derivierte-kategorie.txt

=== Einführungen

* http://math.berkeley.edu/~mhaiman/math256/Derived-Cat-1-5.pdf

* http://www.math.purdue.edu/~lipman/Duality.pdf

* Stabilitätsbedingungen: http://www.math.utah.edu/dc/dc-lecture-notes.pdf


=== Alle Autoäquivalenzen sind sphärische Twists

http://arxiv.org/abs/1603.06717


=== 1- und 2-kategorielle Formulierungen der Lokalisierung
 
Die 1-kategorielle impliziert die 2-kategorielle (siehe guide05.pdf
aus Modellkategorien):
 
* Surjektivität von q : C --> C[W^(-1)] auf Objekten (der 1-kategoriellen
  Lokalisierung) zeigt man so: Betrachte die Kategorie D mit Ob(D) = P(1)
  und genau einem Morphismus zwischen je zwei Objekten. Betrachte die Funktoren
  F : C[W^(-1)] --> D, Y |-> { * | Y in im(q) } und G mit G(Y) = top für alle Y.
  Dann F . q = G . q. Also F = G. Also Y in im(q) für alle Y in C[W^(-1)].
 
* Injektivität von q zeigt man so: Betrachte die Kategorie D mit Ob(D) = Ob(C)
  und genau einem Morphismus zwischen je zwei Objekten. Betrachte den
  offensichtlichen Funktor F : C --> D. Dann ist F = F' . q für ein
  F' : C[W^(-1)] --> D. Also Ob(F) = Ob(F') . Ob(q). Da Ob(F) injektiv ist
  (sogar bijektiv), ist Ob(q) ebenfalls injektiv. 

Die 2-kategorielle impliziert die 1-kategorielle, wenn man noch zusätzlich fordert, dass
Ob(q) : Ob(C) --> Ob(C[W^(-1)]) bijektiv ist:

* Sei ein Funktor F : C --> D mit W |-> Isos gegeben.

  Dann gibt es einen Funktor F' : C[W^(-1)] --> D zusammen mit einem
  natürlichen Isomorphismus eta : F ==> F' . q.

  Definiere einen Funktor F^ : C[W^(-1)] --> D durch

      Y |--> F(q^(-1) Y)
      f |--> eta_{q^(-1) Y'}^(-1) . F'(f) . eta_{q^(-1) Y}.

  Dann gilt F^ . q = F. (Nutze Natürlichkeit von eta.)

* Seien Funktoren G, G' : C[W^(-1)] --> D mit G . q = G' . q =: F gegeben.

  Dann gibt es (genau) einen natürlichen Isomorphismus alpha : G ==> G'
  mit alpha q = id : F ==> F.

  Auf jeden Fall gilt GY = G q q^(-1) Y = G' q q^(-1) Y = G'Y für alle Y aus
  C[W^(-1)].

  Damit kann man die Frage stellen, ob alpha_Y = id_{G Y} ist für alle Y.
  Dem ist in der Tat so:

      alpha_Y = alpha_{q q^(-1) Y} = (alpha q)_{q^(-1) Y} = id_{q^(-1) Y} =
      id_{F q^(-1) Y} = id_{G Y}.

  Also zeigt das Natürlichkeitsdiagramm für alpha, dass Gf = G'f für alle
  Morphismen f.

Etwas ähnliches gibt es auch bei Kan-Erweiterungen. Die 2-kategorielle ist ja
bekannt: (R, eps : R . K ==> T) ist genau dann RKE von K längs T, wenn für alle
(R' : C --> A, eps' : R' . K ==> T) genau ein sigma : R' ==> R mit eps . sigma K = eps'
existiert.

Die 1-kategorielle ist folgende: Es gilt R . K = T, und für alle R' : C --> A
mit R' . K = T gilt R = R'.

* Sei K bijektiv auf Objekten. Dann impliziert die 1-kategorielle die 2-kategorielle.

  Habe id : R . K ==> T.

  Sei R' : C --> A mit eps' : R' . K ==> T gegeben.

  Definiere R^ : C --> A durch Y |-> T K^(-1) Y und

      f |--> eps'_{K^(-1) Y'} . R'(f) . eps'_{K^(-1) Y}^{-1}.

  Dann ist R^ ein Funktor und es gilt R^ . K = T.

  Nach Voraussetzung ist also R = R^. Somit können wir sigma : R' ==> R
  durch sigma_Y := eps'_{K^(-1) Y} definieren. Wegen "R = R^" ist das wirklich
  eine natürliche Transformation. Außerdem gilt trivialerweise eps . sigma K = eps'.

  Ferner ist sigma eindeutig mit dieser Eigenschaft.

* Sei K bijektiv auf Objekten und sei eine RKE (R, eps) im 2-kategoriellen Sinn
  gegeben. Sei eps ein Isomorphismus. (Zum Beispiel, weil die RKE punktweise
  und p genauso treu wie T ist.) Dann lässt sich R abändern zu einem Funktor R^,
  sodass R^ die 1-kategorielle Eigenschaft erfüllt.

  Definiere R^ dazu genau wie eben, nur mit eps statt eps'.
  Dann gilt wieder R^ . K = T.

  Sei R' : C --> A mit R' . K = T gegeben.

  Dann gibt es zu (R', id : R' . K ==> T) ein sigma : R' ==> R
  mit eps . sigma K = id. Also eps_X = sigma_{K X}^(-1) für alle X aus M
  bzw. eps_{K^(-1) Y} = sigma_Y^(-1) für alle Y aus C.

  Die Gleichung "R^ = R'" ist auf Objekten klar.

  Auf Morphismen auch, wenn man ins Natürlichkeitsdiagramm für sigma und in die
  Definition von R^ schaut.


=== Abgeleitete Funktoren als Kan-Erweiterungen

Zumindest in Modellkategorien oder so: Abgeleitete Funktoren sind absolute
(insb. punktweise) Kan-Erweiterungen!

Das ist die These von Emily Riehl in ihrem Buch
http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf.

RF = Lan_Q(Q . F).

Falls Q . F schwache Äquivalenzen auf Isos schickt (d.h. F schwache
Äquivalenzen bewahrt), gibt es RF schon wegen der universellen Eigenschaft der
Lokalisierung.

* Beatriz González thematisiert das in ihrem Artikel /A derivability criterion
  based on the existence of adjunctions/.

* Eine "lokale Definition" findet sich im Stacks Project, derived.pdf,
  Abschnitte 15 und 16. Im Kontext eines exakten Funktors F : D → D' zwischen
  triangulierten Kategorien und einem saturierten multiplikativen System S in D
  sagen die: RF(X) ist genau dann definiert, wenn das System X/S → D'
  wesentlich konstant ist. Das bedeutet, dass der Funktor X/S → D' einen
  absoluten Kolimes besitzt.

  Also Stacks: abscolim_{X → X' in S} F(X')
  Und Emily:   abscolim_{A → X in S⁻¹D} F(A).

  Sei (beta_f)_f Kokegel wie bei Emily. Dann definieren wir alpha_s := beta_{s⁻¹} für s ∈ S.

  Sei (alpha_s)_s Kokegel wie bei Stacks. Dann definieren wir beta_{a;s⁻¹} :=
  Fa ; alpha_s. Das ist wohldefiniert (hängt nicht von der Wahl der
  Faktorisierung ab). Habe aber nicht fertig geprüft, dass es wirklich wieder
  ein Kokegel ist (zu mühsam, weil ich Angst vor der Komposition von Dächern
  habe...).

* Die Bedingung im Stacks Project kocht sich wie folgt runter:

  Genau dann ist ein Objekt K zusammen mit Koprojektionen FX' → K für X → X' in S
  der Wert von RF(X), wenn ein X → X₀ in S und ein Morphismus K → FX₀
  existiert, sodass (K → FX₀ → K) = id und sodass für jeden Morphismus X → X' in S
  ein Morphismus X → X'' in S und Morphismen X₀ → X'', X' → X'' (unter X)
  existieren, sodass (F(X') → F(X'')) = (F(X') → K → F(X₀) → F(X'')).


=== Quelle von Auflösungen

* Syzygien bei Moduln (induziert Auflösungen der zugehörigen Modulgarben)
* Čech-Auflösung von Garben
* Koszul-Auflösung von Quotienten

Beweis, dass man ganze Komplexe auflösen kann, steht zum Beispiel in:
http://math.stackexchange.com/questions/352428/does-every-complex-have-a-quasi-isomorphic-projective-complex


=== Homologische Dimension

* D^*(A) erinnert sich nicht an die homologische Dimension von A. Zum Beispiel
  besagt ja die BGG-Korrespondenz, dass

      D^b(Mod(S(V))) =~ D^b(Mod(Lambda(V^)))  (jeweils graduierte Moduln),

  aber dim Mod(S(V)) = dim(V) während dim Mod(Lambda(V^)) = infty.

* Einzig Nulldimensionalität bleibt erinnert: Denn A ist genau dann
  nulldimensional, wenn A halbeinfach ist, wenn D^*(A) halbeinfach ist.

http://mathoverflow.net/a/57445/31233


=== Dimensionsshifting

Sei 0 --> X --> I^0 --> ... --> I^n --> 0 exakt, wobei I^0, ..., I^{n-1}
injektiv sind. Sei F ein linksexakter Funktor. Dann gilt:

    R^m F(I^n) = R^{m+n} F(X) für m >= 1.

Damit kann man zum Beispiel für eine abelsche Kategorie mit genügend vielen
Injektiven und Projektiven zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Alle Ext^{n+1} verschwinden.
2. Alle Ext^{>= n+1} verschwinden.
3. Jedes Objekt besitzt eine projektive Auflösung der Länge <= n.
4. Jedes Objekt besitzt eine injektive Auflösung der Länge <= n.

Es ist klar, dass 3 und 4 jeweils 1 und 2 implizieren.

Gelte 1. Wir wollen 3. nachweisen. Fange dazu an, eine projektive Auflösung von
einem beliebigen Objekt X zu bauen, nimm für P^n aber einfach den Kern. Dann
ist Ext^1(P^n, T) = Ext^{n+1}(X, T) = 0 für alle Objekte T, also ist P^n
projektiv.

Gelte 1. Wir wollen 4. nachweisen. Dazu anfangen, injektive Auflösung zu bauen.
Rechne Ext^1(T, I^n) = Ext^{n+1}(T, X) = 0.


=== Skalarerweiterung

* http://bib.math.uni-bonn.de/downloads/bms/BMS-400.pdf
  Derived categories and scalar extensions, Doktorarbeit von Sosna.


=== Serre-Funktor

* Hom(A, B) = Hom(B, SA)^.

* Admissible Unterkategorien von triangulierten Kategorien mit Serre-Funktor
  besitzen auch einen Serre-Funktor, siehe Lemma 2.3 in
  http://arxiv.org/pdf/1404.2105v1.pdf.


=== Einschränkung von abgeleiteten Funktoren auf D^b

Siehe Huybrechts, Cor. 2.68: Ist RF(A) beschränkt für alle Objekte A,
so ist auch RF(A^*) beschränkt für alle beschränkten Komplexe A^*,
also steigt RF zu einem Funktor D^b --> D^b ab. (Mit "beschränkt" ist natürlich
"beschränkt in der Kohomologie" gemeint.)

Das folgt sofort aus der Spektralsequenz

    R^p F (H^q(A^*))  ===>  R^n F (A^*),

denn diese ist in einem gewissen endlichen Bereich konzentriert (erhalte
q-Bereich durch Beschränktheitsvoraussetzung an A^* und p-Bereich durch
Beschränktheitsvoraussetzung an RF(Objekt).)

* Ein Trick, um zu zeigen, dass zwei abgeleitete Funktoren gleich sind,
  wenn man schon eine natürliche Trafo zwischen ihnen hat: Unter gewissen
  Voraussetzungen genügt es, die Isomorphie auf Objekten der Form X[0]
  nachzurechnen.
  http://www.math.purdue.edu/~lipman/Duality.pdf "way-out lemma" (1.11.3)


=== D^b, D^+ und D

Mit dem Lemma III.2.10 aus Gelfand/Manin erhält man die volltreuen Einbettungen

    Kom^b[qis^(-1)] --> Kom^+[qis^(-1)] --> Kom[qis^(-1)].

Das wesentliche Bild der Komposition besteht gerade aus den Komplexen mit
beschränkter Kohomologie. (Eigentlich muss man überall K statt Kom schreiben.)
So folgt also

    Kom^b[qis^(-1)] = Kom[qis^(-1)]_beschr.Koh.

Dabei verwendet, dass die Qis'se auch in Kom^b ein lokalisierendes System
bilden.

* Sei in einem ausgezeichneten Dreieck die Kohomologie der ersten beiden
  Objekte in Grad <= 0 konzentriert. Dann ist es auch die des dritten Objekts.

* Sei in einem ausgezeichneten Dreieck die Kohomologie der zweiten beiden
  Objekte in Grad >= 0 konzentriert. Dann ist es auch die des ersten Objekts.


=== D^* und Unterkategorien

* Sei A eine volle exakte Unterkategorie von B. Existiere für jede Inflation
  X --> Y in B mit X in A ein Morphismus Y --> X' mit X' in A sodass die
  Komposition X --> Y --> X' eine Inflation in A ist. Dann ist D^b(A) --> D^b(B)
  volltreu.


=== Kohomologische Funktoren, zugrundeliegender Komplex, D^b-Anreicherung

http://mathoverflow.net/questions/61650/cohomological-functor-from-triangulated-category


=== Dualisieren in Modulkategorien

Amnon Yekutieli
A Course on Derived Categories
http://arxiv.org/abs/1206.6632


=== Vergleich mit voller Unterkategorie der Komplexe mit B-Kohomologie

Cohomological Theory of Crystals Over Function Fields
Gebhard Böckle, Richard Pink
Seite 36
https://books.google.de/books?id=EqGqJcFhqbIC&lpg=PA31&ots=NtFkaYdH90&dq=derived%20functor%20complex%20of%20f-acyclic&hl=de&pg=PA36#v=onepage&q=derived%20functor%20complex%20of%20f-acyclic&f=false


=== Unbeschränkte derivierte Kategorie einer exakten Kategorie

Konstruktion in http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/neemder.pdf
(von Neeman).


=== Motivation für derivierte Kategorien

* http://pages.saclay.inria.fr/alban.quadrat/seminar/Barakat.pdf
  Unter dem Gesichtspunkt von derivierten Äquivalenzen

  Auch: "The ability of derived equivalences to relate two completely different
  ABELian categories is an invitation for computer algebra to change worlds;
  abandoning data structures with an unnecessary overhead in favor of more
  compact representations which speed up computations considerably."
  http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/symbolicdata/projekte/

* Einige Invarianten faktorisieren über die derivierte Kategorie:
  K-Theorie, Hochschild-(Ko-)Homologie.
  Außerdem topologische K-Theorie, und damit die Summe der geraden und die
  Summe der ungeraden Betti-Zahlen (http://arxiv.org/pdf/math/0001043v2.pdf).
  Außerdem geeignete direkte Summen über die Hodge-Zerlegung (Huybrechts Prop. 5.39).

  Aber: Die derivierte Kategorie alleine erlaubt noch keine Berechnung dieser
  Invarianten (auch nicht mit ihrer triangulierten Struktur). Damit das klappt,
  benötigt man eine dg-Anreicherung.

  Angeblich ist das für K-Theorie beispielhaft in Thomason--Trobaugh
  vorgemacht.

  http://arxiv.org/pdf/math/0601185v5.pdf

* http://www.mi.ras.ru/~orlov/papers/Uspekhi2003.pdf
  "Passing from Abelian categories to their derived categories allows us to
  solve many problems related to difficulties arising in the study of natural
  functors. Among the first examples, we mention the creation of the global intersection
  theory and the proof of the Riemann-–Roch theorem. These results, achieved by
  Grothendieck and his co-authors [41], were made possible by the introduction
  of the triangulated category of perfect complexes."

  Ebenso: Riemann--Hilbert-Korrespondenz.

* Klar, Komposition von derivierten Funktoren.

  Aus R^p G und R^q F kann man nicht R^n(G . F)(X) rekonstruieren (damit das
  geht, muss man die gesamte Spektralsequenz kennen, also noch alle
  Differentiale). Sehr wohl aber kann man aus RG und RF den total derivierten
  Funktor R(G . F) rekonstruieren.

* Berechnung von RF aus (nicht-toller) Auflösung ist einfach;
  im klassischen Fall hat man nur sowas wie die
  Hyperkohomologie-Spektralsequenz.

* RF(X) ist zwar bis auf Homotopieäquivalenz bestimmt, wenn man sich darauf
  beschränkt, nur Auflösungen durch Injektive zu verwenden. Aber für
  allgemeinere Auflösungen durch F-azyklische Objekte ist das Ergebnis nur bis
  auf Quasi-Isos bestimmt.

* "The point, I guess, is that applying a functor F is certainly a thing that
  inverts F-isomorphisms, but there's no guarantee that it's the universal such
  thing. You want the universal such thing because you're a category theorist
  and universal constructions are intrinsically important to you."
  http://mathoverflow.net/a/173569/31233


=== Verdier-Quotient

* http://therisingsea.org/notes/TriangulatedCategories.pdf
  Offensichtlich super Quelle.

  Auch lesenswert: Die Doktorarbeit von Daniel Murfet.
  http://www.therisingsea.org/thesis.pdf

* http://personal.us.es/fmuro/htag.pdf

* D(A) = K(A)/azyklische.

* Morphismen im Verdier-Quotient T/S sind Dächer, wobei der
  "falsch laufende Morphismus" so sein muss, dass sein Kegel in S liegt.

* Für triangulierte Funktoren F : K(A) --> C ist es äquivalent, ob
  sie Quasiisomorphismen auf Isos schicken oder azyklische Komplexe auf Null
  schicken.

  Invertieren sie Quasiisos, so insbesondere Quasiisos der Form 0 --> X.

  Schicken sie azyklische Komplexe auf Null, so insbesondere den Kegel zu einem
  Quasiiso.

* Übrigens, Achtung: In der gewöhnlichen Zickzack-Konstruktion ist die
  Äquivalenzrelation nicht einfach die, dass komponierbare Morphismen
  zusammengefasst werden können. Auf diese Weise würde man die Inversen nämlich
  "frei" hinzufügen. Das soll aber nicht geschehen. Daher muss man stattdessen
  kompliziertere Faserproduktsachen machen. Siehe Seite 14 von
  http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.
  Achtung, stimmt diese Warnung? Siehe auch Seite 15 von
  http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf.
  Glaube nicht, dass die Warnung stimmt. Wenn man ein Quadrat der Form ft = sg
  hat, mit s und t Quasiisos, so folgt allein über die einfachen Beziehungen
  schon s^(-1) f = g t^(-1): s^(-1) f = s^(-1) f t t^(-1) = s^(-1) s g t^(-1) = g t^(-1).


=== Hom-Mengen als filtrierte Kolimiten

* In K(A), A abelsch, ist die Kategorie der Quasiisomorphismen
  X --> X', wobei X fest ist und X' läuft, filtriert. (Genauso für Quasiisos
  X' --> X.)

  Obere Schranken werden gerade durch die Eigenschaft "lokalisierendes System"
  gegeben. Wie Möchtegernkodifferenzkerne zustande kommen, weiß ich aber nicht.
  Update: Steht auf Seite 11 von
  http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/233bnotesIurie.pdf.

* Es gilt: Hom_{D(A)}(X, Y) = colim Hom_{K(A)}(X, Y') = colim Hom_{K(A)}(X', Y).

* Injektive bzw. projektive Auflösungen sind terminale bzw. initiale Objekte
  in diesen Indexkategorien (wenn man sich auf geeignet beschränkte Komplex
  einschränkt).


=== Bewahrung filtrierter Kolimiten

Das nLab sagt: Sei F : A --> B ein rechtsexakter Funktor, wobei B eine
AB5-Kategorie ist. Dann bewahrt L_n(F) filtrierte Kolimiten genau dann, wenn
filtrierte Kolimiten von projektiven Objekten in A F-azyklische Objekte sind.

Beweis: http://mathoverflow.net/questions/97658/left-derived-functors-commute-with-filtered-colimits

* Als Konsequenz bewahrt zum Beispiel Tor filtrierte Kolimiten.


=== Struktur der derivierten Kategorie

Beh.: Sei C eine abelsche Kategorie mit Ext^i(X,Y) = 0 für alle i >= 2, X, Y in C.
Dann ist jedes Objekt aus D^b(C) isomorph zu seinem Homologiekomplex.

Bew.: Induktion über die Amplitude von M. Schreibe kanonische Filtrierung hin:

    tau^(<= n-1) M ---------> tau^(<= n) M
              ^                 /
              1\               /
                \             /
                 \           v
                   H^n(M)[-n]

Diese Dreiecke zerfallen jeweils: Nach Voraussetzung sind die Grad-1-Pfeile
Nullmorphismen.

Aber es stimmt nicht, dass die Kategorie D^b(C) äquivalent zur unendlichen
direkten Summe von C's ist -- das ist genau dann der Fall, wenn C halbeinfach
ist, d.h. wenn schon alle Ext^i mit i >= 1 verschwinden.

[ In /A Computer Algebra Approach to sheaves over Weighted Projective
Lines/ wird behauptet, dass D^b(C) äquivalent ist zur vollen Unterkategorie
add bigcup_n C[n], also zur kleinsten additiven Unterkategorie von D^b(C),
welche alle C[n] umfasst. Update: Jup, das ist ja dieselbe Aussage. ]

Bem.: Gelfand-Manin diskutiert das "genau dann" nur für die volle (statt
beschränkte) derivierte Kategorie. Sollte aber trotzdem stimmen.

Motto: Ein Objekt der derivierten Kategorie besteht aus seinen
Kohomologieobjekten und kohomologischer "Kleber", der diese zusammenhält. Wenn
alle Ext^2 verschwinden, gibt es keinen Kleber.

Quelle:
* Bridgeland, http://www.mat.unimi.it/Spring_School/program2.htm
* Shapira, Categories and Homological Algebra, Kor. 7.2.9.
  http://webusers.imj-prg.fr/~pierre.schapira/lectnotes/HomAl.pdf

Hier ist eine Konsequenz dieser Struktureinsicht. Seien F, G : D^b(A) --->
D^b(B) zwei exakte Funktoren. Sei eta : F --> G eine natürliche Transformation.
Sei eta auf Komplexen, die in Grad 0 konzentriert sind und dort ein Objekt aus
einer gewissen Klasse A' stehen haben, ein Iso. Dann ist eta auf allen
Komplexen, deren Kohomologie an jeder Stelle aus A' ist, ein Iso.

Verwende dazu Induktion über die Komplexamplitude und das Fünferlemma.

Eine verwandte Aussage erhält man, wenn an die dumme Abschneidung verwendet:
Unter denselben Voraussetzungen ist eta auf allen Komplexen, die aus Objekten
aus A' bestehen, ein Iso.


=== Zwei-Term-Komplexe in D^b(Vect)

Sei in D^b(Vect) ein ausgezeichnetes Dreieck der Form

    X --> Y --> Z -->

gegeben. Seien X und Y H^0-Komplexe. Dann gilt:

    Z = H^(-1)(Z)[1] oplus H^0(Z)[0]
      = ker(H^0(X) --> H^0(Y)) oplus cok(H^0(X) --> H^0(Y)).


=== Lustige Beispiele

* Cat[Äquivalenzen^(-1)] ist "Ho(Cat)", d.h. Morphismen sind Isoklassen
  von Funktoren. Ist nicht völlig offensichtlich, siehe Seite 14ff. von
  http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.

* PSh[(lokale Isos)^(-1)] ist Sh.

* Met[(Bilipschitzabbildungen mit dichtem Bild)^(-1)] ist ComplMet.
  Dabei ist Met die Kategorie der metrischen Räume mit lipschitzstetigen
  Abbildungen.

* Grp[S^(-1)] ist Ab, wobei S = { f : G --> H | G/[G,G] --> H/[H,H] ist ein Iso }.
  http://arxiv.org/pdf/1108.2001.pdf


=== Notwendigkeit des Ableitens von Funktoren

Sei A = Z und x eine Zahl ungleich \pm 1 und 0, oder sei A = k[X] und x das
Polynom X.

Dann gilt: A^\vee := Hom_A(A/(x), A) = 0. Insbesondere also A^\vee\vee
\not\cong A.

Aber deriviert stimmt es: RHom(RHom(A/(x), A), A) ~~ A/(x).

Sei ferner f: A --> A/(x) die kanonische Projektion. Dann gilt f^\vee\vee = f,
aber H^*(f^\vee) = 0.


=== Notwendigkeit der Invertierung von Quasiisomorphismen

... statt lediglich von Homotopieäquivalenzen.

Sei P^* --> X --> 0 eine projektive Auflösung und E^* --> X --> 0 eine
beliebige. Dann gibt es einen Morphismus P^* --> E^*. Dieser wird ein Quasiiso,
aber keine Homotopieäquivalenz sein. Da wir beliebige Auflösungen eines Objekts
betrachten möchten (und nicht nur projektive), sollten wir daher Quasiisos
invertieren.

Ferner sollte P^* --> X[0] invertierbar sein. Das ist im Allgemeinen aber auch
keine Homotopieäquivalenz.


=== Weitere Motivation

* Im Schritt Komplexe --> Kohomologie geht viel Information verloren.
  Kann man nur so wenig Information verlieren, dass zwar Auflösungen ein und
  desselben Objekts identifiziert werden, aber nicht mehr?

  Ja! Das ist die derivierte Kategorie.

* D(A) besitzt noch einen Kohomologiefunktor nach Prod_n A (oder Kom^0(A)).

  Würde man aber in D(A) noch mehr lokalisieren, dann wäre der
  Kohomologiefunktor nicht mehr wohldefiniert!

* Wieso nicht Kom^{>= 0}(A) (oder K, oder D)? Weil hier der Shiftfunktor
  keine Äquivalenz ist.

* Wieso nicht K? Das ist doch auch eine triangulierte Kategorie!
  Aber die ausgezeichneten Dreiecke in K entsprechen nur den gradweise
  zerfallenden kurzen exakten Sequenzen von Komplexen. (Außerdem kann man
  natürlich noch nicht Auflösungen miteinander identifizieren.)

* Die Motivation aus dem Thomason(?)-Artikel (oder Căldăru/skimming):
  homotopieäquivalent genau dann, wenn ein dritter Simplizialkomplex Z und
  simpliziale Abbildungen Z --> X und Z --> Y existieren, welche auf Niveau der
  Kokettenkomplexe Quasiisos induzieren.

  Steht in dieser Form in http://www-math.mit.edu/~auroux/18.969/mirrorsymm-lect16.pdf.

* Seien alle Ext'e zwischen Erzeugern bekannt. Dann kann ich daraus noch
  lange nicht alle Ext'e zwischen beliebigen Objekten berechnen.

  Die analoge Aussage für RHom ist aber richtig!


=== Gegenbeispiele

* Ein Quasiiso, der, auch bis auf Homotopie, kein Inverses hat:

  Die Augmentation von (Z --2--> Z) nach Z/(2). Denn alle Morphismen in die
  Rückrichtung sind Null, und der Komplex Z/(2)[0] hat nicht den Nullmorphismus
  als Identitätsmorphismus, denn er hat nichttriviale Kohomologie.

* Null in D(A) aber nicht in K(A): Die Identität auf (Z --> Z --> Z/2).

  Klar, dass Null in D(A), da azyklisch.

  Welche Homotopien gibt es? Nur die Nullhomotopie! Das zeigt die Behauptung.

* Null in Kohomologie, aber nicht in D(A):

  Z ---2---> Z
  |          |
  |          | *2
  |          |
  v          v
  Z -------> Z/(3)

* R(F . G) != R(F) . R(G):
  http://mathoverflow.net/questions/83949/the-composition-of-derived-functors-commutation-fails-hazardly

* Unbeschränkte Komplexe besitzen auch bis auf Homotopieäquivalenz
  nicht unbedingt eindeutige projektive Linksauflösungen:
  ... --2--> Z/(4) --2--> ... ist eine projektive Linksauflösung des
  Nullkomplexes, aber nicht zum Nullkomplex homotopieäquivalent. In der
  Kategorie der Z/(4)-Moduln.


=== Beispiel einer Ext-Algebra

Sei E die äußere Algebra über einem Körper K in Erzeugern e_1, ..., e_n.
Den Körper K kann man dann als Quotient E/m (maximales Ideal) wiedergewinnen.
So interpretiert, gilt:

    Ext_A^*(K, K) ~~ K[y_1, ..., y_n],

wobei die y_i die Dualbasis zu den e_i bilden.

Das steht zum Beispiel in der Doktorarbeit von Gesa Kämpf, Module theory over
the exterior algebra with applications to combinatorics,
https://repositorium.uni-osnabrueck.de/bitstream/urn:nbn:de:gbv:700-201005176260/1/thesis_kaempf.pdf,
ist aber ein klassisches Resultat.


=== Derivierte Kategorie einer projektiven Kurve C

Jedes Objekt aus D^b(C) setzt sich aus Shifts und endlichen direkten Summen von
unzerlegbaren kohärenten Moduln zusammen. Da man für jeden kohärenten Modul F auf C
die Zerlegung

    F ~~ F_tor \oplus F/F_tor

hat, wobei F/F_tor lokal frei von endlichem Rang ist, sind die unzerlegbaren
kohärenten Moduln gerade

    (1) unzerlegbare Vektorbündel und
    (2) Wolkenkratzergarben, die Träger in einem einzigen abgeschlossenen Punkt haben.

Quelle:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/~thiel/notes/derived_category_of_a_curve.pdf


=== Ein Lemma von Beilinson

Sei F: C --> D ein exakter Funktor zwischen triangulierten Kategorien. Sei
(X_i) ein Erzeugendensystem für C. Wenn:
    (1) (F(X_i)) bilden ein Erzeugendensystem für D
    (2) Hom(X_i, X_j) --> Hom(F(X_i), F(X_j)) sind Isos
Dann: Ist F eine Äquivalenz.

Beweis: Die essentielle Surjektivität ist klar. Die Volltreuheit folgt mit der
Tatsache, dass Hom(A, __) und Hom(__, A) kohomologische Funktoren sind, und dem
Fünferlemma.

Quelle: Beilinson, Coherent sheaves on P^n and problems in linear algebra.


=== Semi-orthogonale Zerlegungen

* Semi-orthogonale Zerlegungen implizieren Zerlegungen der Grothendieckgruppe
  in direkte Summanden.

* Kuznetsov definiert semi-orthogonale Zerlegungen in
  http://arxiv.org/abs/0711.1734 etwas stärker: So, dass jedes Objekt eine
  endliche Filtrierung besitzt, sodass die Kegel der "Inklusionen" in der
  jeweiligen Unterkategorie liegen. Die Diagramme, die dadurch entstehen, sind
  sogar funktoriell! Auch in http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf wird das so
  gemacht. Erhalte Projektionsfunktoren.

  Ist das wirklich stärker? (Vermutung: Ja.)
  Siehe http://www.math.harvard.edu/~lehung/PartIIIEssay.pdf, dort steht die
  Antwort. Hängt vermutlich mit der Forderung nach Admissibility zusammen.

  Habe ich diese Art der Zerlegung bei D(P^n)?

* Volle *orthogonale* Zerlegungen <A_0,...,A_n> implizieren eine
  direkte-Summen-Zerlegung der triangulierten Kategorie. Denn: Die volle
  Unterkategorie der Objekte der Form oplus_i X_i mit X_i in A_i ist stabil
  unter Shifts und Kegelbildung (nutze: Dreiecke, deren ersten beiden Objekte
  diese Form haben, sind direkte Summen von Dreiecken in den Kategorien A_i)
  und umfasst die A_i.

* Die "admissible subcategory"-Bedingung ist gelegentlich automatisch
  erfüllt: Siehe Seite 4 von http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-1.pdf.

* Sei pi : P(E) --> X ein projektives Bündel mit rk E = n+1. Dann besitzt
  D^b(P(E)) die semi-orthogonale Zerlegung

      D^b(P(E)) = < pi^*(D^b(X)) tensor O(k) | k = 0, ..., n >.

  Das geht auch noch allgemeiner für flache Morphismen. Siehe für beides
  Seite 4 von http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-3.pdf.


=== Grundlagen zu exzeptionellen Sequenzen

* Huybrechts Lemma 1.61: Eine semi-orthogonale Sequenz von vollen zulässigen
  triangulierten Unterkategorien D_1, ..., D_n <= D erzeugt genau dann D
  (ist also eine semi-orthogonale Zerlegung von D), falls

      bigcap_i D_i^perp = 0.


=== Mutation von exzeptionellen Sequenzen

* Wird gut in Bondal, Representation of associative algebras and coherent
  sheaves, Seite 25 erklärt. Es ist ganz leicht, nachzuweisen, dass die
  Mutation einer exzeptionellen Sequenz wieder eine exzeptionelle Sequenz ist;
  dazu Hom(E, __), Hom(__, L_E(F)) und Hom(F, __) verwenden und die induzierten
  langen exakten Sequenzen betrachten.

* Mutation von Sequenzen bewahrt Vollheit.

* Mutationen erfüllen die Relationen der braid group. So erhält man also eine
  Wirkung der braid group auf der Menge der exzeptionellen Sequenzen.


=== Vergleich mit einer derivierten Kategorie von Moduln

Sei E_1, ..., E_m eine starke volle exzeptionelle Sequenz (stark: Hom(E_i,
E_j[l]) = 0 für alle i, j und alle l != 0) in einer triangulierten Kategorie C.
Dann ist C äquivalent zu

    D^b(mod-A),  wobei A = End(oplus_i E_i),

und zwar vermöge RHom(oplus_i E_i, __).

Das stimmt zumindest, wenn C = D^b(X) für eine glatte projektive Varietät X.

* Daraus folgt wohl die klassische BGG-Korrespondenz!

* Das steht in Bondal, Representation of associative algebras and coherent
  sheaves, Thm. 6.2.
  http://iopscience.iop.org/0025-5726/34/1/A02/pdf/0025-5726_34_1_A02.pdf

* Auch https://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/ictp2006/lecturenotes/lenzing1.pdf
  ist eine gute Referenz.


=== Inwieweit bestimmen exzeptionelle Sequenzen die Kategorie?

* Seien D_1 und D_2 algebraische derivierte Kategorien (d.h. solche, die
  ein dg-Enhancement erlauben). Seien D_1 und D_2 durch volle Unterkategorien
  E_1 bzw. E_2 erzeugt. Seien E_1 und E_2 als k-lineare Kategorien äquivalent.
  Sei Hom_{D_i}(E, E'[n]) = 0 für alle n != 0, E, E' in E_i (i = 1 und i = 2).
  Dann ist D_1 äquivalent zu D_2.

* Seien D_1 und D_2 triangulierte Kategorien mit vollen starken exzeptionellen
  Sequenzen (E_0,...,E_n) bzw. (F_0,...,F_n). Seien die vollen Unterkategorien
  { E_0, ..., E_n } und { F_0, ..., F_n } äquivalent (in der Quelle steht hier
  "isomorph", vielleicht ist das ausnahmsweise wichtig!). Dann sind D_1 und D_2
  äquivalent.

* Kor. 5.8 in der Quelle beschreibt eine hinreichende Bedingung dafür, wann
  eine triangulierte Kategorie eine eindeutige dg-Verbesserung besitzt. Im
  Kriterium kommt ein Vergleich mit der prototypischen exzeptionellen Sequenz
  des P^n vor.

* Sei D eine algebraische triangulierte Kategorie (klar, über k) mit einer
  starken exzeptionellen Zwei-Term-Sequenz (E_0,E_1) mit D(E_0,E_1) = k^m.

  Dann ist D äquivalent zu H^0((Delta^m_k)^pretr). Seite 71.

  Viel schwieriger für längere exzeptionelle Sequenzen!

* Die Quelle schreibt auch (Seite 75), dass im Allgemeinen die Frage nach
  dg-Lifts von Funktoren völlig offen ist, mit einer guten Begründung.
 
Quelle: Seite 68 von
http://www.academia.edu/3992110/Dg-enhancements_of_triangulated_categories_and_the_uniqueness_problem_of_dg-lifts.

* Sei C = <C_1, C_2> mit einem Verklebefunktor phi. Dann ist die Angabe
  eines Objekts von C äquivalent zur Angabe eines Objekts X von C_1, eines
  Objekts Y von C_2 und eines Morphismus X --> phi(Y) in C_1.
  http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf, Seite 9.


=== Monomorphismen in derivierten Kategorien zerfallen

Siehe:
* http://mathoverflow.net/questions/15658/how-do-i-know-the-derived-category-is-not-abelian/15662#15662
* http://math.stackexchange.com/questions/189769/when-is-the-derived-category-abelian


=== Topologische Sicht

Siehe: J. P. May, Derived categories from a topological point of view:
http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/DerivedCats.pdf


=== K-Theorie und Kohomologie

* Der Funktor H^n : Kom^b(A) --> A faktorisiert über D^b(A).

* Die Abbildung Kom^b(A) --> K(A), E^* |-> sum (-1)^n [E^n], faktorisiert über D^b(A).

* Der Morphismus D^b(A) --> K(A) ist verträglich mit Pullback und Pushforward,
  in einem geeigneten Sinne. Siehe Huybrechts.


=== Recollement

http://arxiv.org/pdf/math/0509473.pdf: Beschreibt (in der ersten Proposition),
wie sich eine derivierte Kategorie aus zwei Teilen zusammensetzt.


=== Perfekte Komplexe und Co.

* http://mathoverflow.net/questions/29442/what-is-the-opposite-category-of-the-category-of-modules-or-hopf-algebra-repres


=== Trivialität der derivierten Kategorie (halbeinfach usw.)

http://math.stackexchange.com/questions/189769/when-is-the-derived-category-abelian


=== Die (infty,1)-Kategorie der stabilen (infty,1)-Kategorien

... ist vermutlich nicht stabil. Denn das terminale Objekt ist vermutlich die
(infty,1)-Kategorie mit nur einem Objekt (einem Nullobjekt), während das
initiale Objekt vermutlich die leere Kategorie ist.


=== Eindeutigkeit abgeleiteter Funktoren

* Sei R^n F(X) über injektive Auflösungen definiert. Betrachtet man zwei
  injektive Auflösungen, hat man folgende Aussage: Bis auf Homotopie gibt es
  genau einen Morphismus zwischen den Auflösungen, der mit den Augmentierungen
  verträglich ist. Dieser ist eine Homotopieäquivalenz und induziert damit
  insbesondere eine Homotopieäquivalenz zwischen den beiden Komplexen zur
  Berechnung von R^n F(X).

* Sei R^n F(X) über beliebige Auflösungen definiert. Dann sollte man noch
  folgende Aussage haben: Zwischen je zwei Auflösungen (aufgefasst als Komplexe
  in der derivierten Kategorie) gibt es genau einen Morphismus (in der
  derivierten Kategorie), der mit den Augmentierungen verträglich ist. Dieser
  ist ein Isomorphismus und induziert einen Isomorphismus der Komplexe zur
  Berechnung von R^n F(X) (in der derivierten Kategorie).

  (Mein Beweis bezieht sich auf D^+ und benötigt, dass es genügend viele
  Injektive gibt. Die Existenz ist klar (schiebe eine injektive Auflösung ein
  und erhalte dann ein Dach aus Quasiisomorphismen). Zur Eindeutigkeit behandle
  erst den Fall, dass beide Komplexe aus Injektiven bestehen. Dann folgt die
  Eindeutigkeit wegen D^+(A) = K^+(I). Zur Behandlung des allgemeinen Falls
  schalte Isos in bzw. aus injektive Ersätze vor bzw. nach.)


=== Auflösungen in QCoh(X), Mod(O_X) und Ab(X)

* Jeder nichttriviale F_2-Vektorraum ist in der Kategorie der F_2-Vektorräume
  injektiv, aber in der Kategorie der abelschen Gruppen nicht.


=== Literatur

* Klar: Gelfand/Manin und Weibel.

* Aber auch: Triangulated categories, London Mathematical Society lecture note
  series, 375.