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=== Newtons Finite-Differenzen-Kalkül
Seien (a_n), (b_k) Folgen. Dann:
a_m = sum_{k=0}^m binom{m}{k} b_k für alle m >= 0
genau dann, wenn
b_k = (partial^k a)_0 für alle k >= 0.
=== Simpliziale Mengen aus Verklebedaten
Sei X ein Verklebedatum und X~ die zugehörige simpliziale Menge. Dann gilt:
|X~_m| = sum_{k=0}^m binom{m}{k} |X_m|.
=== Wichtiges zum Moore-Komplex
Sei A ein simpliziales Objekt in einer abelschen Kategorie und CA der
zugehörige Komplex mit (CA)_n = A_n und Differential sum_i (-1)^i A(partial^i).
Sei DA der Unterkomplex von CA der degenerierten Ketten.
Sei NA der Moore-Komplex (Kern über alle bis aufs letzte Differential).
* Der kanonische Morphismus NA --> CA/DA ist ein Isomorphismus.
(Durch Induktion.)
* Die Einbettung e : NA --> CA besitzt ein Linksinverses f : CA --> NA.
(Durch komplizierte Induktion.)
* Damit sieht man, dass die Sequenz
0 --> DA --> CA --> CA/DA --> 0
zerfällt: Eine Zerfällung ist durch e . iso^(-1) : CA/DA --> CA gegeben.
CA ist also auf kanonische Art und Weise die direkte Summe aus DA und CA/DA,
also aus DA und NA.
* Die Komposition e . f ist homotop zur Identität. Somit sind NA und CA
homotopieäquivalent. Insbesondere haben NA und CA dieselbe Homologie.
Ein Quasiiso ist e : NA --> CA, ein anderer ist f : CA --> NA.
Ein weiterer ist pi : CA --> CA/DA. Insbesondere (lange exakte Sequenz) hat
DA keine Homologie.
Siehe Blatt 7 von HAI und Goerss/Jardine (Seiten 145ff.).
Eine Folgerung aus dem Ganzen ist: Sei X eine simpliziale Menge, sodass Ränder
nichtdegenerierter Simplizes wieder nichtdegeneriert sind. Dann ist R<X> ein
simplizialer R-Modul und R<X_nichtdegen> ist ein semisimplizialer R-Modul. Ihre
Homologien sind kanonisch isomorph.
=== Siehe auch
* http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Joyal.pdf, Seite 163f.