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=== L
* http://www.mta.ca/~cat-dist/catlist/1999/finite-topos
* http://math.andrej.com/2009/09/08/constructive-stone-minima-of-sets-of-natural-numbers/
* L := { U \subseteq N | U bewohnt und aufwärts-abgeschlossen }
* Habe zwei Dimensionsbegriffe: über Maximalzahl l.u. Vektoren und Minimalzahl
zum Erzeugen benötigter Vektoren. Sind Elemente von L bzw. "L^op".
=== Rang eines O_X-Moduls
http://mathoverflow.net/questions/34412/the-upper-semi-continuous-rank-of-a-module-sheaf/
This ought to be a comment, but I don't have the necessary reputation. I
believe the claim is indeed false unless $M$ is locally of finite type.
1. It's always the case that an internal upper Dedekind cut $A$ in
$\mathrm{Sh}(X)$ induces an upper semi-continous function $X \to \mathbb{N}
\cup \\{ \infty \\}$, by mapping $x \in X$ to $\inf\\{ n \in \mathbb{N} |
\exists \text{open} V \subseteq X, x \in V: V \models (n \in A) \\}$. This
function takes values in $\mathbb{N}$ iff the cut is inhabited (in the internal
sense).
2. The internally defined cut $A = \\{ n \in \mathbb{N} | \text{there exists a
generating family for $M$ consisting of $n$ elements} \\}$ is inhabited iff $M$
is in the internal sense a finitely generated module, i.e. in the usual
external sense locally of finite type.
3. Let $r$ be the function induced by this cut. It's easy to prove that the
stalk $M_x$ can be generated by $r(x)$ elements. The reverse implication, that
if $M_x$ can be generated by $n$ elements then $r(x) \leq n$, can be proven if
$M$ locally of finite type.
So $r(x)$ coincides with the minimal number of generators needed for the
stalk $M_x$ if $M$ is locally of finite type (at least in an open neighbourhood
of $x$). If $M$ is not locally of finite type, $r$ will still be upper
semi-continuous, but might not coincide with the minimal number of generators.
I don't know the "correct" definition of the rank if the module is not locally
of finite type.
* Kann den Rang eines endlich erzeugten Moduls als Minimalzahl benötigter
Erzeuger (in einer Vervollständigung von N) definieren. Die induzierte
Abbildung X --> N gibt dann jeweils an, was die Minimalzahl benötigter
Erzeuger der Halme ist. Ist konsistent mit der üblichen Definition für lokal
freie Moduln, denn O_{X,x}^n kann minimal durch n Elemente erzeugt werden.
(Nakayama: Sei M endlich erzeugter A-Modul, A lokaler Ring. Dann ist die
Minimalzahl benötigter Erzeuger von M gleich der k-Dimension von M/mM.)
=== Grade von Schemamorphismen
Sei f : X --> Y ein Morphismus von Schemata.
* Vakil definiert, falls f ein endlicher Morphismus ist:
Grad von f bei y = rk von f_* O_X bei y = dim_k(y) Gamma(f^(-1)[y]).
* In Liu (S. 176) findet sich, falls X und Y integral, lokal noethersch,
f dominant:
Vakils Grad >= [K(X) : K(Y)].
Genau dann gilt "=" für alle y aus f[X], wenn f flach ist.
* Stacks definiert (Kap. morphisms):
f heißt finite locally free, falls f affin ist und
f_*(O_X) lokal endlich-freier O_Y-Modul ist. Der Grad von f ist dann der Rang
von f_*(O_X) (falls dieser global eindeutig ist).
* Laut Stacks sind äquivalent:
(1) f finite locally free
(2) f endlich, flach und l.v.e.P.
(3) (falls Y lokal noethersch) f endlich und flach.
* Mit Vakils Resultat folgt, dass der Grad in folgendem Sinn stabil unter
Basiswechsel ist: Sei g' der Basiswechsel von g längs eines Morphismus f.
Dann ist der Grad von g' bei y' gleich der Grad von g bei f(y').
=== Nächste Schritte
* Gibt es zu jeder verallgemeinerten natürlichen Zahl einen Vektorraum
entsprechender Dimension?
* Es gibt auch den Begriff des Grads eines Schemamorphismus (siehe Vakil).
Zusammenhang?
* Ist "kohärent" kategoriell definierbar (wie e.e., e.p.)?
* Zusammenhang zwischen Projektivität und Endlichkeitsbedingungen