-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
abelsche-kategorien.txt
463 lines (311 loc) · 18.3 KB
/
abelsche-kategorien.txt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
=== Projektivität in Mod(O_X) versus QCoh(X)
http://mathoverflow.net/questions/200251/is-a-locally-free-sheaf-projective-in-the-category-of-mathcal
o-x-modules-wh
projektiv in QCoh(X) impliziert nicht projektiv in Mod(O_X)
=== Hereditäre abelsche Kategorien
* Eine abelsche Kategorie A heißt genau dann hereditär, wenn alle Ext^{>=2}
verschwinden.
* Sei A eine hereditäre abelsche Kategorie und lambda : K_0(A) --> Z eine
lineare Abbildung. Dann ist die Unterkategorie B derjenigen X mit
lambda(X) = 0 und lambda(X') <= 0 für alle Unterobjekte X' von X
abgeschlossen unter Kernen, Kokernen, direkten Summen und Erweiterungen.
Ext^1'e werden in ihr genauso berechnet wie in A.
=== Aufsteigende und absteigende Kettenbedingung
* Sei X ein Objekt in einer abelschen Kategorie A. Dann gilt
Sub(X in A^op) ~~ Sub(X in A)^op
vermöge (U "^-->" X) |--> ker(X -->> U).
* Beim Übergang von A zu A^op vertauscht sich also die aufsteigende
Kettenbedingung für Unterobjekte in eine absteigende.
* Wenn man möchte, kann man noch Quotientenobjekte ins Spiel bringen;
aber ich kenne die Konvention nicht: Möchte man Quot(X) ~~ Sub(X)
oder Quot(X) ~~ Sub(X)^op haben?
=== Exaktheit von direkten Summen und Produkten
* In Ab sind direkte Produkte, aber nicht direkte Summen exakt:
Habe zwar eine Abbildung H(oplus) --> oplus H, aber diese ist nicht
surjektiv.
=== Faserprodukt
* Seien A --> C und B --> C exakt. Dann ist auch A x_C B wieder abelsch.
Kerne und Kokerne werden komponentenweise genommen.
* Aber Achtung: Auch, wenn A, B und C genügend viele Projektive besitzen,
ist das fürs Faserprodukt überhaupt nicht klar.
=== Projektiver Erzeuger
Sei P projektiv. Dann sind äquivalent:
1. Hom(P, __) ist treu.
2. Für alle M: Hom(P, M) = 0 ==> M = 0.
1. ==> 2. ist klar: Denn allgemein reflektiert ein additiver treuer Funktor
Nullheit.
2. ==> 1. geht so: Sei f : M --> N mit Hom(P, f) = 0.
Betrachte 0 --> ker(f) --> M --> im(f) --> 0.
Da P projektiv ist, ist auch Hom(P, M) --> Hom(P, im(f)) surjektiv.
Die Komposition Hom(P, M) --> Hom(P, im(f)) --> Hom(P, N) ist Null.
Also ist der Mono Hom(P, im(f)) --> Hom(P, N) Null und somit ist Hom(P, im(f)) = 0.
Fertig.
=== Endomorphismen von Modulkategorien
https://math.berkeley.edu/~amathew/semicontinuity.pdf, Prop. 2.1:
Sei T : A-Mod --> A-Mod ein rechtsexakter A-linearer Funktor der mit beliebigen
direkten Summen vertauscht. Dann ist T isomorph zu einem Funktor der Form __
tensor N.
=== Homologische Dimension
* dim Vect(k) = 0.
* dim Mod(Z) = 1.
* Wie hängt die Dimension von Kom(A) von der von A ab?
Diese ist größer. Zum Beispiel zerfällt in Kom(k) nicht jede kurze exakte
Sequenz.
* dim Coh(k) = 0 auch konstruktiv.
* dim Coh(Z) = 1 auch konstruktiv.
Genauso bei k[X], wenn k faktoriell.
* Die derivierte Kategorie erinnert sich übrigens nicht mehr an die Dimension.
Siehe derivierte-kategorie.txt.
=== Natürliche Trafos zwischen additiven Funktoren
Seien F, G : A --> B additive Funktoren zwischen additiven Kategorien.
Sei eta : F --> G eine natürliche Transformation. Dann gilt automatisch:
eta_{X oplus Y} = eta_X oplus eta_Y,
unter Verwendung der Kompatibilitätsisos zwischen F, G und oplus.
Das folgt aus den Natürlichkeitsdiagrammen für die Inklusionen und
Projektionen.
=== Einbettungstheorem von Freyd--Mitchell
* Topostheoretischer Beweis steht im Anhang von Exact categories,
Theo Bühler, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0723086909000395.
=== Kohomologie ist exakt in der Mitte
Algebra, Paolo Aluffi, Seite 600.
=== Gegenbeispiele
* Epi, der kein Kokern ist: Z --> Q in der Kategorie der Ringe.
=== Ringrekonstruktion
* Aus Mod(R) kann man Z(R) rekonstruieren, klar: als Endomorphismenmonoid
des Identitätsfunktors.
* Aus Mod(R) kann man nicht R rekonstruieren, denn ist P ein e.e. projektiver
R-Modul vom Rang 1, so ist Mod(R) --> Mod(R), M |-> M tensor P eine
Äquivalenz, die R auf P schickt.
http://math.stackexchange.com/questions/215012/whats-the-definition-of-a-free-module-in-an-abelian-category
=== Ein allgemeiner Homomorphiesatz
Sei f : X --> Y ein Morphismus in einer abelschen Kategorie. Dann stehen
(1) die Unterobjekte U von X mit ker(f) <= U und
(2) die Unterobjekte V von Y mit V <= im(f)
in kanonischer Eins-zu-Eins-Beziehung, vermöge U |-> f[U] und V |-> f^(-1)[V].
* Ein Korollar ist zum Beispiel, dass die Unterobjekte von X/X'
genau die Unterobjekte von X, die über X' liegen, sind.
Wende dazu das Resultat auf die kanonische Projektion X --> X/X' an.
=== Serresche Quotientenkategorien
* Eine Serresche Unterkategorie B ist eine volle Unterkategorie,
welche das Nullobjekt enthält und abgeschlossen unter
Unterobjekten, Quotientenobjekten und Extensionen ist.
* Man erhält eine falsche Definition, wenn man für exakte Sequenzen
X --> Y --> Z (ohne äußere Nuller) fordert, dass genau dann Y in B liegt,
wenn es X und Z tun. Dann sind zum Beispiel die endlichen Gruppen keine
Serresche Unterkategorie von Ab, wie die Sequenz 0 --> Z/(2) --> Z oplus Z/(2)
zeigt.
Wenn man nur fordert, dass für solche exakten Sequenzen "<==" gilt, wird die
Definition wieder richtig.
* Definiere für feste Objekte (X,Y) auf der Menge
{ (X', Y') | X/X' in B, Y' in B }
die Ordnung (X',Y') <= (X'',Y'') :<==> (X'' <= X' und Y' <= Y'').
Dann ist diese Menge gerichtet. Sie ist bewohnt durch (X,0).
Eine obere Schranke zu (X',Y'), (X'',Y'') ist (X' cap X'', Y' + Y'').
* Sind Y' und Y'' Unterobjekte von Y, welche zu B gehören, so
gehört auch Y + Y'' zu B. Denn:
1. 0 --> Y' --> Y' oplus Y'' --> Y'' --> 0, also gehört Y' oplus Y'' zu B.
2. Y' + Y'' ist ein Quotient von Y' oplus Y''.
* Sind X' und X'' Unterobjekte von X, sodass X/X' und X/X'' zu B gehören,
so gehört auch X/(X' cap X'') zu B. Denn:
1. X'/(X' cap X'') ist ein Unterobjekt von X/X'', gehört also zu B.
2. 0 --> X'/(X' cap X'') --> X/(X' cap X'') --> X/X' --> 0.
* Für einen additiven exakten Funktor F : A --> C sind äquivalent:
1. F(X) = 0 für alle X aus B.
2. F(f) Iso für alle f mit ker(f), cok(f) in B.
1. ==> 2.: ker(F(f)) = F(ker(f)) = 0, genauso mit cok.
2. ==> 1.: Der Nullmorphismus X --> X hat Kern und Kokern X.
* A/B kann man wohl auch so realisieren:
Objekte: die von A.
Morphismen: Hom_{A/B}(X,Y) = Hom(X,Y) modulo Morphismen, die über ein Objekt
aus B faktorisieren.
Das sieht man wohl so: Man hat einen kanonischen Funktor von A in die über
diese Art und Weise definierte Kategorie. Dieser schickt die Objekte aus B
auf Null, steigt also (wenn er denn exakt ist!) zu einem Funktor von A/B ab.
Es ist klar, dass dieser dann voll ist. Treu ist er, da er *nur* die Objekte
aus B auf Null schickt. Denn faktorisiert id_X über ein Objekt Y aus B, gibt
es also p und i mit pi = id, so ist 0 --> ker p --> Y -p-> X --> 0 eine
(sogar zerfallende) kurze exakte Sequenz. Wesentliche Surjektivität ist
sowieso klar.
* Mohamed Barakat, Markus Lange-Hegermann: Wenn Zugehörigkeit von Objekten zu B
entscheidbar ist, und A konstruktiv abelsch ist, so ist auch A/B konstruktiv
abelsch. Die Morphismen in A/B werden dabei durch dynamische Gabriel-Morphismen
repräsentiert, nicht über die Definition mit dem induktiven Limes.
(Die Entscheidbarkeit der Gleichheit von Morphismen in A/B ist sogar mit dem
naiven Modell über die Definition klar: Ein Morphismus ist Null, wenn sein
Bild Null ist; die vor- und nachgeschalteten Isomorphismen ändern nichts am
Bild, weswegen auch das Bild des tatsächlich zugrunde liegenden Morphismus
betrachtet werden kann; nun kann einfach geprüft werden, ob das in A
berechnete Bild in B liegt.)
* Ab/Torsion ist Q-Vect, vermöge Skalarerweiterung auf Q.
* Ist Ab/p-Torsion äquivalent zu Z[p^(-1)]-Mod? Habe zumindest einen treuen
Funktor. Wird von Mike Prest im Fall p = 2 bestätigt (Seite 465). (Denke
dran, nur die Annihilierung durch Potenzen zu fordern!)
* Welchen Gleichungslöser für rationale Matrizen bekommt man, wenn man in
Ab/Torsion statt Q-Vect rechnet?
Zum Beispiel: Sei eine rationale Matrix A gegeben. Wir wollen herausfinden,
ob A surjektiv ist. Dazu müssen wir prüfen, ob der Kokern von A Null ist.
Äquivalent ist die Frage, ob der Z-Kokern eines gewissen Vielfachen von A,
welches nur ganzzahlige Einträge hat, ein Torsionsmodul ist.
Das bedeutet: In der Smithschen Normalform dürfen keine Nuller vorkommen.
Okay; das ist auch ein anderweitig bekanntes Kriterium.
* Bewahrt denn der Projektionsfunktor A --> A/B Injektive oder Projektive?
Reflektieren tut er Injektive jedenfalls nicht, wie das Beispiel Ab -->
Ab/Torsion zeigt.
* Manchmal hat der Projektionsfunktor einen Rechtsadjungierten S,
den "section functor". Dann gilt also Hom_{A/B}(Q(X), Q(Y)) =
Hom_A(X, SQ(Y)), womit man keinen Limesprozess mehr durchführen muss.
Für den Fall (A = Ab, B = Torsionsgruppen) ist S durch Skalareinschränkung
gegeben:
Hom_Q(M tensor Q, N) = Hom_Ab(M, N)
für alle abelschen Gruppen M und Q-Vektorräume N.
* Es gibt eine natürliche Trafo colim Ext_A^n(M', N/N') --> Ext^n_{A/B}(M,N).
Wenn es einen Schnittfunktor gibt, ist die für n = 1 ein Iso (für n = 0
sowieso). Unter besseren Bedingungen erhält man für "saturierte" Objekte
sogar eine Isomorphie in allen Graden. Steht in Mohameds Bericht in
Oberwolfach2.pdf.
* Eine exakte Sequenz von abelschen Kategorien ist ein Diagramm der Form
B --> A --> A/B. (Siehe Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory.)
Achtung, eine solche induziert im Allgemeinen keine exakte Sequenz von
derivierten Kategorien (Seite 196), sogar nicht im noetherschen und
artinschen Fall.
* Ein Objekt aus A, das eine endliche Filtrierung mit Quotienten aus B besitzt,
liegt selbst schon in B. Betrachte dazu die kurzen exakten Sequenzen
0 --> X^i --> X^{i+1} --> X^{i+1}/X^i --> 0.
* http://arxiv.org/pdf/1409.7051v3.pdf, Seite 4:
mod-C/eff-C =~ C. Dabei ist C eine abelsche Kategorie, mod-C die Kategorie
der endlich präsentierten additiven Funktoren (Kokerne von darstellbaren
Funktoren) C^op --> Ab und eff-C die volle Unterkategorie der effacablen
Funktoren.
Es gilt auch: Mod-C/Eff-C =~ Ind-C.
Und eine abgeleitete Version gibt es auch: D^b(mod-C)/Thick(eff-C) =~ D^b(C).
* Sei B eine Serresche Unterkategorie in einer abelschen Kategorie A.
Sei D_B(A) = { X in D(A) | H^n(X) in B für alle n }.
Dann ist D(A) / D_B(A) --> D(A/B) ist eine Äquivalenz triangulierter
Kategorien, falls A --> A/B einen Rechtsadjungierten besitzt. (So einen
Rechtsadjungierten nennt Barakat ja einen Schnittfunktor.) Seite 14 in
http://arxiv.org/pdf/1409.7051v3.pdf.
* Jede Klasse B von Objekten kann man zu einer Serreschen Unterkategorie
abschließen, indem man die gerichtete Vereinigung über die B_n, n in N,
mit
B_0 := B
B_(n+1) := alle Objekte Y die in einer exakten Sequenz X --> Y --> Z
mit X und Z in B_n vorkommen sowie das Nullobjekt
bildet.
Insbesondere kann man die Klasse der endlich erzeugten abelschen Gruppen auf
diese Weise abschließen. So erhält man auch konstruktiv eine Serresche
Unterkategorie, die klassisch mit der Klasse der endlich erzeugten abelschen
Gruppen übereinstimmt. http://mathoverflow.net/questions/132280/constructive-serre-classes
* Mike Prest (Purity, Spectra and Localisation): Die Kolimesformel
für die Hom-Mengen in A/B ist analog zur Doppelpluskonstruktion bei der
Vergarbung (Fußnote 1 auf Seite 464).
* Seien A und A' abelsche Kategorie. Sei A sogar grothendiecksch.
Sei Q : A --> A' ein exakter Funktor, der einen volltreuen Rechtsadjungierten
besitzt. Dann induziert dieser Rechtsadjungierte eine Äquivalenz A' --> A/T,
wobei T = ker(Q).
Literatur:
* Quotient Categories and Localizing Functors, Carl Faith.
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-80634-6_17
=== Philosophisches über Ext-Gruppen
David Ben-Zi in http://mathoverflow.net/questions/53000/cohomology-of-structure-sheaves-algebraic-constructible-and-more:
The higher cohomology groups of the structure sheaf (in any context) precisely
capture the category of sheaves which are generated by the structure sheaf --
i.e. all sheaves which can be made by taking complexes built out of copies of
the structure sheaf with arbitrary morphisms between them. Namely this
(differential graded) category is equivalent to (dg) modules over the (dg)
algebra made out of the cohomologies (or more precisely the self-Ext complex -
ie the complex calculating the cohomology groups) of the structure sheaf.
In other words, if you want to make global sections into a (derived)
equivalence you have to on the one hand restrict to sheaves generated by the
structure sheaf and on the other consider the target of global sections not
just vector spaces (or complexes) but rather modules over the Ext algebra of
the structure sheaf (where the sheaf cohomology of any sheaf naturally lands).
There's a theorem (see [Keller, On differential graded categories] for the dg
setting, [Schwede-Shipley, Stable model categories are categories of modules]
for the model setting and Lurie, DAG II for the oo-categorical setting) that
"enriched" versions of triangulated categories which are generated by a single
object are equivalent to modules over the endomorphisms of the object (for
abelian categories this is a standard result about endomorphisms of a
projective generator, don't know what's a standard reference).
In any case if you look at the category generated by the structure sheaf, it
will then be given by modules over derived endomorphisms of O, i.e., over
derived global sections of O, i.e. over "derived global functions"..
=== Zusammenhang zwischen Ext^1_klassisch(O, F) und H^1(X; F)
Einer kurzen exakten Sequenz 0 --> F --> ? --> O --> 0 kann man das Bild von 1
unter delta : H^0(X; O) --> H^1(X; F) aus der langen exakten Kohomologiesequenz
zuordnen.
Ist umgekehrt eine Klasse [omega] aus H^1(X; F) gegeben, kann man eine kurze
exakte Sequenz 0 --> F --> I --> cok --> 0 derart finden, dass [omega] unter
delta ein Urbild s in Γ(cok) hat. (Wähle etwa I als ein injektives Objekt und
nutze H^1(X; I) = 0.) Dann ist die Sequenz
0 --> F --> I x_cok O --> O --> 0
die gesuchte. Siehe http://stacks.math.columbia.edu/download/sites-cohomology.pdf#03F0.
Beispiel auf S^1: Die Sequenz 0 --> R --> R \oplus Möb --> R --> 0 sollte exakt
und nicht zerfallend sein, wobei Möb die Garbe der stetigen (!) Funktionen der
Form f * kanonischer Richtungsvektor in Möbiusfaser mit f lokal konstant ist.
=== Weiteres über Ext
* Für endlich erzeugte Moduln M über lokalen noetherschen Ringen (A,k) gilt:
M frei <==> Ext^1(M, k) = 0.
Siehe kommutative-algebra.txt.
=== Fehlende Projektive
http://math.stackexchange.com/a/1225695/61604
As a module category, Rep(Q) has enough projectives, while Coh(P1)) does not
have any nonzero projective objects at all: By Serre duality we have
Ext^1_{Coh(P1)}(F,G) = Hom_{Coh(P1)}(G(2),F)^, so if F is projective, then
Hom(-, F) = 0 hence F = 0 by considering id_F in Hom(F,F).
=== Vervollständigung einer additiven zu einer abelschen Kategorie
* Ja, es gibt zu jeder additiven (oder auch nur Ab-angereicherten) Kategorie
eine abelsche Vervollständigung. Eine Möglichkeit, diese zu erhalten, ist wie
folgt:
Sei C Ab-angereichert.
Sei R(C) die endliche Kovervollständigung von C, d.h. die volle
Unterkategorie der kompakten Objekte in [C^op, Ab] -- das soll die
Funktorkategorie aller Ab-angereicherten Funktoren sein.
Sei L(C) die endliche Vervollständigung, d.h. L(C) = R(C^op)^op.
Dann gilt: RL(C) = LR(C), und das ist die freie abelsche Kategorie erzeugt
von C.
Das sagt Freyd in
http://permalink.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/2857.
* Eine andere Konstruktion steht in
http://mathoverflow.net/questions/52881/is-anything-known-about-the-closure-of-an-additive-category-by-adding-all-the.
* Die freie abelsche Kategorie auf einem Erzeuger ist nach Freyd
[Ab_fp, Ab]_fp, die volle Unterkategorie der kompakten Funktoren Ab_fp --> Ab.
Man könnte auch denken, dass Ab_fp selbst die freie abelsche Kategorie auf
einem Erzeuger ist. Immerhin ist es eine recht natürliche Kategorie. Aber zum
Beispiel ist jeder exakte Funktor Ab_fp --> F_2-Vect Null -- denn in der
Quellkategorie ist Multiplikation mit 2 auf Z injektiv, also muss das auch in
der Zielkategorie gelten.
* Die freie Kovervollständigung eines Rings R, aufgefasst als
Ab-angereicherte Kategorie mit nur einem Objekt, ist die Kategorie der
(Rechts-)R-Moduln. Die endliche Kovervollständigung ist die Kategorie der
endlich präsentierten (Rechts-)R-Moduln.
http://permalink.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/2857
* Mike Prest: Die freie abelsche Kategorie auf einer kleinen Ab-angereicherten
Kategorie A ist [A-mod, Ab]^fp. Die Einbettung von A in diese Kategorie ist
durch die doppelte Yoneda-Einbettung gegeben. (Prests Buch ist super gut!)
* Die freie abelsche k-Kategorie auf einem Erzeuger ist k-Vect^fd, wenn
k ein Körper ist. Alle kurzen exakten Sequenzen zerfallen in dieser
Kategorie. Daher sind alle Ab-angereicherten Funktoren aus ihr heraus
automatisch exakt.
* http://www.math.rwth-aachen.de/~kuenzer/bachelor_stein.pdf
Adelmans Konstruktion, super ausführlich.
Achtung: Er schreibt, Mod(Z) besitze nicht genügend Injektive. Ich weiß
nicht, was er damit meint.
* Weitere Aufarbeitung:
* http://users.uoi.gr/abeligia/hha.pdf
* Definable Additive Categories: Purity and Model Theory, Mike Prest.
http://books.google.de/books?id=b9PTAwAAQBAJ&pg=PA15&lpg=PA15&dq=%22free+abelian+category%22&source=bl&ots=HBbjs6iT4R&sig=AmNR7WupT-hKeaU-SXxORg2nnCc&hl=de&sa=X&ei=isNjVLXNJdWvaaCegvgF&ved=0CCEQ6AEwAw
http://books.google.de/books?id=975-OzA4YrQC&pg=PA448&lpg=PA448&dq=%22free+abelian+category%22&source=bl&ots=3Wt8073lWx&sig=_8uNFhBV2aG18jFEFyKrCuWdA7g&hl=de&sa=X&ei=isNjVLXNJdWvaaCegvgF&ved=0CCkQ6AEwBg
* Krass aufgepimpt wird das in
http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/AG-Krause/publications_krause/habil.pdf
(Kap. 1).
=== Freie abelsche Kategorie
* Kann in ihr rechnen und so Theoreme beweisen:
https://arxiv.org/pdf/2103.08379.pdf
* Dowkers Formel fürs Schlangenlemma, siehe etwa dort Remark 2.10
=== Nächste Schritte
* Ext-Gruppen anschaulich verstehen, zumindest Ext^1.
Insbesondere auch Zusammenhang zu H^1 (Garbenkohomologie) verstehen.
* Zusammenhang zur Picardgruppe verstehen.
* Obige Bemerkung von Ben-Zi verstehen:
a) im abelschen Fall.
b) im dg-Fall.