manacher.md

前言

求解回文字符串的算法,本库中直接给出回文字段的求解

问题

Manacher解决的问题:求解回文字段

算法简介

Manacher算法的核心是基于这样一个事实

j是i关于id的对称点,i位于id的回文字段内，则i的回文字段长度取决于j的回文字段长度

             ---------j--------id---------i--------

               -mx-------------id--------------mx

文半径数组P

回文半径:一个回文串中最左或最右位置的字符与其对称轴的距离

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
0	1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

很明显 p[i]-1最长回文串的长度

算法流程

算法的实现分为如下几个步骤

预处理

为字符串b添加起始符号和间隔符号,得到处理后的字符串S

b="abbahopxp"
S="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#"

求回文半径数组P

很明显,字符J的回文半径我们已知为p[j],id的回文半径为p[id],我们只需求出p[i]的回文半径即可

根据p[j]的长度，有如下三种情况可以讨论

• p[j]位于-mx以外,很明显,因为id为回文串,根据对称性,p[i]的长度至少为 [-mx,j],也就是mx-i

    -p[j]---j---p[j]
        -mx-------------id--------------mx

那p[i]的长度可以超过mx吗？显然不可以，如果p[i]的长度可以超过mx,那么根据对称性,p[id]左侧应该更长,显然不可以

这种情况下

p[i] = min(mx - i,p[j]) = mx - i 

• p[j] 位于-mx 以内,很明显 p[i]的长度应该等于p[j]

            -p[j]----j----p[j]
        -mx-------------------id--------------------mx

那p[i]的长度可以更长吗？显然不可以 ，否则p[j]的长度应该更长

这种情况下

p[i] = min(mx-i,p[j]) = p[j]

• p[j] 恰好和-mx重合,很明显,p[i]的长度至少为p[j],也就是mx-i的长度

      -p[j]----j----p[j]
        -mx-------------------id--------------------mx

那么p[i]的长度可以更长吗,很明显可以

这种情况下 p[i] = min(mx-i,p[j])+... = p[j] + ...

算法实现

id:=0
mx := p[id]+id

for i := 1; i < len(s); i++ {
	//there are 2 situations:
	//		case 1:i<mx p[i] = min(mx-i,p[j])
	//		case 2:i>=mx,we do nothing
	if i < mx {
		p[i] = min(mx-i, p[2*id-i])
	} else {
		p[i] = 1
	}

	//find the LPS when i is the center
	for i+p[i] < len(s) && s[i-p[i]] == s[i+p[i]] {
		p[i]++
	}

	//update mx and id if the right board of LPS of i is biggerthan the right board of LPS of id
	if i+p[i] > mx {
		id = i
		mx = id + p[id]
	}
}