原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html
我们对积分的导数感兴趣
和
之间的区域只是一个条子,其中
非常接近
。所以
和
之间的这个区域的区域只是
,其中
是条子的宽度,
是它的高度,到第一个近似值。
这告诉我们的导数,即参数
中正弦函数积分的导数,是这个区域除以
,即
。
完全相同的结果适用于任何函数,其参数值足够接近,它与
的值尽可能接近。 (这些被称为连续函数)适用于所有
之间的集成限制。
这个结果是被称为微积分的基本定理。它说:如果你区分一个函数的积分,那么在包含积分的闭合区间中的参数
处是连续的(这是条件,如果值非常接近)如果你想
足够接近
),你可以在论证
中找回被积函数的值
。
另一种说法是:**上限为变量的积分,**是我们刚刚定义的一个区域,是其被积函数的反导数,当该被积函数是连续的时。
这意味着积分函数然后将结果与上限区分开来,返回函数。
我们也可以以相反的顺序做出相同的声明。
假设我们从可微分函数开始,并形成其导数
,并将此导数积分到某处,比如
和
。
换句话说,假设我们形成
为了看到这一点,请记住,如果在参数
中是可微分的,那么
足够小,我们可以达到任何所需的精度:
如果我们将之间的间隔切割成适合于每个
值的
给出的宽度切片,我们可以总结方程
任何一侧对所有切片的贡献。我们对每个切片使用相同的值
上面最后一个等式中正负项的总和将给出小切片中面积的总和。这笔钱将“望远镜”。来自一个切片的左项将是具有相反符号的前一切片的右项;这两个将相互抵消,我们将只从第一个和最后一个切片获得贡献。这意味着:
这是基本定理的标准形式。
这个“基本定理”有什么用?
这个定理及其类似物在更高维度上的使用在历史上是如此重要,以至于它们不能被夸大。我们将在这里忽略这些。出于我们的目的,这个定理的主要用途是允许我们评估积分,即曲线下的区域,用于大量的被积函数。
什么被积分 ?
对于初学者,我们可以积分我们可以识别为导数的任何被积函数。
例如,正弦是减去余弦的导数。将上面的最后一个等式应用于这个事实,我们得到了
我们用作例子的原始区域是到
的正弦积分。这是\(\ cos(0) - \ cos(1)\)或
。
我们还能识别出什么?
3.反正切,正切和反正弦的导数,以及更多。
练习:计算如下定义的积分:
13.5 写下一些可怕的函数。区分它。现在请一位朋友(前朋友?)积分你的结果。你会知道答案!