deformationen.txt

* http://math.stanford.edu/~vakil/727/
  18.727: Deformation theory and moduli spaces

* Manin-Motto
* Direkt über Ext-Klasse
* Grund für H^0(T_X) = 0

* Motivation für f^#: f sollte glatt sein!

* Inwieweit ist eine Extension

      [ 0 --> T_X --> ? --> O_X --> 0 ]

  dasselbe wie der Isomorphietyp einer flachen C[eps]-Algebra A auf X mit
  A/(eps) ~~ O_X (über C)?


=== Flachheit über dualen Zahlen

Ein k[eps]-Modul M ist genau dann flach über k[eps], wenn M/epsM --eps--> M
injektiv ist.

"==>": Klar, denn k[eps]/eps --eps--> k[eps] ist injektiv.

"<==": Betrachte die exakte Sequenz 0 --> k -eps-> k[eps] -eval0-> k --> 0.
Tensoriert mit M ergibt das 0 --> M/epsM --> M --> M/epsM --> 0, immer noch
exakt nach der Voraussetzung. Also ???. Siehe
https://hilbertthm90.wordpress.com/2010/09/26/first-order-deformations/.

Das sagt auch Exercise 8 in
http://www.math.rice.edu/~hassett/teaching/567spring07/567lec5.pdf.


=== Kodaira-Spencer

* Konkretes Beispiel:
  http://mathoverflow.net/questions/22345/kodaira-spencer-map-in-a-concrete-instance

* Konstruktion mit Ext:
  http://mathoverflow.net/questions/74500/construction-of-kodaira-spencer-map

* Timos Lieblingskonstruktion:
  Eduard Looijenga. A minicourse on moduli of curves.
  http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Looijenga/Looijenga.pdf


=== Infinitesimale Deformationen

Sei X ein Raum. Dann entsprechen infinitesimale Deformationen von X gerade
Elementen von H^1(X, T_X).

* Wir haben den Morphismus T_X = Der_k(O_X) --> Aut(O_X[eps]/(eps^2)).
  Damit kann man aus einem 1-Zykel mit Werten in T_X ein Verklebedatum für eine
  Garbe auf X, welche lokal isomorph zu O_X[eps]/(eps^2) ist, konstruieren. Das
  wird die Strukturgarbe des deformieten Raums.


=== Obstruktionstheorie

* Motto: Ersetze F erst durch injektive Auflösung. Injektive Garben sind starr.
  So spielt sich die Deformation dann nur noch im Differential ab.


=== Referenzen

* Manetti: http://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/dispense/defomanifold.pdf
* Gross, Huybrechts, Joyce: Calabi-Yau manifolds and related geometries.
* http://thales.math.uqam.ca/~anelm/mat/doc/deformation.pdf