abelsche-kategorien.txt

=== Projektivität in Mod(O_X) versus QCoh(X)

http://mathoverflow.net/questions/200251/is-a-locally-free-sheaf-projective-in-the-category-of-mathcal
o-x-modules-wh
projektiv in QCoh(X) impliziert nicht projektiv in Mod(O_X)


=== Hereditäre abelsche Kategorien

* Eine abelsche Kategorie A heißt genau dann hereditär, wenn alle Ext^{>=2}
  verschwinden.

* Sei A eine hereditäre abelsche Kategorie und lambda : K_0(A) --> Z eine
  lineare Abbildung. Dann ist die Unterkategorie B derjenigen X mit

      lambda(X) = 0  und  lambda(X') <= 0 für alle Unterobjekte X' von X

  abgeschlossen unter Kernen, Kokernen, direkten Summen und Erweiterungen.
  Ext^1'e werden in ihr genauso berechnet wie in A.


=== Aufsteigende und absteigende Kettenbedingung

* Sei X ein Objekt in einer abelschen Kategorie A. Dann gilt

      Sub(X in A^op) ~~ Sub(X in A)^op

  vermöge (U "^-->" X) |--> ker(X -->> U).

* Beim Übergang von A zu A^op vertauscht sich also die aufsteigende
  Kettenbedingung für Unterobjekte in eine absteigende.

* Wenn man möchte, kann man noch Quotientenobjekte ins Spiel bringen;
  aber ich kenne die Konvention nicht: Möchte man Quot(X) ~~ Sub(X)
  oder Quot(X) ~~ Sub(X)^op haben?


=== Exaktheit von direkten Summen und Produkten

* In Ab sind direkte Produkte, aber nicht direkte Summen exakt:
  Habe zwar eine Abbildung H(oplus) --> oplus H, aber diese ist nicht
  surjektiv.


=== Faserprodukt

* Seien A --> C und B --> C exakt. Dann ist auch A x_C B wieder abelsch.
  Kerne und Kokerne werden komponentenweise genommen.

* Aber Achtung: Auch, wenn A, B und C genügend viele Projektive besitzen,
  ist das fürs Faserprodukt überhaupt nicht klar.


=== Projektiver Erzeuger

Sei P projektiv. Dann sind äquivalent:

1. Hom(P, __) ist treu.
2. Für alle M: Hom(P, M) = 0 ==> M = 0.

1. ==> 2. ist klar: Denn allgemein reflektiert ein additiver treuer Funktor
Nullheit.

2. ==> 1. geht so: Sei f : M --> N mit Hom(P, f) = 0.
Betrachte 0 --> ker(f) --> M --> im(f) --> 0.
Da P projektiv ist, ist auch Hom(P, M) --> Hom(P, im(f)) surjektiv.
Die Komposition Hom(P, M) --> Hom(P, im(f)) --> Hom(P, N) ist Null.
Also ist der Mono Hom(P, im(f)) --> Hom(P, N) Null und somit ist Hom(P, im(f)) = 0.
Fertig.


=== Endomorphismen von Modulkategorien

https://math.berkeley.edu/~amathew/semicontinuity.pdf, Prop. 2.1:
Sei T : A-Mod --> A-Mod ein rechtsexakter A-linearer Funktor der mit beliebigen
direkten Summen vertauscht. Dann ist T isomorph zu einem Funktor der Form __
tensor N.


=== Homologische Dimension

* dim Vect(k) = 0.

* dim Mod(Z) = 1.

* Wie hängt die Dimension von Kom(A) von der von A ab?

  Diese ist größer. Zum Beispiel zerfällt in Kom(k) nicht jede kurze exakte
  Sequenz.

* dim Coh(k) = 0 auch konstruktiv.

* dim Coh(Z) = 1 auch konstruktiv.

  Genauso bei k[X], wenn k faktoriell.

* Die derivierte Kategorie erinnert sich übrigens nicht mehr an die Dimension.
  Siehe derivierte-kategorie.txt.


=== Natürliche Trafos zwischen additiven Funktoren

Seien F, G : A --> B additive Funktoren zwischen additiven Kategorien.
Sei eta : F --> G eine natürliche Transformation. Dann gilt automatisch:

    eta_{X oplus Y} = eta_X oplus eta_Y,

unter Verwendung der Kompatibilitätsisos zwischen F, G und oplus.

Das folgt aus den Natürlichkeitsdiagrammen für die Inklusionen und
Projektionen.


=== Einbettungstheorem von Freyd--Mitchell

* Topostheoretischer Beweis steht im Anhang von Exact categories,
  Theo Bühler, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0723086909000395.


=== Kohomologie ist exakt in der Mitte

Algebra, Paolo Aluffi, Seite 600.


=== Gegenbeispiele

* Epi, der kein Kokern ist: Z --> Q in der Kategorie der Ringe.


=== Ringrekonstruktion

* Aus Mod(R) kann man Z(R) rekonstruieren, klar: als Endomorphismenmonoid
  des Identitätsfunktors.

* Aus Mod(R) kann man nicht R rekonstruieren, denn ist P ein e.e. projektiver
  R-Modul vom Rang 1, so ist Mod(R) --> Mod(R), M |-> M tensor P eine
  Äquivalenz, die R auf P schickt.
  http://math.stackexchange.com/questions/215012/whats-the-definition-of-a-free-module-in-an-abelian-category


=== Ein allgemeiner Homomorphiesatz

Sei f : X --> Y ein Morphismus in einer abelschen Kategorie. Dann stehen

(1) die Unterobjekte U von X mit ker(f) <= U  und
(2) die Unterobjekte V von Y mit V <= im(f)

in kanonischer Eins-zu-Eins-Beziehung, vermöge U |-> f[U] und V |-> f^(-1)[V].

* Ein Korollar ist zum Beispiel, dass die Unterobjekte von X/X'
  genau die Unterobjekte von X, die über X' liegen, sind.
  Wende dazu das Resultat auf die kanonische Projektion X --> X/X' an.


=== Serresche Quotientenkategorien

* Eine Serresche Unterkategorie B ist eine volle Unterkategorie,
  welche das Nullobjekt enthält und abgeschlossen unter
  Unterobjekten, Quotientenobjekten und Extensionen ist.

* Man erhält eine falsche Definition, wenn man für exakte Sequenzen
  X --> Y --> Z (ohne äußere Nuller) fordert, dass genau dann Y in B liegt,
  wenn es X und Z tun. Dann sind zum Beispiel die endlichen Gruppen keine
  Serresche Unterkategorie von Ab, wie die Sequenz 0 --> Z/(2) --> Z oplus Z/(2)
  zeigt.

  Wenn man nur fordert, dass für solche exakten Sequenzen "<==" gilt, wird die
  Definition wieder richtig.

* Definiere für feste Objekte (X,Y) auf der Menge

      { (X', Y') | X/X' in B, Y' in B }

  die Ordnung (X',Y') <= (X'',Y'') :<==> (X'' <= X' und Y' <= Y'').

  Dann ist diese Menge gerichtet. Sie ist bewohnt durch (X,0).
  Eine obere Schranke zu (X',Y'), (X'',Y'') ist (X' cap X'', Y' + Y'').

* Sind Y' und Y'' Unterobjekte von Y, welche zu B gehören, so
  gehört auch Y + Y'' zu B. Denn:

  1. 0 --> Y' --> Y' oplus Y'' --> Y'' --> 0, also gehört Y' oplus Y'' zu B.
  2. Y' + Y'' ist ein Quotient von Y' oplus Y''.

* Sind X' und X'' Unterobjekte von X, sodass X/X' und X/X'' zu B gehören,
  so gehört auch X/(X' cap X'') zu B. Denn:

  1. X'/(X' cap X'') ist ein Unterobjekt von X/X'', gehört also zu B.
  2. 0 --> X'/(X' cap X'') --> X/(X' cap X'') --> X/X' --> 0.

* Für einen additiven exakten Funktor F : A --> C sind äquivalent:
  1. F(X) = 0 für alle X aus B.
  2. F(f) Iso für alle f mit ker(f), cok(f) in B.

  1. ==> 2.: ker(F(f)) = F(ker(f)) = 0, genauso mit cok.
  2. ==> 1.: Der Nullmorphismus X --> X hat Kern und Kokern X.

* A/B kann man wohl auch so realisieren:
  Objekte: die von A.
  Morphismen: Hom_{A/B}(X,Y) = Hom(X,Y) modulo Morphismen, die über ein Objekt
  aus B faktorisieren.

  Das sieht man wohl so: Man hat einen kanonischen Funktor von A in die über
  diese Art und Weise definierte Kategorie. Dieser schickt die Objekte aus B
  auf Null, steigt also (wenn er denn exakt ist!) zu einem Funktor von A/B ab.
  Es ist klar, dass dieser dann voll ist. Treu ist er, da er *nur* die Objekte
  aus B auf Null schickt. Denn faktorisiert id_X über ein Objekt Y aus B, gibt
  es also p und i mit pi = id, so ist 0 --> ker p --> Y -p-> X --> 0 eine
  (sogar zerfallende) kurze exakte Sequenz. Wesentliche Surjektivität ist
  sowieso klar.

* Mohamed Barakat, Markus Lange-Hegermann: Wenn Zugehörigkeit von Objekten zu B
  entscheidbar ist, und A konstruktiv abelsch ist, so ist auch A/B konstruktiv
  abelsch. Die Morphismen in A/B werden dabei durch dynamische Gabriel-Morphismen
  repräsentiert, nicht über die Definition mit dem induktiven Limes.

  (Die Entscheidbarkeit der Gleichheit von Morphismen in A/B ist sogar mit dem
  naiven Modell über die Definition klar: Ein Morphismus ist Null, wenn sein
  Bild Null ist; die vor- und nachgeschalteten Isomorphismen ändern nichts am
  Bild, weswegen auch das Bild des tatsächlich zugrunde liegenden Morphismus
  betrachtet werden kann; nun kann einfach geprüft werden, ob das in A
  berechnete Bild in B liegt.)

* Ab/Torsion ist Q-Vect, vermöge Skalarerweiterung auf Q.

* Ist Ab/p-Torsion äquivalent zu Z[p^(-1)]-Mod? Habe zumindest einen treuen
  Funktor. Wird von Mike Prest im Fall p = 2 bestätigt (Seite 465). (Denke
  dran, nur die Annihilierung durch Potenzen zu fordern!)

* Welchen Gleichungslöser für rationale Matrizen bekommt man, wenn man in
  Ab/Torsion statt Q-Vect rechnet?

  Zum Beispiel: Sei eine rationale Matrix A gegeben. Wir wollen herausfinden,
  ob A surjektiv ist. Dazu müssen wir prüfen, ob der Kokern von A Null ist.
  Äquivalent ist die Frage, ob der Z-Kokern eines gewissen Vielfachen von A,
  welches nur ganzzahlige Einträge hat, ein Torsionsmodul ist.
  Das bedeutet: In der Smithschen Normalform dürfen keine Nuller vorkommen.
  Okay; das ist auch ein anderweitig bekanntes Kriterium.

* Bewahrt denn der Projektionsfunktor A --> A/B Injektive oder Projektive?
  Reflektieren tut er Injektive jedenfalls nicht, wie das Beispiel Ab -->
  Ab/Torsion zeigt.

* Manchmal hat der Projektionsfunktor einen Rechtsadjungierten S,
  den "section functor". Dann gilt also Hom_{A/B}(Q(X), Q(Y)) =
  Hom_A(X, SQ(Y)), womit man keinen Limesprozess mehr durchführen muss.

  Für den Fall (A = Ab, B = Torsionsgruppen) ist S durch Skalareinschränkung
  gegeben:

      Hom_Q(M tensor Q, N) = Hom_Ab(M, N)

  für alle abelschen Gruppen M und Q-Vektorräume N.

* Es gibt eine natürliche Trafo colim Ext_A^n(M', N/N') --> Ext^n_{A/B}(M,N).
  Wenn es einen Schnittfunktor gibt, ist die für n = 1 ein Iso (für n = 0
  sowieso). Unter besseren Bedingungen erhält man für "saturierte" Objekte
  sogar eine Isomorphie in allen Graden. Steht in Mohameds Bericht in
  Oberwolfach2.pdf.

* Eine exakte Sequenz von abelschen Kategorien ist ein Diagramm der Form
  B --> A --> A/B. (Siehe Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory.)
  Achtung, eine solche induziert im Allgemeinen keine exakte Sequenz von
  derivierten Kategorien (Seite 196), sogar nicht im noetherschen und
  artinschen Fall.

* Ein Objekt aus A, das eine endliche Filtrierung mit Quotienten aus B besitzt,
  liegt selbst schon in B. Betrachte dazu die kurzen exakten Sequenzen

      0 --> X^i --> X^{i+1} --> X^{i+1}/X^i --> 0.

* http://arxiv.org/pdf/1409.7051v3.pdf, Seite 4:
  mod-C/eff-C =~ C. Dabei ist C eine abelsche Kategorie, mod-C die Kategorie
  der endlich präsentierten additiven Funktoren (Kokerne von darstellbaren
  Funktoren) C^op --> Ab und eff-C die volle Unterkategorie der effacablen
  Funktoren.

  Es gilt auch: Mod-C/Eff-C =~ Ind-C.

  Und eine abgeleitete Version gibt es auch: D^b(mod-C)/Thick(eff-C) =~ D^b(C).

* Sei B eine Serresche Unterkategorie in einer abelschen Kategorie A.
  Sei D_B(A) = { X in D(A) | H^n(X) in B für alle n }.

  Dann ist D(A) / D_B(A) --> D(A/B) ist eine Äquivalenz triangulierter
  Kategorien, falls A --> A/B einen Rechtsadjungierten besitzt. (So einen
  Rechtsadjungierten nennt Barakat ja einen Schnittfunktor.) Seite 14 in
  http://arxiv.org/pdf/1409.7051v3.pdf.

* Jede Klasse B von Objekten kann man zu einer Serreschen Unterkategorie
  abschließen, indem man die gerichtete Vereinigung über die B_n, n in N,
  mit

      B_0     := B
      B_(n+1) := alle Objekte Y die in einer exakten Sequenz X --> Y --> Z
                   mit X und Z in B_n vorkommen sowie das Nullobjekt

  bildet.

  Insbesondere kann man die Klasse der endlich erzeugten abelschen Gruppen auf
  diese Weise abschließen. So erhält man auch konstruktiv eine Serresche
  Unterkategorie, die klassisch mit der Klasse der endlich erzeugten abelschen
  Gruppen übereinstimmt. http://mathoverflow.net/questions/132280/constructive-serre-classes

* Mike Prest (Purity, Spectra and Localisation): Die Kolimesformel
  für die Hom-Mengen in A/B ist analog zur Doppelpluskonstruktion bei der
  Vergarbung (Fußnote 1 auf Seite 464).

* Seien A und A' abelsche Kategorie. Sei A sogar grothendiecksch.
  Sei Q : A --> A' ein exakter Funktor, der einen volltreuen Rechtsadjungierten
  besitzt. Dann induziert dieser Rechtsadjungierte eine Äquivalenz A' --> A/T,
  wobei T = ker(Q).

Literatur:
* Quotient Categories and Localizing Functors, Carl Faith.
  http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-80634-6_17


=== Philosophisches über Ext-Gruppen

David Ben-Zi in http://mathoverflow.net/questions/53000/cohomology-of-structure-sheaves-algebraic-constructible-and-more:
The higher cohomology groups of the structure sheaf (in any context) precisely
capture the category of sheaves which are generated by the structure sheaf --
i.e. all sheaves which can be made by taking complexes built out of copies of
the structure sheaf with arbitrary morphisms between them. Namely this
(differential graded) category is equivalent to (dg) modules over the (dg)
algebra made out of the cohomologies (or more precisely the self-Ext complex -
ie the complex calculating the cohomology groups) of the structure sheaf.

In other words, if you want to make global sections into a (derived)
equivalence you have to on the one hand restrict to sheaves generated by the
structure sheaf and on the other consider the target of global sections not
just vector spaces (or complexes) but rather modules over the Ext algebra of
the structure sheaf (where the sheaf cohomology of any sheaf naturally lands).

There's a theorem (see [Keller, On differential graded categories] for the dg
setting, [Schwede-Shipley, Stable model categories are categories of modules]
for the model setting and Lurie, DAG II for the oo-categorical setting) that
"enriched" versions of triangulated categories which are generated by a single
object are equivalent to modules over the endomorphisms of the object (for
abelian categories this is a standard result about endomorphisms of a
projective generator, don't know what's a standard reference).

In any case if you look at the category generated by the structure sheaf, it
will then be given by modules over derived endomorphisms of O, i.e., over
derived global sections of O, i.e. over "derived global functions"..


=== Zusammenhang zwischen Ext^1_klassisch(O, F) und H^1(X; F)

Einer kurzen exakten Sequenz 0 --> F --> ? --> O --> 0 kann man das Bild von 1
unter delta : H^0(X; O) --> H^1(X; F) aus der langen exakten Kohomologiesequenz
zuordnen.

Ist umgekehrt eine Klasse [omega] aus H^1(X; F) gegeben, kann man eine kurze
exakte Sequenz 0 --> F --> I --> cok --> 0 derart finden, dass [omega] unter
delta ein Urbild s in Γ(cok) hat. (Wähle etwa I als ein injektives Objekt und
nutze H^1(X; I) = 0.) Dann ist die Sequenz

    0 --> F --> I x_cok O --> O --> 0

die gesuchte. Siehe http://stacks.math.columbia.edu/download/sites-cohomology.pdf#03F0.

Beispiel auf S^1: Die Sequenz 0 --> R --> R \oplus Möb --> R --> 0 sollte exakt
und nicht zerfallend sein, wobei Möb die Garbe der stetigen (!) Funktionen der
Form f * kanonischer Richtungsvektor in Möbiusfaser mit f lokal konstant ist.


=== Weiteres über Ext

* Für endlich erzeugte Moduln M über lokalen noetherschen Ringen (A,k) gilt:
  M frei <==> Ext^1(M, k) = 0.

  Siehe kommutative-algebra.txt.


=== Fehlende Projektive

http://math.stackexchange.com/a/1225695/61604
As a module category, Rep(Q) has enough projectives, while Coh(P1)) does not
have any nonzero projective objects at all: By Serre duality we have
Ext^1_{Coh(P1)}(F,G) = Hom_{Coh(P1)}(G(2),F)^, so if F is projective, then
Hom(-, F) = 0 hence F = 0 by considering id_F in Hom(F,F).


=== Vervollständigung einer additiven zu einer abelschen Kategorie

* Ja, es gibt zu jeder additiven (oder auch nur Ab-angereicherten) Kategorie
  eine abelsche Vervollständigung. Eine Möglichkeit, diese zu erhalten, ist wie
  folgt:

  Sei C Ab-angereichert.
  Sei R(C) die endliche Kovervollständigung von C, d.h. die volle
  Unterkategorie der kompakten Objekte in [C^op, Ab] -- das soll die
  Funktorkategorie aller Ab-angereicherten Funktoren sein.
  Sei L(C) die endliche Vervollständigung, d.h. L(C) = R(C^op)^op.

  Dann gilt: RL(C) = LR(C), und das ist die freie abelsche Kategorie erzeugt
  von C.

  Das sagt Freyd in
  http://permalink.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/2857.

* Eine andere Konstruktion steht in
  http://mathoverflow.net/questions/52881/is-anything-known-about-the-closure-of-an-additive-category-by-adding-all-the.

* Die freie abelsche Kategorie auf einem Erzeuger ist nach Freyd
  [Ab_fp, Ab]_fp, die volle Unterkategorie der kompakten Funktoren Ab_fp --> Ab.

  Man könnte auch denken, dass Ab_fp selbst die freie abelsche Kategorie auf
  einem Erzeuger ist. Immerhin ist es eine recht natürliche Kategorie. Aber zum
  Beispiel ist jeder exakte Funktor Ab_fp --> F_2-Vect Null -- denn in der
  Quellkategorie ist Multiplikation mit 2 auf Z injektiv, also muss das auch in
  der Zielkategorie gelten.

* Die freie Kovervollständigung eines Rings R, aufgefasst als
  Ab-angereicherte Kategorie mit nur einem Objekt, ist die Kategorie der
  (Rechts-)R-Moduln. Die endliche Kovervollständigung ist die Kategorie der
  endlich präsentierten (Rechts-)R-Moduln.
  http://permalink.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/2857

* Mike Prest: Die freie abelsche Kategorie auf einer kleinen Ab-angereicherten
  Kategorie A ist [A-mod, Ab]^fp. Die Einbettung von A in diese Kategorie ist
  durch die doppelte Yoneda-Einbettung gegeben. (Prests Buch ist super gut!)

* Die freie abelsche k-Kategorie auf einem Erzeuger ist k-Vect^fd, wenn
  k ein Körper ist. Alle kurzen exakten Sequenzen zerfallen in dieser
  Kategorie. Daher sind alle Ab-angereicherten Funktoren aus ihr heraus
  automatisch exakt.

* http://www.math.rwth-aachen.de/~kuenzer/bachelor_stein.pdf
  Adelmans Konstruktion, super ausführlich.

  Achtung: Er schreibt, Mod(Z) besitze nicht genügend Injektive. Ich weiß
  nicht, was er damit meint.

* Weitere Aufarbeitung:
  * http://users.uoi.gr/abeligia/hha.pdf
  * Definable Additive Categories: Purity and Model Theory, Mike Prest.
    http://books.google.de/books?id=b9PTAwAAQBAJ&pg=PA15&lpg=PA15&dq=%22free+abelian+category%22&source=bl&ots=HBbjs6iT4R&sig=AmNR7WupT-hKeaU-SXxORg2nnCc&hl=de&sa=X&ei=isNjVLXNJdWvaaCegvgF&ved=0CCEQ6AEwAw
    http://books.google.de/books?id=975-OzA4YrQC&pg=PA448&lpg=PA448&dq=%22free+abelian+category%22&source=bl&ots=3Wt8073lWx&sig=_8uNFhBV2aG18jFEFyKrCuWdA7g&hl=de&sa=X&ei=isNjVLXNJdWvaaCegvgF&ved=0CCkQ6AEwBg

* Krass aufgepimpt wird das in
  http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/AG-Krause/publications_krause/habil.pdf
  (Kap. 1).


=== Freie abelsche Kategorie

* Kann in ihr rechnen und so Theoreme beweisen:
  https://arxiv.org/pdf/2103.08379.pdf

* Dowkers Formel fürs Schlangenlemma, siehe etwa dort Remark 2.10


=== Nächste Schritte

* Ext-Gruppen anschaulich verstehen, zumindest Ext^1.
  Insbesondere auch Zusammenhang zu H^1 (Garbenkohomologie) verstehen.
* Zusammenhang zur Picardgruppe verstehen.
* Obige Bemerkung von Ben-Zi verstehen:
  a) im abelschen Fall.
  b) im dg-Fall.