garben.txt

=== Erzeuger und Relationen

* Zusammenhängendheit ist hier sehr wichtig! Denn dann bewahrt gamma_*
  Erzeuger und Relationen.


=== Anschauung

* https://xorshammer.com/2016/07/24/the-cgp-grey-topos-of-continents/


=== Garben als limesbewahrende Funktoren

* Natürlich ist falsch: Eine Prägarbe auf einem Situs C ist genau dann eine
  Garbe, wenn sie als Funktor C^op --> Set Kolimiten in C auf Limiten in Set
  abbildet.

* Aber es stimmt, wenn man die Prägarbe als Funktion Sh(C)^op --> C betrachtet.
  https://mathoverflow.net/a/294832/31233


=== Welke Garben

* Eine Garbe E heißt genau dann welk, wenn alle Restriktionsabbildungen
  surjektiv sind. Aber vielleicht sollte man besser die folgende
  Charakterisierung als Definition hernehmen, da sie sich konstruktiv besser
  verhält und den lokalen Charakter von Welkheit manifest macht.

* Eine Garbe E ist genau dann welk, wenn:

      forall U. forall s in E(U). forall x in X.
          exists V. x in V und s besitzt Fortsetzung von U cup V.

  Dabei ist "==>" klar. Die Rückrichtung benötigt Zorn.

* Eine Garbe E ist genau dann welk, wenn aus interner Sicht gilt:

      forall K <= E. K Subsingleton ==> exists s:E. (K bewohnt ==> s in K)

  Oder so: forall K : P_{<=1}(E). exists s:E. K <= {s}.

  Der hintere Teil der zuerst gegebenen Bedingung sieht genauso aus wie das
  zweite Garbenaxiom für die Modalität (K bewohnt ==> __).
  (Denn: (K bewohnt ==> K Singleton) <==> (K Subsingleton).)

* Eine Garbe E ist genau dann welk, wenn Hom(__, E) Monos L --> L' --> 1
  auf Surjektionen schickt. (Das ist die ursprüngliche Definition.)

  Gilt das auch in allgemeineren Topoi?

* Welke Garben besitzen globale Schnitte. Das ist gelegentlich auch wichtig,
  zum Beispiel im Beweis in topostheorie.txt, dass interne Injektive schon
  extern injektiv sind.

* HOM(beliebig, injektiv) ist welk. HOM_{O_X}(flach, injektiv) ist injektiv.

* Sei E eine Garbe, deren Halme alle bewohnt sind. Dann ist die von Godemont
  untersuchte Garbe

      U |--> prod_{x in U} E_x

  welk (und sogar injektiv als Garbe von Mengen). Sie lässt sich als i_* i^(-1)
  E verstehen, wobei i die Inklusion X_diskr --> X ist. So erhält man eine
  funktorielle Einbettung.

  Das lässt sich intern nachbauen, wenn man sich erlaubt, X_diskret als interne
  Örtlichkeit in Sh(X) zu kennen. Ich weiß nicht, wie das intrinsisch gehen
  soll; vermutlich geht es auch nicht, denn örtlichkeitstheoretisch vergesse
  ich ja, welche Punkte X enthält.

  Die Komposition i_* i^(-1) E könnte trotzdem intern beschreibbar sein.

* Jedenfalls auch stets welk, aber nicht wieder eine abelsche Gruppe (falls das
  wichtig sein sollte), ist P_{<=1}(E), die Garbe der Subsingletons von E.
  U-Schnitte dieser Garbe sind Paare (V <= U, s in E(V)). Diese Garbe ist sogar
  injektiv.

* Vermutlich ist die Konstruktion von injektiven Garben echt schwieriger als
  die von welken Garben. Gibt es stets, auch in nicht Grothendiecktopoi,
  genügend viele welke Garben?

* Angeblich ist K_X, die Garbe rationaler Funktionen, welk (unter welchen
  Voraussetzungen?). Kann man das intern zeigen?

* Welke Garben sind unter Zusatzvoraussetzungen an den Situs unter
  irgendwelchen Arten von gerichteten Kolimiten abgeschlossen. Siehe zum
  Beispiel Seite 113 von Milne, Étale Cohomology.

* Sei F eine welke Garbe im klassischen Sinn. Sei 0 --> F --> G --> H --> 0
  eine kurze exakte Sequenz von Garben. Sei U eine offene kompakte Teilmenge.
  Dann ist die Sequenz auch ausgewertet auf U exakt, und zwar konstruktiv:

  Modifiziere schrittweise gefundene lokale Urbilder.

  Mir ist nicht klar, ob das auch mit der anderen (konstruktiv vielleicht
  besseren) Definition von Welkheit funktioniert.

  Mit der besseren Definition kann ich zeigen: Die Garbe der Urbilder eines
  gegebenen Schnitts aus H(X) ist welk.

  Geht sogar intern: Sei z : H. Definiere A := { y : G | beta(y) = z }.
  Sei K <= A ein Subsingleton. Da beta surjektiv ist, gibt es ein y_0 : G
  mit beta(y_0) = z. Es ist K - y_0 ein Subsingleton. Da alpha injektiv ist,
  ist auch alpha^{-1}(K - y_0) ein Subsingleton. Somit existiert x : F
  mit alpha^{-1}(K - y_0) <= { x }. Damit lässt sich zeigen, dass
  K <= { y_0 + alpha(x) }.

* Sei 0 --> M~ --> F --> G --> 0 eine exakte Sequenz von Modulgarben auf
  einem affinen Schema. Dann müsste man zeigen können, dass die Sequenz auf
  globalen Schnitten exakt ist, weil ja die Kohomologie von M~ verschwindet.

  Und das geht auch: Wie im Beweis von Lemma 2.4 auf
  https://math.berkeley.edu/~mhaiman/math256-fall13-spring14/cohomology-2_schemes.pdf
  beschrieben. (Siehe auch https://math.stackexchange.com/a/737853/61604 für
  einen entrollten Beweis.)

  Seien (u_i)_i lokale Urbilder eines globalen Schnitts s in G(X), wobei u_i
  auf U_i definiert sei, was oE standardoffen sei.

  Es gibt eindeutige v_ij mit u_i|ij - u_j|ij = alpha(v_ij).
  Die (v_ij)_ij bilden einen Kozykel in Grad 2 von Gamma Č^*(M~).
  Dieser Komplex ist exakt.
  Daher gibt es (w_i)_i mit v_ij = w_j|ij - w_i|ij.

  Die neue Familie (u_i + alpha(w_i))_i ist immer noch eine Familie lokaler
  Urbilder von s, aber nun verklebt sie.

  Bleibt die Frage, wieso (0 --> Gamma M~ --> Gamma Č^*(M~)) exakt ist. Das
  faktorisiert wohl über zwei Tatsachen:

  1. Der Komplex (0 --> M~ --> Č^*(M~)) ist exakt. Das beweisen die Leute
     immer durch Betrachtung der Halme, siehe etwa
     https://stacks.math.columbia.edu/tag/02FU.

     Die Halme lassen sich aber eliminieren. Wir schreiben einfach M~ = E, weil
     die Behauptung viel allgemeiner gilt (für beliebige Garben und beliebige
     Überdeckungen).

     Sei s in Č^p(E)(V) mit ds = 0. Wir möchten lokale Urbilder in Č^{p-1}(E)
     finden. Es ist s = (s_{i_0,...,i_p}) mit s_{i_0,...,i_p} in E(V cap U_i0 cap ... cap U_ip).

     Als Überdeckung, auf der wir die lokalen Urbilder definieren, nehmen wir
     genau die Überdeckung, bezüglich der auch der Čech-Komplex definiert ist.
     Sei i_fix ein fixierter Index. Wir definieren folgendes Urbild in
     Č^{p-1}(E)(U_ifix):

        (hs)_{i_0,...,i_{p-1}} = s_{i_fix, i_0, ..., i_{p-1}}.

     Dann:

        d(hs)_{i_0,...,i_p} =
            sum_{j=0}^p (-1)^j (hs)_{i_0, ..., nicht i_j, ..., i_p} =
            sum_{j=0}^p (-1)^j s_{i_fix, i_0, ..., nicht i_j, ..., i_p} =
            s_{i_0, ..., i_p} - (ds)_{i_fix, i_0, ..., i_p} =
            s_{i_0, ..., i_p}.

  2. Der Komplex bleibt exakt auf globalen Schnitten. Wenn wir davon ausgehen,
     dass die Überdeckung eine endliche ist und aus Standardoffenen besteht,
     ist das klar, da dann der Komplex aus quasikohärenten Moduln besteht.

     Hier geht ein: j_* j^{-1} M~ = (M[f^{-1}])~, wenn j : D(f) --> X.
     Das gilt, weil es auf D(g) gilt. Oder weil es die Qcoh-Bedingung im
     kleinen Zariski-Topos ist.

     Und wenn die Überdeckung zwar noch endlich ist, aber nicht aus
     Standardoffenen besteht, stimmt es. Wichtig ist nur, dass (X affin ist
     und) die j_* j^{-1} M~ quasikohärent sind. Dazu brauchen wir, dass j
     qc qs ist. Das ist etwa der Fall, wenn j affin ist. Das ist der Fall, wenn
     die U_i sowie deren endlichen Schnitte alle affin sind.

     Aber noch besser: Es ist j auch dann qc qs, wenn einfach nur die U_i affin
     sind. Denn dann ist die Inklusion U_i → X qc qs und somit auch ihre
     Rückzuge. So können wir induktiv zeigen, dass die U_{i_0,...,i_n} → X qc qs
     sind.

     Und noch besser: Die U_i müssen gar nicht affin sein. Es reicht, wenn sie
     qc qs sind.

  Das Argument in Vakil (Theorem 18.2.4) ist auch schön.

* Der Thread https://mathoverflow.net/questions/12119/reverse-mathematics-of-cohomology
  enthält Referenzen auf Vorarbeiten, wie viel Mengenlehre für Kohomologie
  nötig ist. Aber nur in klassichen Kontexten.

  Auch zitiert werden sollte: https://arxiv.org/pdf/1207.0276.pdf sowie
  https://arxiv.org/pdf/1102.1773.pdf.

* Interessantes Konzept in https://arxiv.org/pdf/1207.0276.pdf: Jede Idealgarbe
  (auch, wenn sie nicht quasikohärent ist) auf einem noetherschen affinen
  Schema wird von einem "endlichen Digraph globaler Erzeuger" erzeugt.

* Ich glaube, Welkheit (sowohl im klassischen Sinn als auch in meinem)
  ist überhaupt keine wichtige Bedingung. Wichtig ist, ob Sequenzen auf
  globalen Schnitten exakt bleiben.

  Etwa ist mir unklar, ob es genügend viele welke Moduln (in jedem der beiden
  Sinne) in Sh(pt) existieren. Trotzdem ist Gamma : Mod(Sh(pt)) --> Mod exakt.
  Genauso mit Sh(X) = Set/X, wenn X projektiv (etwa endlich) und diskret ist.

  Welkheit ist nur eine von mehreren Bedingungen, die das sicherstellen möchte.

  Quasikohärente Garben auf affinen Schemata sind ebenfalls azyklisch, und zwar
  konstruktiv.

* Sei auf einem quasikompakten separierten Schema eine quasikohärente
  Modulgarbe E gegeben. Sei j die Inklusion eines Affinoffenen V. Dann ist F :=
  j_*j^{-1}(E) Γ-azyklisch.

  Das ist klar, denn in diesem Fall ist j affin. Damit kann man klassisch so
  argumentieren: j_* ist exakt und bewahrt welke Auflösungen. Also kann man
  die Kohomologie von j_*j^{-1}(E) durch eine flache Auflösung von j^{-1}(E)
  berechnen.

  Und konstruktiv so: Der obige Beweis geht durch, wenn wir zeigen können:
  Nach Anwenden von Γ bleibt der Komplex 0 --> F --> Č^*(F; U) azyklisch.
  Zuvor haben wir gesagt: Nun, das ist ein Komplex aus quasikohärenten und Γ
  ist für solche sogar eine Kategorienäquivalenz.

  Jetzt sagen wir: Č^*(F; U) = j_* Č^*(j^{-1}E, U hyper-cap V), denn:

      Sei k die Inklusion eines endlichen Schnitts U_K von Offenen aus U.
      Sei k' die Inklusion von U_K cap V in V. Dann:

          (k_* k^{-1} j_* j^{-1} E)(W) =
          (k^{-1} j_* j^{-1} E)(W cap U_K) =
          (j_* j^{-1} E)(W cap U_K) =
          E(W cap U_K cap V) =
          (j_* k'_* k'^{-1} j^{-1} E)(W)

  Und somit ist der Komplex 0 --> F --> Č^*(F; U) nur die Vordrückung (mit j_*)
  des Komplexes 0 --> j^{-1}E --> Č^*(j^{-1}E; U hyper-cap V) bestehend aus
  quasikohärenten Modulgarben auf dem Affinen V und ist daher exakt nach
  Anwenden von Γ.

* Ich glaube, auf Schemata gibt es genügend azyklische Garben, zumindest für
  quasikohärente. Genauer: Jede quasikohärente Modulgarbe besitzt eine
  Auflösung durch Γ-azyklische Modulgarben (wobei Γ-azyklisch weiterhin
  bedeutet, dass kurze exakte Sequenzen mit einem Γ-azyklischen Objekt vorne
  nach Anwendung von Γ exakt bleiben), zumindest auf quasikompakten separierten
  Schemata. (Kann man vielleicht zu qcqs abschwächen.)

  Und zwar geht das so.

  Sei E quasikohärent auf X. Dann haben wir eine endliche Überdeckung U durch
  Affinoffene, derart, dass endliche Schnitte auch wieder affinoffen sind.
  Dann gibt es die Auflösung 0 --> E --> Č^*(E; U). Dass es sich um eine
  Auflösung handelt, wurde oben gezeigt.

  Und jede der Garben Č^n(E; U) ist Γ-azyklisch, als direkte Summe von Garben
  der Form j_* j^{-1} E.

* Ich glaube, dass wir auf qc s Schemata eine Kohomologietheorie für
  quasikohärente Modulgarben definieren können. Und zwar wie folgt.

  Wir definieren H^n(E) über eine fixierte endliche offene Überdeckung durch
  Affine.

  * Jede quasikohärente Modulgarbe E bettet in eine ein, für die H^{>=1} Null
    ist. Und zwar Č^0(E; U). Hier geht ein, dass für Garben der Form
    j_*(quasikohärent), wobei j die Inklusion eines Affinoffenen ist, H^{>=1}
    Null ist. Das ist der Fall aus folgendem Grund:

        Der Komplex Č^*(j_*(qkoh); U) ist derselbe wie j_* Č^*(qkoh; U hyper-cap V).
        Liefert also auf globalen Schnitten die Čech-Kohomologie von qkoh auf
        dem Affinen V. Diese verschwindet. (Oder so: j_* ist auf
        quasikohärenten Modulgarben exakt, da affin.)

  * Ist 0 --> E --> F --> G --> 0 eine exakte Sequenz von quasikohärenten
    Modulgarben, so ist auch 0 --> Č^*(E) --> Č^*(F) --> Č^*(G) --> 0 exakt.
    Das liegt daran, weil die Funktoren j_* auf Quasikohärenten exakt sind (da
    affin). Die Sequenz bleibt exakt nach Anwenden von Γ, weil ja Garben der
    Form j_*(qkoh) azyklisch für Γ sind. Also erhalten wir eine lange exakte
    Sequenz in Kohomologie.

  * Die Klasse derjenigen quasikohärenten Moduln, für die H^{>=1} Null ist,
    ist abgeschlossen unter Summanden und Quotienten.

  Damit sind doch alle Voraussetzungen dafür, dass die (H^n)_n einen
  universellen δ-Funktor bilden, erfüllt. Oder? :-)

* Also noch mal von vorne.

  1. Ist E eine beliebige Modulgarbe und U eine beliebige endliche Überdeckung,
  so ist 0 --> E --> Č^*(E; U) azyklisch. (Geht mit "Homotopie angeben".)

  2. Quasikohärente Modulgarben auf affinen Schemata sind Γ-azyklisch.
  Geht so: Verfeinere die Überdeckung, auf der lokale Urbilder gegeben sind,
  zunächst zu einer endlichen standardoffenen. Schreibe dann dafür den
  Čech-Komplex hin. Der ist exakt nach 1. Und bleibt exakt auf globalen
  Schnitten, da er aus quasikohärenten besteht. Kann damit die lokalen Urbilder
  derart verändern, dass sie zusammenpassen.

  3. Č^*(j_*(E); U) = j_*(Č^*(E); U hyper-cap V), wenn j : V --> X die
  Inklusion eines beliebigen Offenen ist und U eine beliebige Überdeckung ist.
  (Wenn sie nicht unbedingt endlich ist, muss der Čech-Komplex als Produkt
  statt als direkte Summe definiert sein.)

  [ *. Eine Modulgarbe E ist Γ-azyklisch, wenn ΓČ^1(E; U) für alle offenen
  Überdeckungen verschwindet. Das geht wie im Beweis von 2. Dort benötige ich
  nämlich eigentlich nur Exaktheit in Grad 1. ]

  [[ Die Hinrichtung gilt auch, zumindest im quasikohärenten Fall. Sei E
  Γ-azyklisch und quasikohärent. Habe 0 --> E --> I --> I/E --> 0, wobei I
  eine quasikohärente Modulgarbe ist, für die ΓČ^1(I; U) verschwindet.
  (Siehe 5(b).) Dann habe Γ(I/E) --> ΓČ^1(E; U) --> ΓČ^1(I; U) = 0 exakt.
  Der erste Morphismus ist Null, da wir davor aufgrund der Γ-Azyklizität von E
  eine Surjektion haben. Fertig. ]]

  4. Modulgarben der Form Č^n(E; U) sind, wenn E quasikohärent, U eine
  endliche Überdeckung durch Affinoffene ist und das Schema separiert ist,
  Γ-azyklisch. Dazu muss nur zeigen (XXX wieso?), dass Modulgarben der Form j_*(F)
  Γ-azyklisch sind, wobei F quasikohärent und j die Inklusion eines endlichen
  Schnitts von Mitgliedern der Überdeckung ist. Und das geht mit (*):
  (Brauche in 5(b) die präzisere Aussage, dass die Čech-Kohomologie von solchen
  Modulgarben verschwindet.)

  Sei V eine beliebige endliche affine Überdeckung von X. Sei j : W --> X.
  Habe die Auflösung 0 --> F --> Č^*(F; V hyper-cap W). Die bleibt nach
  Anwenden von j_* exakt, weil F quasikohärent und j affin ist. Anwenden von Γ
  liefert dann genau den Komplex, der zur Berechnung der Čech-Kohomologie von
  j_*(F) bezüglich der Überdeckung V verwendet wird (wegen 3.), und er ist
  azyklisch, da der ursprüngliche Komplex azyklisch war, man auch in einem
  Schritt hätte Γ anwenden können und Γ auf quasikohärenten Modulgarben
  exakt ist.

  5. Sei X qc s. Fixiere eine endliche affine Überdeckung U. Definiere T^i(E)
  als Čech-Kohomologie von E bezüglich U. Sei K die Klasse derjenigen
  quasikohärenten Modulgarben E, für die T^{>=1}(E) verschwindet. Dann:

  (a) Kurze exakte Sequenzen von quasikohärenten Modulgarben induzieren lange
  exakte Sequenzen. Denn: Ist 0 --> E --> F --> G --> 0 exakt, so auch
  nach Anwenden von Č^*(--; U) (da die j_* auf Quasikohärenten exakt sind) und
  nach Anwenden von Γ (wegen 4.). Dann Schlangenlemma.

  (b) Jede quasikohärente Modulgarbe E besitzt einen Mono in ein Objekt aus K,
  nämlich Č^0(E; U). Die Monomorphie ist 1. Die Verschwindung ist 4.

  -- Damit bilden die (T^i) schon einen universellen δ-Funktor!

  (c) Die Objekte in K sind alle Γ-azyklisch (auf der Kategorie der
  quasikohärenten Modulgarben). Das ist trivial im Lichte von (a).

  (d) K ist abgeschlossen unter Quotienten. Ist trivial im Lichte von (a).

  (e) K ist abgeschlossen unter Summanden (und Summen, falls man das benötigt).
  Ist trivial, da die T^i additive Funktoren sind.

* Nun für beliebige Schemata.

  Eine *gute Hyperüberdeckung* besteht aus der Angabe von lauter Affinoffenen
  Überdeckungen:

  * X = bigcup_i U_i
  * U_i cap U_j = bigcup_k V_ijk
  * V_ijk cap V_i'j'k' = bigcup_a W_ijki'j'k'a
  * ...

  Wir definieren den Čech-Komplex zu einer solchen Hyperüberdeckung wie folgt:

      Č^0(E; U) = prod_i E|U_i
      Č^1(E; U) = prod_ijk E|V_ijk
      Č^2(E; U) = prod_ijkabcz E|W_ijkabcz

  mit d(s_i)_i = (s_j - s_i)_ijk, d(s_ija)_ija = (s_jka ...)_ijkab
  ??

* Zwei Fragen: Kann ich auch eine Kohomologietheorie auf Räumen, die lokal
  isomorph zu lokalen Spektra Spec(A|O) sind, definieren? Und wie steht's in
  einem synthetischen Kontext wie im großen Zariski-Topos?
  
  Und kann ich die derivierte Kategorie definieren?

* Wann ist eigentlich E~ welk? Im alten Sinn oder in meinem?

* Sei E eine welke Garbe im alten Sinn. Dann ist ΓE welk in meinem Sinn:
  Sei K <= ΓE ein Subterminal. Dann verkleben alle Schnitte in K zu einem
  eindeutigen Schnitt s auf U := sup { top | K bewohnt }. Da E welk im alten
  Sinn ist, gibt es eine Fortsetzung s' von s auf X. Es gilt K <= { s' }.

* http://tcsc.lakecomoschool.org/files/2018/07/Beke.pdf#page=43
  Eilenberg--MacLane-Topoi. Unbedingt ansehen. Könnte zur Definition hilfreich
  sein, oder sollte man als äquivalent nachweisen können!

* https://link.springer.com/article/10.1007/s10485-018-9520-8
  Über welke Auflösungen von Stefan Schröer. Klingt spannend!


=== Garbenhom

* HOM(F, G) ist schon dann wieder eine Garbe, wenn G eine Garbe ist.

* Es ist HOM(F, J) welk, falls J injektiv ist (alles für Garben abelscher
  Gruppen oder für allgemeine Garben). Denn: Sei ein Garbenmorphismus
  F|_U --> J|_U gegeben. Nach Voraussetzung existiert für das
  Injektivitätsdiagramm

      j_! F|_U -----> F    (ist wirklich ein Mono)
         |
         |
         v
      j_! J|_U
         |
         |
         v
         J

  ein Kolift F --> J. Der setzt F|_U --> J|_U fort.

* Meiner Meinung nach ist HOM(F, J) auch dann welk, wenn J nur aus interner
  Sicht injektiv ist. (Das steht aber nicht in Kashiwara/Schapira.)

  Nutze dazu die offensichtlich lokale Charakterisierung von Welkheit und
  übertrage den obigen Beweis: Da gab es, da J (extern-)injektiv war, einen
  Kolift F --> J. Nun gibt es einen solchen Kolift nur lokal.

  Oder in der internen Sprache: Sei I injektiv. Sei F beliebig. Wir wollen
  zeigen, dass [F,J] welk ist. Sei dazu ein Subsingleton K <= [F,J] gegeben.
  Dann ist E' := { s : E | K bewohnt } eine Teilmenge von E und wir können eine
  Abbildung g : E' --> J definieren: Schicke ein s aus E' auf f(s), wobei f
  irgendein (existentes!) Element aus K ist. Diese Zuordnung ist wohldefiniert.
  Da J injektiv ist, gibt es einen Kolift h : E --> J. Somit haben wir ein
  Element aus [E,J] gefunden, welches, falls K bewohnt ist, in K liegt.
  (In diesem Fall ist es nämlich punktweise gleich g gleich f.)

  Wenn es um Garben abelscher Gruppen geht, betrachte

      E' := { s : E | s = 0 oder K bewohnt }.

  Der Rest geht genauso durch.

* Sei 0 --> E' --> E --> E'' --> 0 eine kurze exakte Sequenz.
  Sei E' welk. Dann ist für z : E'' die Garbe der Urbilder von z
  welk (insbesondere besitzt sie einen globalen Schnitt, wenn das Auswahlaxiom
  zur Verfügung steht).

* Der Pushforward einer welken Garbe ist welk. Ist mir nicht klar, wie
  man das intern zeigen sollte. Unter Verwendung von Teilmengen wie
  { x in X | K ist bewohnt } kann man schon die Voraussetzung nutzen.
  Aber nicht auf eine Art und Weise, die zu helfen scheint.

* Darstellbare Garben wie Hom(__, U) sind tendenziell nicht injektiv oder
  welk (haben keine globalen Schnitte).


=== Zurückziehen

* Wenn man beim Zurückziehen die Vergarbung vergisst, kommt tatsächlich
  keine Garbe heraus. Schönes Beispiel hier:
  http://mathoverflow.net/a/45218/31233

* Es ist aber okay, wenn man auf eine Unterörtlichkeit zurückzieht!

  Ist also X_j ^--> X eine Unterörtlichkeit, so ist der Rückzug einer Garbe E
  gegeben durch

      V <= O(X_j)  |-->  colim_{V <= jU} E(U).

  Das ist auch einfach einzusehen. Es ist zu überprüfen, dass diese Zuordnung
  eine Garbe festlegt. Dazu muss der Einschränkungsmorphismus zu V --> jV
  bijektiv sein. Das ist trivialerweise der Fall, da V <= jU gleichbedeutend zu
  jV <= jU ist.

* Sei f : X --> Y stetig. Sei E eine Garbe auf Y. Sei s ein Schnitt von f^(-1)(E)
  auf U <= X. Dann gibt es eine Überdeckung U = bigcup_i U_i sodass s|_{U_i}
  unter Garbifizierung von [V_i, t_i] mit U_i <= f^{-1}[V_i], t_i in E(V_i)
  herkommt.


=== Ausschneiden von Untergarben über Halmvorgaben

Sei eine Garbe E auf einem topologischen Raum X gegeben.

Sei für jeden Punkt x aus X eine Teilmenge M_x vom Halm E_x gegeben.

Dann definiert folgende Setzung durchaus eine Untergarbe von E:

    F(U) := { s in E(U) | s_x in M_x für alle x aus U }.

Allerdings müssen die Halme von F nicht unbedingt mit den Mengen M_x
übereinstimmen. Wir haben für jeden Punkt x eine injektive Abbildung

    F_x ---> M_x
    [s] |--> [s],

diese ist im Allgemeinen aber nicht surjektiv. Hinreichend und notwendig dazu
wäre eine Offenheitsbedingung: Wenn der Keim eines Schnitts s bei x in M_x
liegt, dann liegen auch all seine Keime bei Punkten y einer offenen Umgebung
von x jeweils in M_y. (Schließt natürlich nicht aus, dass eine ganz anders
konstruierte Garbe die richtigen Halme hat.)

* Ein Beispiel, wo diese Bedingung erfüllt ist: X ein Schema, E = O_X,
  M_x = Menge der invertierbaren Elemente von E_x.

* Ein Beispiel, wo diese Bedingung nicht erfüllt ist: X ein Schema, E = O_X,
  M_x = maximales Ideal von O_{X,x} = Menge derjenigen Elemente von E_x, die im
  Restklassenkörper Null geben. Dann ist F aus interner Sicht O_X \ O_X^x, also sqrt(0).
  Im Fall, dass X reduziert ist, ist F also die Nullgarbe. Ihre Halme sind
  also jeweils Null. Aber die M_x sind nicht unbedingt alle Null.


=== Beispiele von Zurückziehen und Vordrücken

* Sei i : {x} --> X die Inklusion eines Punkts. Dann kann Zurückziehen längs i
  mit Halm nehmen bei x identifiziert werden. (Der Rückzug einer Garbe längs i
  ist eine Garbe auf {x}. Eine solche Garbe ist schon durch ihren Halm an dem
  eindeutigen Punkt gegeben.)

  Vordrücken von Garben i produziert Wolkenkratzergarben.

* Sei j : U --> X die Inklusion einer offenen Teilmenge. Dann ist Zurückziehen
  längs j dasselbe wie Einschränken auf U.

  Achtung: Drückt man eine Garbe auf U längs j vor, so erhält man eine
  Garbe, die nicht notwendigerweise nur auf U Träger hat. Die vorgedrückte
  Garbe ist also *nicht* eine Art "Fortsetzung durch Null" der gegebenen
  Garbe.

  Wenn man das möchte, darf man nicht j^{-1} nehmen, sondern man muss
  dessen Extra-Linksadjungierten j_! verwenden. j_! -| j^{-1} -| j_*.
  (In der internen Sprache hat der eine wunderbar einfache Beschreibung.)

* Sei ! : X --> pt die eindeutige Abbildung in den einpunktigen Raum.
  Dann ist Vordrücken längs ! dasselbe wie globale Schnitte nehmen.

  Zurückziehen längs ! konstruiert konstante Garben.

* Sei f : X --> Y eine abgeschlossene Abbildung. Dann kann man die
  Halme von vorgedrückten Garben einfach berechnen:

      (f_*(F))_y = Gamma(f^{-1}[y], F) := colim F(U),

  wobei der Kolimes über alle offenen Mengen U, welche die Faser f^{-1}[y]
  umfassen, läuft.

* Sei f : S^1 --> S^1 die Quadrierungsabbildung (S^1 als Teilmengen von C
  aufgefasst). Sei ZZ die konstante Garbe mit Wert Z auf S^1. Dann ist
  f_*(ZZ) eine Garbe auf S^1, welche lokal konstant ist, aber nicht global
  konstant ist. Ihre Halme sind alle isomorph zu Z^2.


=== Garbifizierung

* Sei phi : F --> aF die Garbifizierung einer Prägarbe. Dann gilt
  für alle lokalen Schnitte s in (aF)(U): Es gibt eine Überdeckung
  U = bigcup_i U_i und lokale Schnitte t_i in F(U_i) mit
  s|_Ui = phi(t_i) für alle i.

  Für die Kompatibilität der t_i untereinander gilt: Es gibt eine Überdeckung
  U_i cap U_j = bigcup V_ijk mit t_i = t_j auf V_ijk.

* Das folgt aus: M --> M^+ Box-hat Urbilder für jedes Zielmengenelement,
  und je zwei Urbilder sind Box-gleich.

* In einem Schritt (statt zweimal Grothendiecks Plus-Konstruktion):
  http://mathoverflow.net/questions/90969/sheafification-via-hypercovers
  http://cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/tesis/yuhjtman.pdf

* Explizit auf topologischen Räumen:

  (aF)(U) = { s in prod_{z in U} F_z |
      für alle x in U existiert eine offene Umgebung W von x in U
      und ein Schnitt t in F(W) mit
      s(w) = t_w für alle w in W }.

  (f^(-1) F)(U) = { s in prod_{z in U} F_{f(z)} |
      für alle x in U existiert eine offene Umgebung W von x in U
      und eine offene Menge V mit f[W] <= V
      und ein Schnitt t in F(V) mit
      s(w) = t_{f(w)} für alle w in W }.

* Sei U eine Teilmenge von X, welche als topologischer Raum lokal ist.
  (Das heißt, dass in jeder Überdeckung von U schon U selbst vorkommt.) Dann
  ist (aF)(U) = F(U) (kanonisch).

* Damit kann man eine schöne Begründung dafür angeben, wieso die Halme
  sich beim Garbifizieren nicht ändern. Ist f : Y --> X eine stetige Abbildung,
  so hat man ein kommutatives Diagramm:

        Sh(X) ^----> PSh(X)
          ^            ^
          |            |
          |            |
        Sh(Y) ^----> PSh(Y)

  Es ist nämlich klar, dass das Diagramm auf Niveau der Vordrückfunktoren
  kommutiert. Da Adjungierte eindeutig sind, also auch auf Niveau der
  Rückziehfunktoren.

  Also ergibt es dasselbe, ob man eine Prägarbe erst garbifiziert und dann auf
  den Punkt zurückzieht, oder ob man sie erst auf den Punkt zurückzieht (also
  ihren Halm berechnet) und dann garbifiziert (auf dem Punkt). Letzteres ändert
  aber nicht die globalen Schnitte.

* Sei E eine Prägarbe abelscher Gruppen. Sei E(U) = 0 für alle U
  aus einer Basis der Topologie. Dann ist aE = 0.


=== Wolkenkratzergarben in algebraischer Geometrie

Sei X ein Schema und A ein abgeschlossenes Unterschema. Dann ist mit
"Wolkenkratzergarbe zu A" der Pushforward der Strukturgarbe von A unter der
kanonischen abgeschlossenen Immersion gemeint.

Ist speziell x ein abgeschlossener Punkt, so ist mit A das Spektrum von k(x)
gemeint. Die kanonische kurze exakte Sequenz lautet dann

    0 --> m~ --> R~ = O_X --> (R/m)~ --> 0.

Diese Wolkenkratzergarben sind im noetherschen Fall kohärent.
[ Der kanonische Morphismus O_X --> E, E := i_* k(x), ist zumindest stets
surjektiv. Der Halm des Kerns ist bei x gleich m_x, sonst gleich O_{X,x}. ]

Diejenigen Wolkenkratzergarben, die zu abgeschlossenen Punkten gehören, haben
keine echten Unterobjekte -- und werden durch diese Eigenschaft schon
charakterisiert (vgl. Huy05 S. 123; Beweis noch nicht genau nachvollzogen).

Anwendung: Auf diese Weise kann man zumindest die abgeschlossenen Punkte aus
Coh(X) rekonstruieren.

* Sei i_*(k(x)) die Wolkenkratzergarbe zu einem abgeschlossenen Punkt x.
  Sei G ein beliebiger O_X-Modul. Dann gilt

      i_*(k(x)) tensor G ~~ i_*(G|_x)  (Faser),

  denn das Tensorprodukt ist eine Garbe, die höchstens in x Träger hat.
  Nach unten stehender Kategorienäquivalenz ist sie daher isomorph zum
  Pushforward des Rückzugs. Dieser ist der Halm des Tensorprodukts bei x,
  also k(x) tensor_{O_{X,x}} G_x, also G|_x.

* Hom_{O_X}(i_*(k(x)), i_*(k(x))) ~~ Hom_R(R/m, R/m) ~~ Hom_R(R, R/m) ~~ R/m.

* Sei f : X --> Y ein Morphismus von k-Schemata, mit X lveT/k und k algebraisch
  abgeschlossen.

  Dann sind k-rationale Punkte und abgeschlossene Punkte dasselbe,
  und f_* bildet die Wolkenkratzergarben k(x) auf die entsprechenden Garben
  k(f(x)) ab. (Der Halm an x bzw. f(x) ist dabei beide Male gleich k.
  Wäre k nicht algebraisch abgeschlossen, könnte man nur einen Morphismus
  k(f(x)) --> f_* k(x) erhalten.)

  [ Eigentlich muss es hier natürlich i_* k(x) bzw. j_* k(f(x)) heißen. ]

* Wolkenkratzergarben k(x) auf X für x abg. Punkt sind
  indecomposable (im Sinne von Huy 123).

* http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/chapter-8.pdf
  Exercise 8.6.1: Habe 0 --> omega_X --> omega_X \otimes O_X(P) --> k_P --> 0.

* Ext-Gruppen von i_* k(x):
  http://math.stackexchange.com/questions/79896/ext-groups-of-a-point-on-a-scheme

Hier ein etwas spezielles Beispiel. Was ist die richtige Allgemeinheit?

* Sei C_{0} auf X = C die Wolkenkratzergarbe mit Träger in 0 und Halm C dort.
  Die Koszul-Auflösung zeigt sofort, dass C_{0} als O_X-Modul endlich
  präsentiert ist: Habe 0 --> O_X --z--> O_X --> C_{0} --> 0.

  Also gilt: HOM(C_{0}, O_X)_0 ~~ Hom_{O_0}(C, O_0) = 0.


=== Halme des Pushforwards

Sei f : X --> Y. Sei y \in Y. Gelte folgende Bedingung: Jede Familie von
offenen Umgebungen um die Urbildpunkte f^{-1}[y] lässt sich so verkleinern,
dass die Umgebungen paarweise disjunkt werden und sodass ihre Vereinigung von
eine Obermenge von einer Menge der Form f^{-1}[U] ist, für eine offene
Teilmenge y \in U \subseteq Y.

Dann gilt: (f_* F)_y ~~ \prod_{f(x)=y} F_x.

Das ist zum Beispiel erfüllt bei:
* f : R --> R, x |-> x^2
* f : S^1 --> S^1, z |-> z^2


Etwas allgemeiner: Es gilt (f_* F)_y ~~ Gamma(f^{-1}[y], F), wenn folgende
Bedingung erfüllt ist: Zu jeder offenen Teilmenge U von X, welche f^{-1}[y]
umfasst, gibt es eine offene Teilmenge V von Y, welche y enthält und sodass
f^{-1}[V] eine Teilmenge von U ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn f abgeschlossen ist!
Siehe: Torsten Wedhorn. Manifolds, sheaves, and cohomology. Seite 86.


=== Zurück und vor

Sei f : X --> Y Morphismus geringter Räume. Sei F ein O_X-Modul und E ein lokal
freier O_Y-Modul endlichen Rangs. Dann gilt die Projektionsformel:

    f_*(F tensor f^*E) ~~ f_*F tensor E.

Für F = O_X erhält man:

    f_* f^* E ~~ f_*O_X tensor E.

Ist f speziell eine offene Immersion von Schemata sodass Y normal und X
mindestens Kodimension 2 hat, so gilt f_*O_X ~~ O_Y, also in diesem Fall

    f_* f^* E ~~ E.

Quelle: http://mathoverflow.net/questions/114032/restriction-of-sheaf

Das ist natürlich ein Hartogs-Phänomen. Für mehr Hintergrund siehe:
http://mathoverflow.net/questions/45347/why-does-the-s2-property-of-a-ring-correspond-to-the-hartogs-phenomenon/45354#45354


=== Träger

1) Träger eines Schnitts: supp s := { x | s_x \neq 0 } ist stets abgeschlossen.

2) Träger einer (Modul- oder Ring-)Garbe: supp F := { x | F_x \neq 0 }
   -- ist im Allgemeinen weder offen noch abgeschlossen.
   -- aber abgeschlossen, wenn F Ringgarbe oder Modulgarbe v.e.T.
   -- ist Vereinigung der Träger aller Schnitte über allen offenen Teilmengen.

   Beispiel: supp(A/p) = V(p) = { q | p \subseteq q }.
   Speziell: supp(A/m) = { m }, wenn m maximal ist.

3) Falls U cap (supp F) = leer, so ist F(U) = 0.

   Umformulierung der Definition: F_x = 0, falls x nicht in supp F liegt.

4) Der Träger ändert sich unter Garbifizierung nicht.

5) supp(F \otimes G) \subseteq supp(F) \cap supp(G).

6) Ist phi: F --> G ein Morphismus, dann:
   -- { x | phi_x \neq 0 } \subset supp F \cap \supp G.
   -- Wenn phi Mono: supp F \subset supp G.
   -- Wenn phi Epi:  supp F \supset supp G.

   Ist 0 --> F' --> F --> F'' --> 0 eine kurze exakte Sequenz, so gilt
   supp(F) = supp(F') \cup supp(F''). Was hat das für Konsequenzen?
   Etwas ähnliches gilt auch für längere exakte Sequenzen, sogar für
   unendlich lange. Das zeigt man möglichst elegant durch eine
   Verallgemeinerung von K-Theorie (Definition als freien abelschen Monoid
   genügt für den Fall endlicher exakter Sequenzen).

   Damit verwandt: Ist 0 --> F' --> F --> F'' --> 0 eine nicht unbedingt exakte
   Sequenz, so gilt (kurz geschrieben):

       |F'| + |F''| + |H^1| = |F| + |H^0| + |H^2|.

7) supp HOM(F,G) \subseteq clos supp(F) \cap clos supp(G).

   Das ist klar mit einem topologischen Kriterium für Zugehörigkeit zum
   Abschluss.


=== i_* und i_! 

1) Sei i: Z \subset X abgeschlossen, F Garbe auf Z.
   Dann ist i_*(F) Garbe auf X, die auf Z dieselben Halme wie F hat
   und auf X\Z jeweils 0 als Halme hat.
   Insbesondere ist i_* dann exakt.

2) Sei F Garbe auf X, supp F \subset Z \subset X, Z abgeschlossen.
   Dann (und nur dann) ist F --> i_* i^(-1) F ein Iso.

   Das ist übrigens genau dann der Fall, wenn F(U) = F(V) für U, V
   mit U cap Z = V cap Z.

3) Zu U \subset X offen gibt es i_!:
   -- i_! -| i^(-1) -| i_*
   -- i_! ist exakt.
   -- Halme von i_!(F) gleich F_x bzw. gleich 0.
   -- Definiert als die Vergarbung der Prägarbe
          W |--> F(W), falls W \subset U; 0, sonst.
   -- Oder intern: i_!(F) = { x : F | (x = 0) v U }.
   -- i^{-1} . i_! = id.
   -- Wesentliches Bild von i_! besteht aus denjenigen Garben abelscher
      Gruppen, deren Halme auf dem Komplement von U verschwinden.

4) Zurückziehen/Vorwärtsdrücken induziert ziemlich sicher eine Äquivalenz

      AbSh(Z) ~ { F aus AbSh(X) | supp F \subseteq Z },

   wenn Z \subseteq X abgeschlossen ist.

5) Zu i_*, i abgeschlosse Einbettung Z --> X, gibt es einen Rechtsadjungierten
   i^!. Der ist so definiert: (i^! E)(U) = { s in E(V) | supp(s) <= Z },
   falls U = V cap Z, V offen in X. Das ist wohldefiniert.
   https://math.berkeley.edu/~amathew/verd.pdf, Seite 2.


=== Wolkenkratzergarben allgemein

Sei F eine Garbe auf X mit supp F = { x0 }. Sei x0 ein abgeschlossener Punkt.

* Jeder Keim s \in F_x0 lässt sich eindeutig zu einem globalen Schnitt,
  dessen Halm bei x0 gleich s ist, fortsetzen.

  Denn: Die Eindeutigkeitsaussage ist klar (vergleiche Halme!). Zur Existenz
  finde einen Schnitt s, der auf einer offenen Menge U um x0 definiert ist und
  den vorgegebenen Keim repräsentiert. Dann lässt sich X durch

      U  und  X \ {x0}

  überdecken (hier geht die Abgeschlossenheit von x0 ein!). Die Schnitte s auf U
  und der einzige Schnitt auf X\{x0} (der Nullschnitt) verkleben zum gesuchten
  globalen Schnitt.

* Daher hat man für x0 in U einen kanonischen Isomorphismus

      F(U) ---> F_x0.  (Keim nehmen)

  Dieser ist natürlich in U, in dem Sinn, dass für V \subseteq U die beiden
  Morphismen F(U) ---> F_x0 übereinstimmen.

* F ist kanonisch isomorph zu i_*(F_x0), wobei i : {x0} --> X die kanonische
  abgeschlossene Immersion ist. Genauer:

  1. Wenn F nur eine Garbe abelscher Gruppen ist, ist der rein
  garbentheoretische Pushforward längs der stetigen Abbildung i die einzige
  Option.

  2. Wenn X ein lokal geringter Raum und F ein O_X-Modul ist, möchte man
  vielleicht die LRS-Varianten von Pullback und Pushforward verwenden.
  Dann darf man NICHT i : Spec k(x0) --> X verwenden. Denn der Pullback eines
  O_X-Moduls unter diesem Morphismus ist nicht der Halm, sondern die Faser an
  der Stelle x0; und Vorwärtsdrücken kann man gar nicht beliebige
  O_{X,x0}-Moduln.

  3. Stattdessen muss man i : (pt, O_{X,x0}) --> X verwenden.
  Beobachte, dass dieser LRS im Allgemeinen KEIN Schema ist (müsste schon affin
  sein, dann müsste er aber soviele Punkte enthalten, wie O_{X,x0} Primideale
  besitzt).

* F ist injektiv (und somit flabby, was man auch direkt sehen kann).
  Denn F_x0 ist als Vektorraum über einem Körper injektiv in k(x0)-Mod.
  Die Flabbyness kann ich auch einsehen, wenn O_X kein lokaler Ring ist (und
  man somit nicht Rückzug auf Vektorräume hat).
  ??? Hier scheinen Halm und Faser verwechselt zu sein.

* Daher verschwindet die höhere Garbenkohomologie von X mit Werten in F.
  Kann das auch direkt einsehen: Sei F_x0 --> I^* eine injektive Auflösung in
  O_x0-Mod. Dann ist i_*(F_x0) --> i_*(I^*) eine injektive Auflösung in X.
  Die Behauptung folgt.

  Korollar: chi(F) = dim_k F_x0. Falls F_x0 die Skalareinschränkung längs
  O_x0 --> k(x0) eines k(x0)-Vektorraums ist, und ferner k = k(x0) gilt,
  so ist das gleich der k-Dimension dieses Vektorraums (welcher dann gleich
  der Faser von F an der Stelle x0 ist).

* Sei L ein O_X-Modul mit L_x0 ~~ O_x0. Dann habe einen Isomorphismus

      F \otimes L ---> F,

  der kanonisch ist modulo Wahl des Isomorphismus L_x0 ~~ O_x0.

  XXX: Das nochmal prüfen!

  Habe folgendes verwandtes Resultat, X lokal geringter Raum:
  i_*(k(x0)) otimes F ~~ i_*(F|_x0).

* Sei f : X --> Y ein Morphismus von topologischen Räumen.

  Dann gilt: (f_* F)(U) = F_x0, falls f(x0) in U; 0, sonst.

  Insbesondere gilt (f_* F)_{f(x0)} = F_x0.

  Damit die Halme von f_*F an allen anderen Punkten verschwinden, ist es
  hinreichend, dass für jede offene Umgebung V von Y eine Unterumgebung V'
  existiert, die f(x0) nicht enthält. Das ist etwa dann der Fall, wenn
  f(x0) ein abgeschlossener Punkt in Y ist.


=== Toposstandpunkt

* [[ s = 0 ]] ist X \ supp s = { x | s_x = 0 }.

* [[ F = 0 ]] ist int(X \ supp F) = X \ clos supp F, denn:

       U \subseteq [[ F = 0 ]]
  <==> U |== F = 0
  <==> für alle x \in U: x \in X \ supp F
  <==> U \subseteq (X \ supp F).

* In einer kurzen exakten Sequenz 0 --> F --> G --> H --> 0 gilt:
  G = 0 genau dann, wenn F = 0 und H = 0.

  Daraus folgt sofort ein Ergebnis über die Abschlüsse der Träger:
  clos supp G = clos supp F cup clos supp H.

* [[ F bewohnt ]] = { x | F_x bewohnt }; das ist natürlich langweilig
  für O_X-Modulgarben, da gleich ganz X.

* [[ 1 = 0 ]] gehört zu X \ supp R, R Ringgarbe.

* Was bedeutet [[ \exists x : M. x \neq 0 ]] für M Modulgarbe?


=== Geometrischer Nakayama

Klar. Formulierung siehe Ravi Vakil.


=== Garbenhom bei O_X-Moduln

Man hat stets einen natürlichen Morphismus

    HOM_{O_X}(E, F)_x --> Hom_{O_{X,x}}(E_x, F_x).

Falls E um x von endlicher Präsentation ist, ist das sogar ein Iso.
Zeige das so: Kann auf offene Umgebung von x einzuschränken; für
E = O_X^n wäre es klar; HOM-Funktor ist linksexakt; 4er-Lemma.

Sollte ferner Hom(E_x, F_x) tensor k(x) --> Hom(E|_x, F|_x) ein Iso sein, gilt
sogar HOM(E, F)|_x ~~ Hom(E|_x, F|_x). Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn
E und F frei von endlichem Rang um x sind. Vermutlich auch noch allgemeiner.


=== Kohärenzbedingung

* Von einer Modulgarbe, die nicht kohärent ist, sollte man nicht die Fasern
  berechnen. Das zeigt sich etwa im Fall K_X: Die Fasern an (abgeschlossenen)
  Punkten sind alle Null.

* O_X von einer Mannigfaltigkeit ist fast nie kohärent:
  http://math.stackexchange.com/questions/198558/when-is-the-sheaf-corresponding-to-a-vector-bundle-on-a-smooth-manifold-coherent


=== Lokale Systeme

Ein lokales System ist eine lokal konstante Garbe (von Vektorräumen), d.h. eine
Garbe, die auf den Mengen einer Überdeckung jeweils isomorph zu einer
konstanten Garbe ist.

Fundamentales Lemma: Lokale Systeme auf X entsprechen Darstellungen des
Fundamentalgruppoids von X.

Ist gamma: [0,1] --> X ein Weg, hat man einen Isomorphismus F_gamma(0) -->
F_gamma(1) von Halmen, indem man das Intervall in (dank Kompaktheit endlich
viele) Teile teilt, deren Bild unter gamma jeweils in einer geeigneten offenen
Menge landen (offen und zusammenhängend). Abstrakter: Der Rückzug von F auf
[0,1] ist sogar eine konstante Garbe.

Details:
* Achar, Local Systems and Constructible Sheaves.
* Schapira, Algebra and Topology.

Euler characteristic with coefficients in a rank n local system equals n times
ordinary Euler characteristic.
http://mathoverflow.net/questions/136516/euler-characteristic-of-coverings-via-sheaf-theory?rq=1

http://mathoverflow.net/questions/17786/why-are-local-systems-and-representations-of-the-fundamental-group-equivalent


=== Konstante Garben

* Konstante Garben sind auf Räumen mit generischem Punkt negneg-Garben.
  Das liegt daran, dass Abbildungen X --> A, wobei X einen generischen Punkt
  hat und A diskret ist, konstant sind (mit Wert f(xi)). Für jede nichtleere
  offene Teilmenge U ist dann F(U) --> F_xi ein Iso.

* Allgemeiner sind Abbildungen X --> A, wobei X einen generischen Punkt hat
  und A hausdorffsch ist, konstant. Insbesondere ist die Garbe der stetigen
  Funktionen auf solchen Räumen X also die konstante Garbe R.

* Untergarben konstanter Garben sind nicht immer wieder konstant und auch nicht
  lokal konstant.

  Beispiel: Sei E folgende Garbe auf R:

      E(U) = { f : U --> R lokal konstant | 0 in U ==> f(0) = 0 }.

  Diese Garbe ist eine Untergabre der konstanten Garbe R. Sie ist allerdings
  nicht lokal konstant. Ihr Halm bei x != 0 ist isomorph zu R (vermöge [f] |-> f(0)),
  aber ihr Halm bei x = 0 ist Null (jeder Keim um 0 ist, nach Übergang zu einer
  kleineren offenen Definitionsmenge, Null).

* Untergarben lokal konstanter Garben sind nicht immer wieder lokal konstant.

  Beispiel: A --> NN (konstante Garbe) mit A = { n:N | ex. EZS von F mit n
  Elementen }. Wenn A lokal konstant wäre, so wäre lokal der Halm A_x immer
  derselbe; insbesondere wäre x |--> rk_x F lokal konstant. Das muss ja aber im
  Allgemeinen nicht der Fall sein.

  Einfacheres Beispiel: Die terminale Garbe ist lokal konstant (sogar konstant).
  Die Untergarbe Hom(__, U) = j_!(1) für eine offene Menge U ist aber meist
  nicht lokal konstant. Zumindest dann nicht, wenn es einen Punkt gibt, sodass
  jede offene Umgebung des Punkts mindestens ein Punkt aus U und einen Punkt
  aus dem Komplement von U enthält. Kurz, wenn es einen Punkt aus dem Rand von U gibt.

* Lokale Konstanz mit endlichen Werten kann man leicht intern charakterisieren:
  Das stimmt genau dann, wenn X |== bigvee_n F ~~ [n], also wenn X |== F endlich.

* Gilt HOM(gamma*(A), gamma*(B)) ~~ gamma*(B^A), zumindest lokal?

  Elephant, Seite 1025, Beispiel 4.7.12 sagt: Ja, falls X lokal
  zusammenhängend. (Der Iso ist dann sogar global.)

  Sagt auch nLab: http://ncatlab.org/nlab/show/locally+constant+sheaf, Prop. 1.

* Falls X lokal ist, so besitzt der Funktor "globale Schnitte nehmen" nicht
  nur wie immer einen Linksadjungierten ("konstante Garbe nehmen", auch
  "Disc" genannt), sondern dann auch einen Rechtsadjungierten:

      CoDisc : Set --> Sh(X)
                 M |-> (auf U: M^{*|U=X})

  Das entlarvt Sh(X) als lokalen Topos.

  Wenn X nicht lokal ist, ist CoDisc(M) im Allgemeinen keine Garbe.


=== Garbentheoretischer Zugang zu Mannigfaltigkeiten

* Donu Arapura: Manifolds and Varieties via Sheaves.
  http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/crashcourse.pdf
  http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/sheaves.pdf


=== Torsion

* angeblich: kohärent, torsionsfrei ==> lokal frei
  (zumindest in Dimension 1)

* angeblich: F kohärent, torsionsfrei ==> F^^ lokal frei


=== Kategorie der Garben als Lokalisierung der Prägarbenkategorie

Sh(X) = PSh(X)[(lokale Isos)^(-1)]. Dabei heißt ein Prägarbenmorphismus lokaler
Iso, wenn er Isos auf allen Halmen induziert.

Motto: Eine Garbe ist was man erhält, wenn man eine Prägarbe nimmt und alles
wegschmeisst, was nicht auf dem Niveau von Halmen detektierbar ist.

Siehe: Antwort von Zhen Lin auf
http://math.stackexchange.com/questions/9928/yoga-of-localization-in-categories.


=== Garben auf lokalen Räumen

Sei X ein lokaler Raum.

* Sei x ein Brennpunkt von X. Dann ist für jede Garbe F die kanonische Abbildung

      F(X) ---> F_x

  ein Iso. Daher ist also "globale Schnitte nehmen" dann einfach Spezialfall
  von "Halm nehmen". Das ist gut zu wissen, wenn man es mit geometrischen
  Formeln zu tun hat!

* Auch ohne Brennpunkt besitzt der "globale Schnitte"-Funktor einen extra
  Rechtsadjungierten, explizit durch folgende Formel gegeben:

      Gamma^!(M) := (auf U: [ (U=X), M ]).


=== Grothendiecks vier bzw. sechs Funktoren

Siehe: http://blog.konradvoelkel.de/2012/05/four-functors-example/

Ein Grund für die Notwendigkeit der derivierten Kategorie ist, dass f_! im
Allgemeinen keinen Rechtsadjungierten f^! in der Garbenkategorie besitzt.
(Kann er nicht haben, denn f_! besitzt im Allgemeinen Kohomologie, ist also
nicht rechtsexakt.)


=== Homologische Eigenschaften von Coh(X)

* Die homologische Dimension von Coh(X) ist <= Dimension von X.
  Das stimmt wohl unter irgendwelchen Voraussetzungen.

* Coh(X) hat im Allgemeinen nicht endliche Länge: Die einzigen
  einfachen Objekte sind die Wolkenkratzergarben. Aber nur Garben, deren Träger
  Dimension 0 hat, können eine Filtrierung durch solche Garben besitzen.
  http://www.math.utah.edu/dc/tilting.pdf, Seite 6.

* Trotzdem ist Coh(X) gelegentlich deriviert äquivalent zu einer
  Kategorie von Darstellungen eines (gebundenen) Köchers! Solche haben stets
  endliche Länge. (Und auch stets eine freie K-Theorie. Das gibt also eine
  notwendige Bedingung dafür, dass das stimmt.
  http://www.math.utah.edu/dc/tilting.pdf)


=== Siehe auch

http://www.math.uni-kiel.de/algebra/bois/docz/sheaves_notes.pdf
Nette Einführung mit Bildern. Sagt auch etwas, wie man Coh(X) aus Coh(U_i)
erhält.


=== Devissage

Tag 01YF im Stacks Project: Jede kohärente Garbe auf einem noetherschen Schema
besitzt eine endliche Filtrierung durch kohärente Untergarben sodass die
Quotienten Pushforwards von Idealgarben auf gewissen integren abgeschlossenen
Unterschemata sind.


=== Nächste Schritte

* Was passiert mit solchen Wolkenkratzergarben unter Vorwärtsdrücken und
  Zurückziehen?

* Höhere direkte Bilder verstehen. Weiß man etwas über den Träger?

* Bemerkungen unter Überschrift "Torsion" verstehen

* Dinge wie "f_* K ~~ K oplus K" verstehen, wobei K jeweils konstante Garbe