derivierte-kategorie-konstruktiv.txt

* http://mathoverflow.net/questions/50971/how-to-make-ext-and-tor-constructive

* Probleme:
  (1) Wahlen, um Homotopieäquivalenzen zwischen Auflösungen zu konstruieren
  (2) Injektive Auflösungen problematisch (injektiv = divisibel stimmt nicht usw.)
  (3) Auflösungen nicht kanonisch
  (4) Projektive Auflösungen gibt es vielleicht nicht

* 2-sided bar construction
  * siehe auch Weibel, um 8.6.1
* kanonische freie Auflösung

* Ext^n als Äquivalenzklassen geeigneter exakter Sequenzen

* http://arxiv.org/pdf/1003.1943v3.pdf (Barakat, Seite 24):
  (L_q F)(A) := [Ext^q(A, __), F]  (Menge nat. Trafos),
  und Ext über Yoneda.

  Siehe Hilton/Stammbach, Thm. IV.10.1, Seite 157.


=== Möglichkeiten zur Definition abgeleiteter Funktoren

* Delignes Definition (nach
  https://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/ictp2006/lecturenotes/keller.pdf) ist:

  Sei F : A --> B ein additiver Funktor. Dann definieren wir für X in D(A)
  eine Prägarbe H : D(B)^op --> Ab, die ein Objekt L in D(B)^op auf die "Menge"
  der Äquivalenzklassen von "Links-F-Brüchen" schickt, also Diagrammen der Form

          FX'  X'
         ^      ^
      f /        \ s
       /          \
      L            X

  mit s ein Quasiisomorphismus und f in D(B).


=== Äquivalenz zur derivierten Kategorie von Köchern

In Coh(P^1) gibt es ja keine projektiven Objekte (bis aufs Nullobjekt).
Aber D^b(Coh(P^1)) ist äquivalent zu D^b(mod-k[* ==> *]). Und in der abelschen
Kategorie der Darstellungen dieses Köchers gibt es durchaus nichttriviale
Projektive. Außerdem hat in ihr jedes Objekt endlich Länge.


=== Dynamische Theorie von Ext-Funktoren

Desiderata:

* Ext^1 = 0 ==> Sequenz zerfällt

* Lokalität der Ext-Gruppen: Ext^1(M,N)_p = Ext^1(M_p,N_p).

* sowieso: M_m = 0 für alle maximalen Ideale ==> M = 0.

Gibt es eine Sprache, in der man wie gewohnt über Ext-Gruppen reden kann, aber
mit der dann "konkrete Resultate", wie Zerfällungen von Sequenzen, konstruktiv
folgen? (Konkreter Anlass: Brüning, Burban. Coherent sheaves on an elliptic
curve. Beweis von Proposition 2.2.)

* Eine Möglichkeit, Ext^1 konstruktiv zu definieren, geht so:
  Benötige nur eine Surjektion P --> M, wobei P projektiv (zum Beispiel endlich
  frei) ist. Dann folgt nämlich aus der kurzen exakten Sequenz
  0 --> K --> P --> M --> 0, dass

      Ext^1(M, N) := Hom(K, N) / Hom(P, N)

  eine sinnvolle Definition ist (da sie klassisch genau die gewöhnliche
  Ext-Gruppen berechnet).

* Das ist klassisch bekannt. Siehe nLab "satellite".

* Mit dieser Definition kann man explizit zeigen: Ist Ext^1(M, N) = 0,
  so zerfällt jede kurze exakte Sequenz 0 --> N -i-> ? -j-> M --> 0.

  Und zwar so: Habe 0 --> K -a-> P -b-> M --> 0. Da P projektiv ist, gibt
  es p : P --> ? mit jp = b. Wegen der Exaktheit faktorisiert pa über i,
  also gibt es f : P --> N mit if = pa. Da Ext^1(M, N) verschwindet, gibt es
  zu f eine Abbildung g : P --> N mit ga = f.

  Dann ist M --> ?, x |-> p(z) - ig(z), wobei z beliebig mit b(z) = x,
  eine Zerfällung.

* Die Unabhängigkeit der Definition von Ext^1 von der Wahl der Surjektion
  P --> M sollte man elementar zeigen können.

* In Mod(A)_koh kann man konstruktiv Ext-Gruppen berechnen (auch alle höheren)!

* http://mathoverflow.net/questions/139874/pullback-stability-of-internally-projective-objects


=== Injektive Auflösungen

* Injektive Auflösungen sind ja schlecht zugänglich. Aber vielleicht stimmt das nicht.

* Cohomology of projective space seen by residual complex. I-Chiau Huang.
  http://www.ams.org/journals/tran/2001-353-08/S0002-9947-01-02686-1/S0002-9947-01-02686-1.pdf

* Siehe auch ideelle-methoden.txt für ideelle Injektive.

* So findet man Einbettungen in Injektive in Coh(Z): Sei M Kokern von
  Z^n --> Z^m. Dann bettet M injektiv ein in den Kokern von Z^n --> Z^m --> Q^m.
  Dieser ist divisibel, als Quotient der divisiblen Gruppe Q^m. Ganz analog
  läuft es auch für beliebige Moduln. Dann muss man halt nicht-endlich erzeugte
  Gruppen verwenden.

  Kann man wohl auch so schreiben:
  * Sei A = ℤ<X>/R, R ist dabei ein ℤ-Untermodul von ℤ<X>.
  * ℤ<X> bettet in ℚ<X> ein (Einbettung sei i), und das ist divisibel
  * ℤ<X>/R bettet in ℚ<X>/i[R] ein (Achtung, i[R] ist kein ℚ-UVR)
  * ℚ<X>/i[R] ist divisibel

* Und so läuft's in R-Mod: Sei M ein R-Modul. Bette die M zugrundeliegende
  abelsche Gruppe U(M) in eine injektive Gruppe D ein. Dann ist Hom(U(R), U(D))
  injektiv und wir haben eine Injektion M --> Hom(U(R), U(D)).

* Q erfüllt das Tohoku-Kriterium 1.10.1 (in der Kategorie der abelschen
  Gruppen).

* Q ist "injektiv bezüglich" injektiver Abbildungen Z^n --> Z^m.
  Kann auf Smithsche Normalform reduzieren, dann ist es klar.

  Q ist also injektiv bezüglich der Unterkategorie der endlich freien Z-Moduln.

* Habe mal aufgeschrieben: I injektiv in Ab <==> Ext^1(T, I) = 0 für T = Z, Q
  und Z/(n). Stimmt das?

  Dann könnte man Ergebnisse aus ideellen Injektiven extrahieren. Die wären
  dann gültig modulo Primzahlen, die ich vorgeben kann.


=== Berechnung über Ind-Methoden

* On derived functors on categories without enough injectives
  http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404999000250

  Idee: Die Ind-Kategorie hat immer genügend viele Injektive. So kann man den
  abgeleiteten Funktor zunächst in einem allgemeineren Kontext erhalten. Dann
  verwendet man eine Beschränktheitsbedingung, um die Zielkategorie wieder
  kleiner zu bekommen.

  Damit könnte man auch ganz formal (wenn auch noch klassisch?) sowas wie
  RF auf D^b(X) konstruieren, wenn man nur irgendwie weiß, dass RF in genügend
  großen Graden verschwindet.

* Ebenso http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002240499390134F.
  Calculation of derived functors via Ind-categories.

* H. B. Stauffer in http://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0079389,
  Derived functors without injectives: Er geht über eine Vervollständigung
  unter gerichteten (nicht filtrierten) Kolimiten. Die Existenz genügend vieler
  Injektive in der Vervollständigung zeigt er durch Grothendiecks Argument über
  Erzeuger.

* Sei X in K(A). Dann können wir X^+ als den formalen Kolimes

      colim_{X --> X' Qis} X'

  in Ind-K(A) definieren. Die so definierte Zuordnung X |-> X^+
  schickt Quasiisos auf Isos.


=== Erzeuger

Wenn man ein gutes Modell für Hom zwischen Erzeugern, Kegeln zwischen Erzeugern
und so weiter hat, dann kann man abgeleitete Funktoren berechnen, wenn man nur
ihre Werte auf Erzeugern kennt. Auflösungen sind dann unnötig!

Mittlerweile kann ich das präzisieren. Eine endliche Auflösung eines Objekts X
in einer abelschen Kategorie führt dazu, dass man X in der abgeleiteten
Kategorie als einen iterierten Kegel ausdrücken kann. *Die Morphismen sind
dabei völlig explizit angebbar.* Selbstverständlich bewahren abgeleitete
Funktoren RF Kegel, sodass man damit RF(X) berechnen kann. Und zwar rein
mechanisch.

Auch die Wirkung von RF auf Morphismen ist damit berechenbar.

Vorschlag: Vergleiche mit Ergebnissen bzw. Beispielen aus
http://swc.math.arizona.edu/aws/2006/06StillmanNotes.pdf!

Es geht sogar noch mehr. Lass lieber über LF sprechen. Sei eine *unendliche*
Auflösung U^* --> X --> 0 gegeben. Seien die LF(U^i) in nichtpositiven Graden
konzentriert (durch die gute Abschneidung kann man das immer erreichen). Dann
kann man LF(X) angeben. Denn:

Für LF(X)^0 benötigt man nur LF(U^0)^0 und LF(J)^1, wobei J ein eingeschobenes
Bild ist, aber LF(J)^1 ist Null.

Für LF(X)^{-1} benötigt man nur LF(U^0)^{-1} und LF(J)^0. Um LF(J)^0 zu
berechnen, benötigt man nur LF(U^{-1})^0 und LF(U^{-2})^1, wobei letzteres
wieder Null ist.

Und so weiter.

Kann auch alles übertragen auf Auflösungen nach rechts, also 0 --> X --> U^*.
Wenn man dann vom Funktor weiß, dass er Objekte auf >=0-Komplexe abbildet (zum
Beispiel bei RF der Fall), dann geht das sogar auch wieder im Fall, dass die
Auflösung unendlich lang ist.

Nur der Vollständigkeit halber: Sei 0 --> X --> A --> B --> C --> 0.
Füge dann die Bildfaktorisierung A --> J --> B ein. Dann habe folgende
ausgezeichnete Dreiecke:

    A --> J --> X[1] -->
    B --> C --> J[1] -->   (obacht Vorzeichenwechsel!)

Übrigens: Statt Endlichkeit der Auflösung kann man auch fordern, dass die
Kohomologie der Bildkomplexe nach oben (im Fall RF) bzw. nach unten (im Fall LF)
beschränkt ist.

Für eine abelsche Kategorie, in der jedes Objekt eine endliche Auflösung (nach
links oder rechts) durch gewisse Objekte A_i zulässt, gilt: Wenn die
RHom(A_i,A_j) bekannt sind (auch auf Morphismen), dann kann man RHom(X[0],Y[0])
für alle Objekte der abelschen Kategorie berechnen.

Bemerkung: Den Komplex K := (X -alpha-> Y) mit X in Grad 0 und Y in Grad 1 kann
man als Kegel darstellen: von X[-1] --> Y[-1].

Der Komplex (X -alpha-> Y -beta-> Z) mit X in Grad 0, Y in Grad 1 und Z in Grad 2
ist wie als Kegel von

   K[-1] --beta[-2]--> Z[-2]

realisierbar. Und so weiter. Kann also jeden beschränkten Komplex als
iterierten Kegel seiner Komponenten (geeignet verschoben) darstellen.

Fazit: Sind die RHom(A_i,A_j) bekannt (auch auf Morphismen), so kann man auch
alle RHom(K,L) für beliebige beschränkte Komplexe berechnen.

Frage: Setze E := oplus_i A_i. Haben dann diese Beobachtungen etwas damit zu
tun, dass D^b(A) = D^b(REnd(E))?

*** F(beta . pi) = F(beta) . pi'

Sei 0 -> A -alpha-> B -beta-> X -> 0 exakt. Seien LF(A), LF(B) und LF(alpha)
bekannt. Seien ferner die Isos sigma : H^0LF(A) --> F(A) und mu : H^0LF(B) --> F(B)
bekannt. Nach den obigen Überlegungen kann ich dann LF(X) als Kegel K von LF(A) -> LF(B)
berechnen. Ferner kann ich aber auch den Iso H^0(K) -> F(X) angeben. Nämlich:

    [(u,v)] |--> F(beta)(mu([v])).

In der Prüfung der Wohldefiniertheit geht ein, dass F(alpha) . sigma = mu .
H^0LF(alpha).

In der Prüfung der Injektivität geht ein, dass F rechtsexakt ist und dass mu
und sigma bijektiv sind.

In der Prüfung der Surjektivität geht ein, dass F rechtsexakt ist und dass mu
bijektiv ist.

"Induktiv" kann man daher LF(X) *zusammen mit* H^0LF(X) --> F(X) für alle X
berechnen (auch, wenn X nicht nur durch zwei Objekte nach links auflösbar ist).
Aber die Kombination LF + Auflösungen nach rechts scheint nicht zu
funktionieren.


=== Der Fall endlicher Dimension

Sei A ein Ring, sodass Coh(A) auch konstruktiv endliche Dimension hat.

Dann ist es kein Problem, D^b(Coh(A)) zu realisieren:
* Kann immer projektive Ersetzungen finden.
* Für einzelne Objekte sogar freie.
* Damit sind alle LF's berechenbar: Tor, Ext (bedenke: (endlich präsentiert)
  tensor (kohärent) ist kohärent).

Update: Geht auch ohne endliche Dimension! Siehe oben. :-)
Fazit: Wenn LF(A^1) = F(A^1)[0] bekannt, dann LF für alle kohärenten A-Moduln berechenbar.
(Die Stärke liegt aber darin, dass man auch andere Erzeuger verwenden kann.)

Bei Schemata aber gibt es weiterhin folgende Fragen:
* Wie berechne ich lokal freie Auflösungen?
* Was ist mit injektiven Auflösungen?

Die Bemerkung in Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory zur Berechnung
von Rf_* könnte hier sehr relevant sein.

* Sei C ein endlicher Komplex aus flachen Moduln über einem noetherschen Ring,
  dessen Kohomologie in jedem Grad endlich erzeugt ist. Dann gibt es einen
  endlichen Komplex K aus endlich erzeugten flachen Moduln und einen Quasiiso K --> C.

  Siehe https://math.berkeley.edu/~amathew/semicontinuity.pdf, Prop. 1.2.


=== Eine fixe Idee: Sukzessive Quotienten

Eine fixe Idee: Löse Probleme in abelschen Kategorien in sukzessiven
Quotienten. Entweder immer größer werdende oder chinesischer-Restsatz-mäßig in
lauter verschiedenen.


=== Konkret im Computer I

Kann die abelsche Struktur von Modulkategorien implementieren:
* für endlich-dimensionale Vektorräume
* für ... Moduln über Ringen, sodass ich die SNF habe
* für k[X_0, ..., X_n]?
* Allgemein: Benötige, dass der Grundring als Modul über sich selbst kohärent
  ist. Das sind vermutlich prüfersche oder dedekindsche Ringe. Dann ist die
  Kategorie der endlich-präsentierten Moduln abelsch und implementierbar.

Kann die abelsche Struktur von Kategorien kohärenter Modulgarben implementieren:
* für Schemata, die eine endliche Überdeckung durch affine Unterschemata
  zulassen, deren Schnitte selbst wieder affin sind und über deren
  Funktionenringen ich die abelsche Struktur der zugehörigen Modulkategorie
  implementieren kann.

  Das hat einen allgemeineren Grund: 2-Faserprodukte von abelschen Kategorien
  sind auf konstruktive Art und Weise wieder abelsch. (Aber: Kann nicht
  genügend Projektive finden, auch, wenn das in den einzelnen Teilkategorien
  geht!)

  Barakat nennt diese Konstruktion das Čech-Modell. Es ist nicht sehr
  performant.

Kann die abelsche Struktur von Kategorien von Kettenkomplexen implementieren:
* falls ich die abelsche Struktur der zugrundeliegenden abelschen Kategorie
  implementieren kann.

Kann die triangulierte Struktur der Homotopiekategorie implementieren:
* ja, klar; Kegel und Co. kann man einfach hinschreiben. Die "dritte Abbildung"
  kann man für Standarddreiecke vermutlich auch einfach hinschreiben.
  Ein Dreieck muss halt wissen, auf welche Weise es isomorph zu einem
  Standarddreick ist.
* Nullheit von Morphismen kann ich dann entscheiden, wenn ich die Zugehörigkeit
  zum Bild der linearen Abbildung Hom^{-1}(X,Y) --> Hom^0(X,Y) testen kann.
  Wenn X und Y beschränkt sind, genügt dafür, dass ich Gleichungssysteme lösen
  kann.
* Nullheit von Objekten ist damit ebenfalls möglich: Teste, ob id_X Null ist.

Kann die triangulierte Struktur der derivierten Kategorie implementieren:
* ja, denke schon.
* Tests auf Nullheit von Objekten und von Morphismen sind äquivalent,
  denn ???. Ist mir noch nicht klar.

  Zumindest gilt: f = 0 : X --> Y in Kohomologie  <==>  Y --> C(f) ist in Kohomologie ein Mono.

  "==>": Die Kohomologiesequenz für X --> Y --> C(f) --> zeigt sofort die
  Behauptung.

  "<==": Die Komposition X --> Y --> C(f) ist auf jeden Fall 0. Nun ist Y -->
  C(f) in Kohomologie (in jedem Grad) ein Mono. Also ist auch X --> Y in
  Kohomologie Null.

  (Bedenke: Wenn f = 0 in D, dann C(f) = X[1] oplus Y oder ähnlich.)
  
* Test auf Nullheit von Objekten geht im beschränkten Fall so:
  Finde beschränkten quasiisomorphen Komplex aus Injektiven oder Projektiven.
  Teste dann, ob dessen Identitätsmorphismus nullhomotop ist.

Bemerkung: In einer abelschen Kategorie kann man Objekte genau dann auf
Nullheit testen, wenn man Morphismen auf Gleichheit testen kann. (Betrachte
Bilder.)


=== Konkret im Computer II (dg)

Kann ich in A^pretr rechnen, wenn ich in der dg-Kategorie A rechnen kann?
* Ja!
* Homs in A^pretr sind nur Matrizen aus Morphismen in A.

Kann ich in Ho(A) rechnen, wenn ich in A rechnen kann?
* Dazu muss man von den Hom-Homplexen die nullte Kohomologie nehmen können.
* Hinreichend dazu ist, dass die Homs in A kohärente k-Moduln sind.
* Denn man hat folgende Beobachtung: Die Kohomologie von (X --> Y --> Z)
  ist dann wieder kohärent, wenn Y und Z kohärent und X endlich erzeugt ist.
  Vielleicht geht es auch noch schwächer.

Erfüllt dg-D^b(X), X glatt, projektiv, diese Bedingung?
* Kann das nicht sofort sagen.
* Denn I(O_X-Mod) ist ja ein Modell. Injektive sind aber riesig.
* Vielleicht sieht es bei anderen Modellen aber besser aus.
  Im Artikel über den Grothendieckring triangulierter Kategorien wird etwa P(X)
  verwendet, die volle Unterkategorie der perfekten Komplexe; für solche
  Objekte scheint man eine gute Čech-Theorie zu haben.

Erfüllt Coh(X) als k-angereicherte Kategorie diese Bedingung?
* Nicht ganz klar. Überlegen!


=== Minimale Auflösungen

http://mathoverflow.net/questions/162097/computing-the-minimal-free-resolution-of-a-coherent-sheaf-on-projective-space


=== Ext von kohärenten Garben auf dem P^n

* Greg Smith, Computing Global Extension Modules.
  http://www.mast.queensu.ca/~ggsmith/Papers/globalExt.pdf


=== Mohamed Barakat

* http://arxiv.org/pdf/1003.1943v3.pdf R-fpmod
* http://arxiv.org/pdf/math/0701146v2.pdf homalg
* http://arxiv.org/pdf/1202.3337.pdf Gabriel monad
* http://homalg.math.rwth-aachen.de/~barakat/talks/SheafAndLocalCohomology.pdf
* http://arxiv.org/abs/1409.2028 Gabriel morphisms and the computability of
  Serre quotients with applications to coherent sheaves

* Auch interessant: https://www3.nd.edu/~sommese/preprints/HMPSCohom.pdf
  Numerical computation of the dimensions of the
  cohomology of twists of ideal sheaves


=== Nächste Schritte

* Unbedingt http://www.mfo.de/document/1320b/OWR_2013_25.pdf
  durcharbeiten: Mini-Workshop: Constructive Homological Algebra with
  Applications to Coherent Sheaves and Control Theory

* https://arxiv.org/abs/0905.2212
  Castelnuovo-Mumford Regularity and Computing the de Rham Cohomology of Smooth
  Projective Varieties


=== Updates

* https://arxiv.org/abs/2405.03258 "This allows us to construct a homotopy
  colimit functor explicitly. These two functors are "computable",
  specifically, the constructed cylinder functor sends a dg category of finite
  type, i.e., a semifree dg category having finitely many generating morphisms,
  to a dg category of finite type"