原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html
假设我们有两种动物。 型动物吃
型。我们认为,在没有
类型的动物的情况下,
类型的动物将无法进食,并会死亡或离开以避免这样做。另一方面,我们假设在没有
类动物的情况下,
类型将有更好的生存机会,并将经历人口增长。
设代表我们
型动物区域的种群。在没有
类型生物的情况下,最简单的模型是
种群的变化是
本身的负数倍:
同样,在没有生物的情况下,对于某些
,
类型的群体
行为的简单模型将显示增加和服从,
如果或
为
,
和
之间的相互作用必须是
。最简单的相互作用模型是
中
每单位时间的变化对某些
的
的贡献,
对某些
的影响
HTG12]。
对于这种情况,我们最简单的模型就是这种形式
和
那么我们可以对这个模型中这些人群的行为说些什么呢?
我们可以先寻找稳态解决方案。当两个导数都是时会发生这些情况。当发生这种情况时,两个物种的种群保持不变。这种解决方案称为方程的固定点。
如果或
中的小偏差趋于消失并且至少不向外螺旋,则认为定点解是稳定的。您可以通过数字“积分”这些方程式来研究此固定点的稳定性,对于您选择的
,
,
和
的值。从
和
的值开始,从固定点略微偏离并向前移动,发现
和
完全像在积分中一样(在第 14 章中讨论过) ]),使用左手规则。
如果在这个平面上有一个轨道,没有其他轨道可以越过它,因为在一个共同点上,两者的导数是相同的,这意味着轨道在之后是相同的。
练习:使用电子表格进行设置,并检查此结论。
例如,如果人口突然从其固定点值减少,你可以定性地看到会发生什么。这导致
从其固定点处的
值减少,从而群体
减少。这反过来导致
的增加。因此,如果
是用于绘制轨道的垂直坐标,从固定点下方开始,轨道绕其逆时针移动。
您甚至不需要电子表格来查看解决方案的行为方式。给定起点,您可以从中绘制一个箭头,指向其切线为该点处
导数与
导数之比的方向。然后沿该箭头选择一个小距离的点,并重复这些步骤。您将在
平面中生成系统的近似轨道。
如何发挥作用在很大程度上取决于两个人口从减少中恢复的速度。
一个有趣的案例是苍蝇是猎物,鸟类是食用它们的捕食者。如上所述,如果减少飞行种群,也会减少鸟类数量。然而,苍蝇种群恢复相对较快,大约几周,而鸟类种群恢复数年。因此,鸟类种群往往会在短时间内下降,但只能缓慢地再次上升到它们的固定点值。这意味着苍蝇种群会在相当长的时间内增加,并且大部分时间都会花在远高于固定点值的水平上。因此,除非非常短暂,否则杀死苍蝇的活动并不是减少苍蝇种群的有效方法。