dvr.txt

=== Topologisch

Sei X = Spec(A), A ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K. Dann
gibt es genau zwei nichtleere offene Mengen in X:

* der gesamte Raum
* die Menge, die nur den generischen Punkt enthält


=== Quasikohärente Moduln

Daher ist ein quasikohärenter Modul F auf X gegeben durch

* einen A-Modul F(X),
* einen K-Vektorraum F(xi),
* einer A-linearen Abbildung F(X) --> F(xi)

sodass

* F(xi) ~~ F(X) \otimes_A K.


=== Teilereigenschaften in DVRs

Sei A ein lokaler Integritätsbereich (schwacher Sinn genügt) und so, dass
endlich erzeugte Ideale Hauptideale sind. Dann gilt für je zwei Elemente x, y:

    x | y oder y | x.

Dazu betrachte eine Bézoutdarstellung ihres größten gemeinsamen Teilers:

    d = ax + by, x = dx', y = dy'.

Dann folgt

    d = (ax' + by') d.

Dann folgt d = 0 oder ax' + by' = 1.

Falls d = 0, folgt x = y = 0. Also x|y und y|x.

Falls ax' + by' = 1, folgt wegen Lokalität (ohne Einschränkung), dass x'
invertierbar ist. Also ist y = x (x')^(-1) y' ein Vielfaches von x.


Bemerkung: Partiell folgt eine Umkehrung. Sei A ein Ring mit der
Teilereigenschaft. Dann ist A lokal:

    Gelte x + y = 1. Ohne Einschränkung x = ay.
    Dann (1 + a) y = 1.
    Also ist y invertierbar.

Außerdem ist jedes endlich erzeugte Ideal ein Hauptideal. Aber natürlich folgt
nicht die Integritätsbedingung.


Sei A ein Ring, der die Teilerbedingung erfüllt. Dann ist A ganz abgeschlossen
in seinem totalen Quotientenring K (der Lokalisierung nach den regulären
Elementen). Das zeigt man so:

* Für jedes Element x aus K gilt:

      x in A  oder  (x invertierbar in K und x^(-1) in A).

  Denn: Schreibe x = a/b. Habe b|a oder a|b. Im ersten Fall liegt x in A.
  Im zweiten Fall ist a regulär (als Teiler eines regulären Elements), also ist
  x invertierbar, und x^(-1) = b/a liegt in A.

  Übrigens: Die Teilerbedingung ist äquivalent zu dieser Aussage.

* Ein Ring, der bezüglich seines Quotientenkörpers diese Bedingung erfüllt,
  ist ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper.

  Sei dazu x aus K mit x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 = 0.
  Dann x in A oder (x invertierbar und x^(-1) in A).
  Im ersten Fall sind wir fertig.
  Im zweiten folgt:

      x = -(a_(n-1) + ... + a_1 x^(-n+2) + a_0 x^(-n+1)) in A.