinante

2x2 Inversenregel: $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}^{-1} = 1/det(A) \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$

$D_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

$\cos$ auf der Diagonale

$$ b_{j} := a_{j} - \sum_{k=1}^{j-1} \frac{<a_{j}, b_{k}>}{<b_{k}, b_{k}>} \cdot b_{k} $$

Ziehe vom Vektor alle orthogonalen Abhängigkeiten zu bisherigen Vektoren ab

$c_j := \frac{1}{<b_{j}, b_{j}>} \cdot b_j$

Berechne einfachrere Matrix $B = A + A^T$ auf
$\mathcal{X}_B(x)$ und Eigenwerte von $B$ berechnen
- Eigenwerte $\lambda = \pm 2$ von $B$ entsprechen den Eigenwerten $\lambda = \pm 1$ von $A$. Die algebraischen Vielfachheiten bleiben erhalten.
- Paare von Eigenwerte $\lambda \in (-2,2)$ entsprechen einem Drehkästchen / einem komplexen Eigenwert in $A$. Es gilt $\cos \alpha = \frac{1}{2} \lambda$ und $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos \alpha}$
Stelle ENF / INF $\widetilde{A}$ auf
Berechne Eigenräume von $B$
- Benutze $B$ als Matrix im Kern!
Stelle für Eigenwerte $\lambda = \pm 2$ mit dem GSV eine ONB des Eigenraums auf.
Für Eigenwerte $\lambda \in (-2,2)$ muss der zweite Vektor mittels $y = A \cdot x$ berechnet werden. Berechne dann Analog zu den anderen Eigenwerten eine ONB von $[x,A \cdot x]$.
Schreibe die ONB Vektoren in der passenden Reihenfolge in die Wechselmatrix
Für die Drehkästchenvektoren prüfe die Reichenfolge
- $A \cdot v_i$ muss die $i$-te Spalte von $A$ erzeugen
Es gilt $\widetilde{A} = S^{-1} \cdot A \cdot S$