原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter02/section02.html
举个例子,让我们看一下斐波那契数字。他们在中世纪时首先由斐波那契研究。它们由以下条件定义:
对于所有整数参数,我们有
用语言来说,每个 Fibonacci 数是前两个的总和。
这些数字有很多有趣的属性,我们将看看其中两个。
首先在方框 A1 中输入 Fibonacci 数字。 (如果你想稍后看看你现在正在做什么,有标签有帮助。)
添加以下标签:A9 中的 n,B9 中的 F(n),C9 中的黄金比例,D19 中的部分和,以及 E9 中的 F(-n)。
然后在 A10 中输入,在 A11 中输入= A10 + 1。
现在将此列 A 列复制到 A60。
好。现在在 B10 中输入,在 B11 中输入
。然后在 B12 中输入= B10 + B11。
将 B12 向下复制到 B60。
接下来让我们看一下斐波纳契数与其前辈的比率。
通过在 C12 中输入 = B12 / B11 并将其复制到 C60 来执行此操作。
你看到了什么?
让我们弄清楚你看到的数字是多少。假设 B41 中的内容是倍于 B40 中的内容,并且 B42 中的内容类似地大约是
乘以 B41 中的大约
B40。
这意味着 B(40)= B(42)= F(42)= F(41)+ F(40)= xB(40)+ B(40)。除以 B(40),我们得到二次方程
。因此,我们得到的比率
是这个等式的解。你所看到的这个等式的更大解决方案被称为“黄金比率”。
现在尝试以下操作:在 D10 输入,在 D11 输入 = B11 + D10 。将列 D 向下复制到 D60。
您在 D 列中得到的是斐波那契数字与索引(在 A 列中)之间的总和。你对这笔钱怎么说?将 B 列中的条目与 D 列中的条目进行比较,并描述它们之间的关系。另请注意,D11 中的条目, = B11 + D10 ,如此处所示复制到 D 列,产生 B 列中条目的部分和。这意味着 D50 中的条目,例如是总和第一个斐波纳契数。
这是你可以做的其他事情。 Fibonacci 数的定义属性是
。我们也可以把它写成
。这允许我们用负参数定义斐波纳契数。因此
,
等。
因此将放入 E10,将
放入 E11,然后输入 = E10-E11。 然后将 E12 从 E 列复制到 E60。
E 栏中的条目将是负的 Fibonacci 数字,其中 A 列中有参数。
关于负面论证斐波纳契数,你能说些什么?
顺便说一句,具有正参数的斐波那契数字计算网格中
相同多米诺骨牌插入
的不同方式的数量,因此每个多米诺骨牌覆盖两个相邻的盒子,并且没有盒子被覆盖两次。
<button aria-controls="fibonacci-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#fibonacci-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button">显示表</button>
Number of steps1010 25 50Number of digits after decimal point105 10 15
练习:
2.1 在您自己的机器上设置这一切。
2.2 证明 Fibonacci 数字计算网格将
多米诺骨牌插入
的不同方式的数量,以便每个多米诺骨牌覆盖两个相邻的方框。
2.3 定义一个序列的收敛性,该序列反映斐波纳契数与其前辈的比率属性,你在[C]栏中看到
2.4 该程序产生上述二次方程的解。给定任何具有整数系数的二次方,我们可以产生如上所述的递归,并将其替换为 B4 并将其复制下来,看看它发生了什么。尝试用一些样方法来做这个,并找到另一个我们得到像斐波那契数字那样的解决方案,而另一个我们没有。立方会发生什么?