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=== Fette Punkte
* Vakil auf Seite 132. Spec k[x,y]/(x,y)^2 sieht wie ein Kreis aus, da
keine Richtung bevorzugt ist. Spec k[x,y]/(x^2,y^2) dagegen wie ein Quadrat.
=== Primideale
* Sei a cap b <= p, wobei a und b Ideale sind und p ein Primideal ist.
Dann (klassisch) a <= p oder b <= p.
* Prime avoidance lemma: Sei E eine additive Untergruppe, die außerdem
unter Multiplikation abgeschlossen ist. Also ein Unterring, der nicht
unbedingt die Eins enthalten muss. Seien p_1, ..., p_n Ideale, von denen
alle bis auf zwei Primideale sein müssen. Dann:
E <= bigcup_i p_i ==> E <= p_i für ein i.
* Der Schnitt über alle Primideale, oder auch nur die minimalen, ist sqrt(0).
* Noethersche Ringe (und auch solche, die nur die aufsteigende Kettenbedingung
für Radikalideale erfüllen) besitzen nur endlich viele minimale Primideale.
http://math.stackexchange.com/questions/47342/does-every-closed-set-of-prime-ideals-of-a-noetherian-ring-contain-a-finite-dens
=== Wozu sind noethersche Schemata gut?
"As far as I can see, we want to consider Noetherian schemes since they will
allow for a Mayer–Vietoris sequence in the Nisnevich topology. The key
ingredient for that is the fact that if S is a Noetherian scheme, then |S| is a
Noetherian topological space: every decreasing chain of closed subsets
stabalises.
The converse is not true: there exist non-Noetherian schemes S, such that
|S| is a Noetherian topological space. You can even choose S affine."
http://www.math.ru.nl/~jcommelin/files/schintro.pdf
=== Dimension
* dim(X) <= n genau dann, wenn Sh(X) |== dim(O_X) <= n.
* dim(V(I)) <= n genau dann, wenn Sh(X) |== dim(O_X/I) <= n.
* Ist E eine Modulgarbe, so können wir das abgeschlossene Unterschema
supp(E) := V(Ann(E)) definieren. Topologisch stimmt das genau mit dem Träger
von E überein -- zumindest, wenn E von endlichem Typ ist, damit dieser
abgeschlossen ist. (Denn für das Innere der Komplemente gilt: Sie sind gleich
-- links haben wir den Wahrheitswert von "E = 0", rechts den von "1 in
Ann(E)".)
Dann folgt: dim supp(E) <= n genau dann, wenn Sh(X) |== dim(O_X/Ann(E)) <= n.
* Cohen-Macauley:
http://mathoverflow.net/questions/54876/geometric-meaning-of-cohen-macaulay-schemes
* Genau dann gilt für einen Ring R, dass alle Lokalisierungsmorphismen
R --> R_p (p Primideal)
lokal sind, wenn für alle Primideale p
R \ p <= R^x,
also wenn jedes Element nilpotent oder invertierbar ist.
Im Fall, dass R selbst lokal ist, ist das gleichbedeutend damit, dass die
Dimension von R <= 0 ist.
* Ein Ring A ist genau dann nicht der Nullring (zumindest in klassischer
Logik), wenn es einen Morphismus A --> B in einen lokalen Ring gibt, der
keine Lokalisierung ist.
Die Richtung "<==" ist klar. Zur Richtung "==>" wähle ein maximales Ideal m
und betrachte dann A --> A/m --> Quot (A/m)[X]. Dieser Morphismus kann keine
Lokalisierung sein.
Konsequenz daraus ist: Sei A nicht der Nullring. Dann gibt es ein A-Schema X
und einen Punkt x von X, sodass der induzierte Morphismus A --> O_{X,x} keine
Lokalisierung ist. (Nimm nämlich X = Spec B und x der eindeutige
abgeschlossene Punkt, dann O_{X,x} = B_m = B.)
* Sei A ein lokaler Ring. Dann ist die Dimension von Spec(A) \ { m } strikt
kleiner als die von Spec(A). (Dabei ist Spec(A) \ { m } nicht
notwendigerweise affin.) Klar, da der Endpunkt einer jeden maximalen Kette
von Primidealen entfernt wurde!
Ist nützlich für induktive Argumente über die Dimension.
http://mathoverflow.net/questions/92275/punctured-spectrums-of-local-rings
=== Dominanz
* Sei f : X --> Y ein Morphismus zwischen affinen integren Schemata.
Dann sind äquivalent:
1. f ist dominant (d.h. f[X] ist dicht in Y)
2. f(xi_X) = xi_Y.
1. <==> f[X] trifft alle nichtleeren offenen U in Y
<==> für alle f in O_Y(Y) gilt: ist f nicht nilpotent,
so existiert ein Primideal p in O_X(X) sodass f nicht in
f^#^{-1}[p] liegt
<==> für alle f in O_Y(Y) gilt: falls f in allen f^#^{-1}[p] liegt,
so ist f nilpotent
<==> für alle f in O_Y(Y) gilt: falls f in f^#^{-1}[sqrt(0)] liegt,
so liegt f in sqrt(0)
<==> f^# reflektiert Nilpotenz
2. bedeutet f^#^{-1}[(0)] = (0). Das ist äquivalent zur Nilpotenzreflektion.
* Stimmt es, dass ein Morphismus f : X --> Y zwischen beliebigen Schemata
genau dann dominant ist, wenn f^# : f^{-1}(O_Y) --> O_X aus Sicht von Sh(X)
Nilpotenz reflektiert, wenn also O_{Y,f(x)} --> O_{X,x} für alle x aus X
Nilpotenz reflektiert?
Glaube nicht (schon im affinen Fall falsch).
=== Spec Z
* Pic(Spec Z) ist trivial. Ein Beweis (nicht der beste) geht so:
Ein M ein endlich erzeugter projektiver Z-Modul (d.h. M~ sei ein beliebiges
Vektorbündel). Dann ist M Kokern einer idempotenten Matrix. Also ist M auch
Kern einer idempotenten Matrix (derselben: ker P --> cok P ist ein Iso).
Also ist M frei (bringe P auf Smithsche Normalform).
Auf Spec Z sind also alle Vektorbündel trivial. Geradenbündel gibt's daher
nur eins, das triviale.
=== Wie viel weiß der zugrundeliegende topologische Raum eines Schemas?
"Note that all curves (over a fixed algebraically closed field say) are
homemorophic in the Zariski topology." Laut Torsten Ekedahl auf
http://mathoverflow.net/questions/19345/how-to-characterize-abelian-sheaves-that-are-quasi-coherent.
Ein boolschen Ring kann man aus seinem Spektrum (nur aufgefasst als
topologischen Raum) vollständig zurückgewinnen -- als Menge der
offenabgeschlossenen Teilmengen. Stichwort Stone-Dualität.
=== Über die Wahl des richtigen Topos
* Die Siten Sch/S und Aff/S führen zum selben Topos. Ebenso deren volle
Unterkategorien derjenigen Schemata, die über S lokal von endlicher
Präsentation sind.
Wieso schränken wir uns nicht auf die Schemata, die sogar global von
endlicher Präsentation sind, ein? Das hat einen ganz einfachen Grund.
Offene Immersionen sind stets lveP, aber nicht immer veP. Wir wollen
aber, dass offene Unterschemata im Situs enthalten sind (etwa, damit
wir einen einfachen Vergleich zum kleinen Topos ziehen können).
Außerdem besitzt jedes lveP/S-Schema trivialerweise eine offene
Überdeckung durch affine Schemata, welche lveP/S sind. Für "veP/S" ist
mir das nicht klar.
* Die Kategorie (Aff /^lveP S) ist wesentlich klein. Denn: Ist X --> S
ein Objekt aus dieser Kategorie, so wissen wir: Es gibt eine
Überdeckung S = bigcup_i V_i und Überdeckung f^{-1}[V_i] = bigcup_j
U_ij sodass die Ringhomos O_S(V_i) --> O_X(U_ij) alle von endlicher
Präsentation sind. Für die O_X(U_ij) gibt es also nur Mengen-viele
Möglichkeiten. Der Ring O_X(X) hat also die Eigenschaft, eine
Überdeckung durch Ringe zu besitzen, die durch eine Menge durchlaufen.
Mit der expliziten Konstruktion als Menge kompatibler Familien von
Schnitten durchläuft O_X(X) also auch nur eine Menge von
Möglichkeiten. Morphismen X --> S gibt es dann auch nur Mengen-viele.
=== Morphismen zwischen den Zariski-Topoi
* Sei f : T --> S ein Morphismus von Schemata. Dann gibt es einen geometrischen
Morphismus
i_f : Sh(T) --> Zar(S)
mit i_f^{-1} = (Einschränken auf T) und i_f_* durch:
(i_f_*(E))(P/S) = lim_{P -> U} E(U) (ziemlich sicher; beachte lim statt colim!)
evtl. auch U -> P
Der Funktor i_f^{-1} hat noch einen Linksadjungierten i_f_!, der mit
Faserprodukten und Equalizern kommutiert.
Das ist Tag 020Y im Stacks Project.
Es ist i_f^{-1}(A^1) = O_T.
(i_f_*(E))(P/S) = Hom(y(P/S), i_f_*(E)) = Hom(i_f^{-1} y(P/S), E) =
Hom(y(P/S)|_Sh(T), E) = lim_{U <= T offen, U --> P} E(U).
Insbesondere sollte für P <= T offen gelten:
i_f_*(E)(P/S) = lim_{U <= P offen} E(U) = E(P).
Also i_f^{-1} . i_f_* = id. (Ist konsistent mit pi_* . i_* = id unten.)
* Dank i_f_! ist i_f^{-1} also stetig und kostetig. Somit weiß ich, wie in
Zar(S) Kolimiten berechnet werden: eingeschränkt auf Sh(T) so, wie in Sh(T).
Ist T sogar lokal, so ist die Auswertung bei T schon (stetig und) kostetig.
* Außerdem habe geometrische Morphismen
pi : Zar(S) --> Sh(S)
i : Sh(S) --> Zar(S)
mit pi . i = id.
* pi_* = i^{-1} = (Einschränken auf den kleinen Zariski-Topos).
* i_* = i_{id_S}_* = die Sache mit dem lim oben.
* pi^{-1}(E) = Vergarbung von (T/S |-> colim_{T -> U} E(U)) (ziemlich sicher).
* (pi^{-1} E)|_Sh(T) = (i_f^{-1} . pi^{-1})(E) = (pi . i_f)^{-1}(E) =
f_small^{-1}(E) = f^{-1}(E) (Tag 0211, Teil (4)).
* pi^{-1} E ist also das, was ich gelegentlich E~ genannt habe:
(pi^{-1} E)(T --mu--> S) = Gamma(T, mu^{-1} E).
* pi^{-1} ist volltreu (Tag 00XU), d.h. pi ist zusammenhängend, d.h.
F --> (F~)|_Sh(S) ist ein Iso für alle F aus Sh(S).
(Somit ist, wegen einer der Dreicksidentitäten, auch
R eps : (E|_Sh)~|_Sh --> E|_Sh ein Iso.)
* i^{-1} A^1 = O_S, pi^{-1} O_S = O_S^~.
* pi^{-1} -| pi_* = i^{-1} -| i_*.
* Der Morphismus pi : Zar(S) --> Sh(S) ist ein lokaler geometrischer
Morphismus, denn pi_* besitzt einen weiteren Rechtsadjungierten, nämlich i_*,
und pi ist zusammenhängend (d.h. pi^{-1} ist volltreu).
Das ist Tag 020Z.
Ein expliziter Nachweis, dass
Hom_Zar(S)(E~, F) = Hom_Sh(S)(E, F|_Sh(S)),
sieht so aus: Ein Morphismus phi aus der linken Menge wird einfach auf
phi|_Sh(S) geschickt. Umgekehrt wird ein Morphismus psi auf der rechten Menge
auf den Morphismus geschickt, dessen Einschränkung auf die Sh(T) (für mu : T --> S)
so aussieht:
mu^(-1)(E) ----> mu^(-1)(F|_Sh(S)) ----> F|_Sh(T).
Um die Inversität nachzurechnen, muss man die Natürlichkeit von phi
ausnutzen. Diese besagt nämlich insbesondere, dass
(F|_Sh(S) --> mu_*(F|_Sh(T))) . phi|_Sh(S) =
mu_*(phi|_Sh(T)) . (E --> mu_* mu^(-1) E).
* Der laxe 2-Kolimes von Sch/S --> Topoi (dem Pseudofunktor, der einem S-Schema
seinen kleinen Zariski-Topos zuordnet) ist der große Zariski-Topos von S.
https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/01/petit_topos_gros_topos.html#c021550
* Punkte des fppf-Topos:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~schroeer/publications_pdf/points_fppf.pdf
* Sei f : X --> S ein Morphismus von Schemata. Dann sollten wir folgende
Funktoren haben:
f_! -| f^{-1} -| f_*.
Also ist (f^{-1} -| f_*) : Zar(X) --> Zar(S) ein wesentlicher geometrischer
Morphismus.
* f_*(F) : T/S |--> F(T x_S X)
* f^{-1}(E) : T/X |--> F(T/X/S)
* f_!(F) : T/S |--> coprod_{mu : T --> X über S} F(T/X)
Es ist Zar(X) zu Zar(S)/yX vermöge dieser Funktoren äquivalent:
Zar(X) --> Zar(S)/yX durch F |--> (f_!(F) --> f_!(1))
Zar(S)/yX --> Zar(X) durch (E --> yX) |-->
auf T/X: { s in f^{-1}(E) | s wird unter E --> yX auf den
Strukturmorphismus von T/X abgebildet }
Sei A eine O_S-Algebra. Dann gibt es ja die A^1_S-Algebra A~. Unter dieser
Äquivalenz korrespondiert (A~ x yX --> yX), die Algebra in Zar(S)/yX, zu
(f^* A)~.
* Mit den universellen Eigenschaften kann man eigentlich sehr schnell zeigen,
dass
X x_S Spec_S(A) = Spec_X(f^*(A)),
und zwar für beliebige (nicht notwendigerweise quasikohärente) O_S-Algebren A.
Auch im großen Zariski-Topos ist es schön, denn die linke Seite ist
yX x [A~, A^1]_{A^1-Alg} (in Zar(S))
und die rechte
[\underline{A~}, A^1_X]_{A^1_X-Alg} (in Zar(S)/yX).
Diese sind offensichtlich gleich.
* Einbettung von Schemata in Topoi:
https://mathoverflow.net/questions/426038/making-the-%c3%a9tale-topos-construction-a-fully-faithful-2-functor-from-schemes-to-g
=== Motivation für fppf- und fpqc-Topologie
https://mathoverflow.net/questions/195165/what-is-the-purpose-of-the-flat-fppf-fpqc-topologies
* Abstiegsprobleme: Quasikohärente Moduln und Schemata sind noch Garben
für die fpqc-Topologie
* p-Torsionsphänomene in Charakteristik p: Die Kummer-Sequenz ist nicht
exakt in der étalen Topologie. In der fppf-Topologie dagegen schon. So erhält
man also lange exakte Sequenzen in der fppf-Topologie. Für glatte
(Gruppe-)Schemata(?) liefert zum Glück jede Topologie dieselben
Kohomologiegruppen.
* Mehr: https://arxiv.org/pdf/1912.04957.pdf
=== Proj-Konstruktion
* Funktorialität:
http://math.stackexchange.com/a/1038969/61604
* http://therisingsea.org/notes/TheProjConstruction.pdf
* http://mathoverflow.net/questions/41624/a-sheaf-theoretic-version-of-the-proj-construction
=== Vektorräume als affine Schemata
Die kovariante Zuordnung
V |--> Spec Sym V^
bildet jeden (endlich-dimensionalen) k-Vektorraum auf ein Schema ab, dessen
k-rationale Punkte in kanonischer Bijektion zu den Elementen von V stehen:
Hom(k, Spec Sym V^) = Hom(Sym V^, k) = Hom_lin(V^, k) = V^^ = V.
=== Verschwindungsmengen in affinen Schemata
* Sei f \in A. Dann gilt:
{ x \in Spec A | f = 0 \in k(x) } = V((f)) = { p | f \in p }.
* clos M = V(I(M)) = V(\bigcap M).
* Falls V(I(W)) = W (d.h. W abgeschlossen) und V eine beliebige Teilmenge des
affinen Raums ist, so gilt I(V) : I(W) = I(V \ W) (Idealquotient).
Insbesondere I(X \ W) = sqrt(0) : I(W).
* Der Rand von V(a) im topologischen Sinn ist V(a + sqrt(0):a).
(Beachte: Das ist nicht unbedingt ein Radikalideal.)
Allgemeiner ist der Rand von M die Menge V(I(M) + I(X \ M)).
* int(Spec A \ {p}) = Spec A \ V(p).
* (m maximales Ideal) supp A/I <= { m } <==> m <= sqrt(I).
Denn supp A/I = { q | I <= q }. Dann ist "<==" klar und "==>" sollte auch
stimmen.
* Jedes abgeschlossene Unterschema eines affinen Schemas ist selbst
affin und von der Form Spec(A/I). (Liu, Prop. 2.3.20.) Also in Kontrast zu
der Situation bei offenen Unterschemata.
* V(I + J) = V(I) cap V(J).
* V(IJ) = V(I) cup V(J).
Rein topologisch gilt auch: V(I cap J) = V(I) cup V(J),
denn sqrt(I cap J) = sqrt(I * J).
* Sei M ein A/I-Modul. Dann wird M vermöge A --> A/I zu einem A-Modul.
Dann gilt: supp(M) <= V(I) <= Spec(A).
=== Standardoffene Teilmengen
* D(f) \cap D(g) = D(fg)
* D(f) \subseteq \bigcup_i D(g_i) <==> f \in \sqrt{(g_i)_i}
(für "==>": Zorn!)
* insbesondere: Spec A = \bigcup_i D(g_i) <==> (g_i)_i = (1).
* D(f) ist genau dann leer, wenn f nilpotent ist.
* Seien p <= q Primideale. Sei q Element einer offenen Teilmenge U.
Dann ist auch p Element von U. (Schreibe U als Vereinigung standardoffener
Teilmengen. Oder so: Angenommen nicht. Dann p in U^c. Also auch cl{p} <= U^c.
Also q in U^c. Widerspruch.)
* Seien p_1, ..., p_n Primideale, die alle in einer offenen Teilmenge U
enthalten sind. Dann gibt es eine standardoffene Teilmenge D(f)
mit D(f) <= U, die ebenfalls diese Primideale enthält.
Der Beweis unten überträgt sich wörtlich auf diese allgemeinere Situation.
Auf die Endlichkeit der Anzahl der Primideale kann nicht verzichtet werden.
* Felix: "Ist X ein quasiprojektives Schema über einer Basis S (über die ich
jetzt nicht näher nachgedacht habe). Dann gibt es für jedes n eine endliche
(!) affine offene Überdeckung X=UV_i von X so dass je n beliebige Punkte auf
X bereits komplett in einem der V_i liegen (insbesondere ist also das
Hilbertschema von n Punkten quasikompakt (über S) in diesem Setting -- was
natürlich nur spannend wäre wenn man nicht wüsste dass es ohnehin sogar schon
wieder quasiprojektiv ist :)"
* D(f) ist dicht genau dann, wenn für alle g:
fg nilpotent ==> g nilpotent.
* \bigcup_i D(f_i) ist genau dann dicht, wenn für alle g:
f_i g nilpotent für alle i ==> g nilpotent.
* Eine offene Teilmenge U ist genau dann dicht, wenn
bigcap_{p in U} p = sqrt(0).
* Besitze A nur endlich viele minimale Primideale (zum Beispiel, wenn
A noethersch ist oder auch nur, wenn A die aufsteigende Kettenbedingung für
Radikalideale erfüllt -- siehe Wikipedia /minimal prime ideals/). Dann gilt:
Eine offene Teilmenge ist genau dann dicht, wenn sie alle minimalen
Primideale enthält.
http://math.stackexchange.com/questions/970496/dense-open-subsets-of-schemes
"<==": Diese Richtung gilt sogar ohne die Endlichkeitsvoraussetzung.
Denn bigcap_{p in U} p = bigcap_{p in U, p minimales PI} p = bigcap_{p min. PI} p = sqrt(0).
"==>": Habe bigcap_{p in U} p = bigcap_{p in U, p minimales PI} p = sqrt(0) = bigcap_{p min. PI} p.
Also gilt für jedes minimale Primideal q: bigcap_{p in U, p minimales PI} p <= q.
Nach Globalvoraussetzung ist der Schnitt links endlich.
Also p <= q für ein minimales Primideal p, welches in U liegt.
Wegen der Minimalität von q folgt p = q.
* Besitze A nur endlich viele minimale Primideale. Sei U <= Spec A
eine offene dichte Teilmenge. Dann gibt es eine standardoffene Untermenge von U,
die immer noch dicht ist.
Schreibe dazu U = D(I). Seien p_1, ..., p_n alle minimalen Primideale.
Dann liegt I nicht vollständig in p_i (da p_i in U), für alle i.
Nach prime avoidance liegt I auch nicht vollständig in bigcup_i p_i.
Also existiert ein f aus I, das in keinem p_i liegt.
Für dieses f gilt dann: D(f) <= U und D(f) ist noch dicht,
da es alle minimalen Primideale enthält.
* Sei q ein Primideal, das nicht minimal ist. (Sei q' echt kleiner als q.)
Dann gibt es eine offene dichte Menge, die q nicht enthält, und zwar U :=
Spec A \ V(q). Um das nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass
x liegt in allen Primidealen p, welche q nicht umfassen ==>
x liegt in allen Primidealen p.
Sei dazu ein solches x gegeben. Sei außerdem ein Primideal p gegeben.
Falls p q nicht umfasst, sind wir fertig.
Andernfalls gilt also q' <= q <= p. Da q' nicht q umfasst, liegt x in q' und
damit in q.
* Als Korollar: Der Schnitt über alle offenen dichten Teilmengen liegt in der
Menge der minimalen Primideale.
Falls der Ring nur endlich viele Primideale enthält, gilt die Verstärkung:
bigcap_{U offen, dicht} U = Menge der minimalen Primideale.
* Sei A eine abgeschlossene Teilmenge. Sei U eine offene Teilmenge. Dann gilt:
U <= A <==> { p in U | p minimales Primideal } <= A.
Folglich: cl U = cl { p in U | p minimales Primideal }.
* Ouv(Spec A) ist isomorph zu Rad(A), vermöge
U |--> { h in A | D(h) <= U }
und
a |--> bigcup_{h in a} D(h).
Für eine offene Menge U, die einem Radikalideal I entspricht, gilt:
p \not\in U <==> I <= p.
* Spec A ist lokaler topologischer Raum <==> A ist ein lokaler Ring.
Es gilt sogar: Ein Schema ist genau dann als topologischer Raum lokal, wenn
es das Spektrum eines lokalen Rings ist.
* D(I) (ein Unterschema von Spec(A)) ist genau dann affin, wenn I "codisjunctable" ist.
http://mathoverflow.net/a/66901/31233
* D(I) ist genau dann (nicht nur offen, sondern auch) abgeschlossen, wenn
ein Ideal J mit I + J = (1) und I cap J = sqrt(0) existiert. Das ist genau
dann der Fall, wenn D(I) = D(e) für ein Idempotentes e ist.
(Nein, das Ideal (e) ist wohl nicht immer automatisch ein Radikalideal. Ich
meine also schon sqrt((e)).)
* Sei X --> Y ein Morphismus. Sei X affin. Dann ist X --> Y nicht automatisch
affin. Aber schon, wenn Y (quasi-?)separiert ist.
http://mathoverflow.net/questions/74806/are-morphisms-from-affine-schemes-to-arbitrary-schemes-affine-morphisms
* Spec(A) --> Spec(B) ist genau dann eine offene Immersion, wenn
B --> A flach, von endlicher Präsentation und in Ring ein Epi ist.
http://mathoverflow.net/a/20792/31233
Alternativ: Genau dann, wenn das Bild von T in A das Einsideal ist,
wobei T = { f in B | B[f^(-1)] --> A[f^(-1)] Iso }.
http://mathoverflow.net/a/20790/31233
(T ist stets ein Ideal.)
Damit kann man zeigen: Spec A[S^(-1)] --> Spec A ist genau dann eine offene
Immersion, wenn Lokalisierung weg von S dasselbe ist wie Lokalisierung weg
von einem einzelnen Element. Denn für diesen Fall ist T = bigcap_{s in S} sqrt((s)).
Also ist das von T in A[S^(-1)] erzeugte Ideal genau dann das Einsideal, wenn
T cap S nicht leer ist, wenn also ein u aus S mit u in T existiert.
Das ist die Behauptung. (Genauer noch kann man zeigen, dass die Saturierung
von S mit { x | u in sqrt((x)) } übereinstimmt.)
* Auch offene *affine* Teilmengen von affinen Schemata sind nicht
unbedingt von der Form D(f) für ein einziges f.
http://mathoverflow.net/questions/7153/open-affine-subscheme-of-affine-scheme-which-is-not-principal
* Man könnte denken: Eine Teilmenge A ist genau dann abgeschlossen,
wenn für p <= q aus p in A folgt, dass q in A. Und dual könnte man denken,
dass eine Teilmenge U genau dann offen ist, wenn für p <= q aus q in U folgt,
dass p in U.
Die triviale Richtung ist jeweils wahr, die umgekehrte aber nicht.
Ein Gegenbeispiel ist die Menge Spec Z \ { (0) } von Spec Z, die nicht
abgeschlossen, aber trotzdem stabil unter Spezialisierung ist.
In einem gewissen Sinn stimmt es aber "fast". Stichwort konstruierbare
Mengen.
* Besitzt ein Schema eine Überdeckung durch "standardoffene" Mengen
(von der Form D(f), wobei die f globale Funktionen sind), welche affin sind,
so ist das Schema selbst schon affin.
=== Standardoffene Teilmengen in Proj S
Kann für beliebige Elemente f von S die offene Teilmenge
D_+(f) := { p in Proj S | f nicht in p }
betrachten. Üblicherweise wird das nur für homogene Elemente f gemacht, oft
auch nur für solche vom Grad >= 1. Aber es gilt
D_+(f) = bigcup_i D_+(f_i),
wenn f = sum_i f_i die Zerlegung in homogene Komponenten ist.
Für f aus S_+ und homogene Elemente g^i (beliebigen Grads) gilt:
D_+(f) <= bigcup_i D_+(g^i) genau dann, wenn
f in sqrt((g^i)_i).
Hier geht ein, dass bigcap { p | p homogenes Primideal mit a <= p } = sqrt(a)
ist, wenn a ein homogenes Ideal ist.
Für beliebige f und g^i gilt:
D_+(f) <= bigcup_i D_+(g^i) genau dann, wenn
f in (sqrt(((g^i)_i)^h) : S_+).
Dabei ist (__)^h die Homogenisierung (siehe kommutative-algebra.txt).
=== Formale Schemata
* Ist sowas wie Spec(O_{X,x}) --> X ein formales Unterschema?
=== Morphismen in affine Schemata
Sei f : X --> Spec A gehörig zu phi : A --> O_X(X). Dann gilt für alle x aus X:
f(x) = phi_x^(-1)[m_x] = { f in A | phi(f)_x nicht invertierbar in O_{X,x} },
wobei phi_x : A --> O_X(X) --> O_{X,x}. Umgekehrt ist phi die Komposition
A --> Gamma(Spec A, O_(Spec A)) --> Gamma(X, O_X),
induziert durch f^# : f^(-1) O_(Spec A) --> O_X, bzw. genauer durch seinen
Transponierten O_(Spec A) --> f_* O_X.
Verwandt ist folgende Beobachtung: Die Kategorien der affinen Schemata ist eine
reflektive Unterkategorie der Kategorie aller Schemata. Der Reflektor, d.h. der
Linksadjungierte zur Inklusion Aff --> Sch, ist Sch --> Aff, X |-> Spec Gamma(X,O_X):
Hom_Aff(Spec Gamma(X,O_X), Spec A) =
Hom_Ring(A, Gamma(X,O_X)) =
Hom_Sch(X, Spec A).
Der Reflektor ist nicht treu, man kann hier also nicht von einer
Vervollständigung sprechen.
Bin durch
http://mathoverflow.net/questions/9134/arbitrary-products-of-schemes-dont-exist-do-they
darauf gestoßen.
* Spec : CRing^op --> Sch ist der Rechtsadjungierte zu
Gamma : Sch --> CRing^op. Folglich schickt Spec Kolimiten in Ringen
auf Limiten in Schemata. Und Gamma schickt Kolimiten in Schemata auf Limiten
in Ringen.
* Ein Beispiel für ein Kolimes, der in der Kategorie der Schemata
nicht existiert: Der Kodifferenzkern von Spec k(t) --> A^1 amalg A^1.
Dieser wäre "zu nicht-separiert".
http://mathoverflow.net/questions/9961/colimits-of-schemes
* Mir kommt es so vor, als bewahre der Inklusionsfunktor von affinen
S-Schemata nach LRL/S Limesdiagramme, die aus Spec-Bildung von
Limesdiagrammen in Alg(O_S) entstehen, wobei alle vorkommenden Objekte (und
der Limes) Weilalgebren sind und das Diagramm endlich, bewohnt und
zusammenhängend ist.
=== Spektren von Algebren, die endlich als Modul sind
* Sei k ein Körper. Sei A eine k-Algebra, die endlich als Modul ist.
Dann gibt es Erzeuger x_1,...,x_n, welche wegen Cayley--Hamilton (betrachte
die k-lineare Abbildung x |-> x_i x) ganz über k sind: f_i(x_i) = 0.
Da es in k nur endlich viele Nullstellen dieser Polynome f_i gibt, gibt es
nur endlich viele k-Algebrenhomos A --> k, d.h. k-rationale Punkte von Spec A
über k.
* Sei X --> Y ein endlicher Schemamorphismus über k.
Dann besitzen die Fasern nur endlich viele k-rationale Punkte.
Außerdem besitzen die Fasern überhaupt nur endlich viele Punkte, aber wie
zeigt man das? Siehe:
http://math.stackexchange.com/questions/112345/the-fibers-of-a-finite-morphism-of-affine-varieties-are-all-finite
Sei A --> B ein endlicher Ringhomo. Dann besitzen alle Fasern nur endlich
viele Primideale.
Durch Übergang zur Faser können wir davon ausgehen, dass A ein Körper ist.
Da B als A-Algebra endlich erzeugt ist, ist Algebra II, Blatt 10, Aufgabe 3d)
anwendbar. Somit ist B als Ring artinsch.
Da artinsche Ringe von Dimension 0 sind, sind alle Primideale in B schon
maximal. Von solchen gibt es nur endlich viele, wie die Betrachtung eines
minimalen Elements in der Menge der endlichen Schnitte von maximalen Idealen
zeigt.
=== Rationale Punkte
* Jedes nichtleere quasikompakte Schema besitzt einen abgeschlossenen Punkt.
http://www.math.utah.edu/~schwede/Papers/SchemeWithoutPoints.pdf, Seite 12.
* Jeder Morphismus Spec K --> X faktorisiert über Spec k(x) --> X,
wobei x der eindeutige Punkt im mengentheoretischen Bild bezeichnet.
Insbesondere ist K also eine Körpererweiterung von k(x).
* Jeder Morphismus Spec A --> X, wobei A ein lokaler Ring ist,
faktorisiert über Spec O_{X,x} --> X, wobei x das Bild des
abgeschlossenen Punkts bezeichnet. Der Ringhomo O_{X,x} --> A
ist dabei sogar lokal.
(Beweis: Lokal habe Spec A --> Spec R, also R --> A. Das Urbild des maximalen
Ideals ist irgendein Primideal p (entsprechend x). Also faktorisiert R --> A
über R --> R_p. Der Homo R_p --> A ist lokal, da ein Element von R genau dann
nicht in p liegt, wenn sein Bild in A nicht im maximalen Ideal liegt.)
* So kann man also die (topologischen) Punkte eines Schemas aus seinem
Punktefunktor rekonstruieren: Als die Menge der Abbildungen
Spec K --> X modulo Verfeinerung (Spec K --> X und Spec K' --> X sollen als
äquivalent zählen, wenn es Spec L --> Spec K und Spec L --> Spec K' gibt,
sodass die Raute kommutiert). Oder als die Menge der Abbildungen
Spec A --> X mit A lokal (und lokalen Verfeinerungsmorphismen).
Also: X = Lan_Spec(!)(X) -- die Links-Kan-Erweiterung von
Field^op ---> Set, K |-> {*}
längs Field^op --> Sch, K |-> Spec K.
Oder auch: X = int^K Hom_Sch(Spec K, X).
Vielleicht gilt auch sowas wie:
X = int^A Hom_Sch(Spec A, X) * Spec A,
und zwar als topologische Räume, lokal geringte Räume oder als Schemata.
Update: Jup, gilt in der Kategorie von Schemata und in den Oberkategorien von
Zariski-Garben und -Prägarben auf Aff. Dann ist das nämlich einfach die
übliche Dichtheitsaussage der Yoneda-Einbettung.
Wenn ich dann a priori wüsste, dass QCoh : Sch^op --> Cat Limiten bewahrt
(also Kolimiten in Sch auf Limiten in Cat schickt, in einem 2-kategoriellen
Sinn), würde sofort folgen:
QCoh(X) = QCoh(int^A [Spec A, X] * Spec A)
= int_A [Spec A, X] * QCoh(Spec A).
* Spec k(x) --> X ist genau dann eine abgeschlossene Immersion,
wenn x ein abgeschlossener Punkt von X ist.
* Sei f : X --> Y eine offene oder abgeschlossene Immersion. Sei x in X.
Dann ist k(f(x)) --> k(x) ein Iso.
* Sei X ein Schema über k und x ein Punkt von X.
Ist k --> k(x) ein Iso, so ist x abgeschlossen.
Sei X ein Schema lokal von endlichem Typ über k, k algebraisch abgeschlossen,
und x ein Punkt von X.
Ist x abgeschlossen, so ist k --> k(x) ein Iso.
(Denn k(x) ist dann ein Quotient von O_X(U) (für eine geeignete affinoffene
Teilmenge U) modulo einem maximalen Ideal ("A/m") und daher eine endliche Erweiterung
von k. Das "daher" wird im Liu, Kor. 2.1.12 auf Seite 30 begründet.)
[Gegenbeispiel, falls k nicht algebraisch abgeschlossen: (X^2 + 1) in A^1_R.]
* Sei X ein Schema über k und x ein Punkt von X.
Ist k(x) | k endlich, so ist x abgeschlossen.
Ist x abgeschlossen und X lokal von endlichem Typ über k, so ist k(x) | k endlich.
* Der Funktor Sch/k --> Set, X |--> Hom_k(Spec k, X) ist natürlich nicht treu.
Etwa sind die Morphismen
Spec k[eps]/(eps)^2 --> Spec k[x]
mit x |-> eps bzw. x |-> 2*eps verschieden (falls char k != 2), aber auf
rationalen Punkten gleich.
Der Funktor ist aber durchaus treu auf der vollen Unterkategorie der
reduzierten k-Schemata (wenn k algebraisch abgeschlossen; laut Mumford,
Lectures on algebraic curves, Seite 16).
* Sei f : X --> Y ein Morphismus von k-Schemata, mit X l.v.e.T./k.
Sei x in X ein abgeschlossener Punkt.
Wegen der lveT-Voraussetzung ist dann k(x) | k endlich.
Dann haben wir den Turm k(x) | k(f(x)) | k.
Daher ist k(f(x)) | k ebenfalls endlich, und somit ist f(x) wieder
abgeschlossen.
# Wenn k algebraisch abgeschlossen ist, sind k(x) und k(f(x)) beide gleich k.
Dann sind also die Mengen der k-rationalen Punkte und der abgeschlossenen
Punkte identisch, und f induziert eine Abbildung zwischen ihnen.
* Ein sehr wichtiges Prinzip: Gültigkeit offener Bedingungen kann auf
quasikompakten Schemata schon auf abgeschlossenen Punkten geprüft werden.
Siehe topologie.txt.
=== Verschwinden von Schnitten
* Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m.
Dann erhält und reflektiert (!) der kanonische Ringhomo
A --> A/m
Invertierbarkeit.
* Man sagt, ein Schnitt eines Moduls F verschwinde an einem Punkt, wenn
er in F_x \otimes_{O_x} k(x) null ist.
* Abbildungen X --> P^n entsprechen Geradenbündeln L auf X zusammen
mit n+1 globalen Schnitten dieses Bündels, welche keine gemeinsame Nullstelle
besitzen. Siehe Thm. 16.3.7 (Omnibustheorem zu Pullback) und 16.4.1 in Vakil.
* Sei f globaler Schnitt eines Geradenbündels L. Dann habe O_X --> L.
Dieser Morphismus ist genau dann ein Iso, wenn er lokal ein Iso ist;
teste auf Überdeckung, auf der L trivial ist. Die Einschränkung
O_X|_U --> L|_U ist durch Multiplikation mit f|_U gegeben. Sie besitzt genau
dann ein Inverses, wenn f (aufgefasst als Funktion auf U) ein Inverses
besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn f nicht null ist in den Fasern.
Also: O_X --> L ist genau dann ein Iso, wenn f nirgendwo verschwindet.
* Sei L ein Geradenbündel. Lineare Abbildungen phi : O^n --> L entsprechen
bekanntlich der Angabe von n globalen Schnitten auf L. Diese haben genau dann
keine gemeinsame Nullstelle, wenn phi surjektiv ist.
* Nächster Schritt: Was ist ein regulärer Schnitt?
=== Verschwindungsschema
Sei s ein globaler Schnitt von O_X. Dann habe das Unterschema iota : V(s) --> X
mit der kurzen exakten Sequenz
0 --> (s) --> O_X --> iota* O_V --> 0.
Sei f : Y --> X ein Schemamorphismus.
Behauptung: f faktorisiert genau dann über iota, wenn f^#(s) = 0.
Beweis:
"==>" Der Ringmorphismus f^# : O_X --> f_* O_Y ist also die Komposition
O_X --> iota_* O_V(s) --> iota_* fquer_* O_Y ~~ f_* O_Y.
Schon der vordere Morphismus schickt s auf Null.
"<==" Zunächst topologisch. Angenommen, s wäre in O_{X,f(y)} doch invertierbar.
Dann wäre s also auf einer kleinen offenen Umgebung U von f(y)
invertierbar. Nach Voraussetzung gilt trotzdem, dass f^#(s) in
O_Y(f^(-1) U) Null ist. Also gilt 1 = 0 in O_Y(f^(-1) U). Insbesondere
ist damit O_{Y,y} der Nullring. Das kann aber nicht sein.
Nun ist O_V(s) --> fquer_* O_Y zu definieren. Äquivalent (!) ist
iota_* O_V(s) --> iota_* fquer_* O_Y ~~ f_* O_Y zu definieren. Wegen
iota_* O_V(s) ~~ O_X/(s) ist nach dem Homomorphiesatz so ein Morphismus
einfach durch f^# gegeben.
Bemerkung: Für's topologische Faktorisieren genügt schon, dass f^#(s)
in allen O_{Y,y} nicht invertierbar ist.
Allgemeiner gilt bestimmt folgendes: Sei L ein Geradenbündel auf X und s ein
globaler Schnitt von L. Dann kann man ebenfalls V(s) definieren. Die universelle
Eigenschaft lautet dann: Ein Morphismus f : Y --> X faktorisiert genau dann
über V(s) --> X, wenn der von s induzierte Schnitt in dem O_Y-Modul f^*(L) Null
ist. Habe das aber nicht geprüft!
=== Verschwindungsschema II
Zu einem globalen Schnitt s eines Vektorbündels E kann man ebenfalls ein
Verschwindungsschema konstruieren. Lokal/intern ist ein solcher nämlich einfach durch
mehrere Schnitte von O_X gegeben: s_1, ..., s_n. Nehme dann als Idealgarbe
einfach (s_1, ..., s_n) (nicht (s_1 * ... * s_n)).
Ist alpha : E --> F ein Morphismus von Vektorbündeln, so kann man auch sinnvoll
vom zugehörigen Verschwindungsschema sprechen. Lokal ist ein solcher einfach
durch rk(E) * rk(F) viele Schnitte von O_X gegeben, die sollen alle
verschwinden.
Ist alpha speziell von der Form E --> O_X, so wird das Bild von alpha gerade
die Idealgarbe sein.
=== Unterschemata
* Sei f : X --> Y eine abgeschlossene Immersion. Dann habe die kurze exakte
Sequenz
0 --> I_{X/Y} --> O_Y --> f_* O_X --> 0.
Der Modul vorne heißt auch /Idealgarbe von f/.
Höchstwahrscheinlich gilt f^* f_* O_X ~~ O_X (kanonisch). Jup, gilt.
(Tensorieren mit Algebra, deren Strukturmorphismus surjektiv ist.)
Es gilt: supp(f_* O_X) = V(I) = { y in Y | I_y != (1) in O_{Y,y} }.
* Einschränken auf abgeschlossene Unterschemata (vermöge i^*) ist nicht exakt.
Beispiel: Multiplikation mit T (als Morphismus O_X --> O_X) auf X = Spec k[T]
ist ein Mono, aber nach Einschränken auf V(T) nicht mehr (ist dann die
Nullabbildung).
* Es gilt: im I|_x = 0 als Ideal von k(x) <==> x in V(I).
"==>": Angenommen, I_x = (1). Dann I|_x = k(x).
"<==": I|_x --> k(x) faktorisiert über m_x|_x --> k(x), d.h. über die
Nullabbildung.
* Genau dann ist V(I) wieder ein Schema (statt nur ein lokal geringter Raum),
wenn I quasikohärent ist, wenn I lokal von Schnitten erzeugt wird.
* Sei etwa Y = P^1, X = Spec k und f die Inklusion des abgeschlossenen Punkts
P = (0:1). Dann ist die Sequenz
0 --> O(-1) --> O --> k(P) --> 0
exakt. Die Abbildung vorne ist dabei durch Multiplikation mit x_0 gegeben.
Also ist O(-1) die Idealgarbe von { P }.
* Nach http://www.math.rice.edu/~hassett/teaching/465spring04/CCAGlec9.pdf:
k algebraisch abgeschlossen, p \in k[x_0,...,x_n] homogen vom Grad D > 0 und
irreduzibel. Dann ist die Idealgarbe von
H := { [x_0 : ... : x_n] | p(x_0,...,x_n) = 0 }
durch O_(P^n)(-D) gegeben.
* Die erste infinitesimale Umgebung von X --> Y ist dasjenige
Unterschemata von Y, was von I^2 ausgeschnitten wird.
Hat was mit dem Konormalkomplex zu tun!
* Auflösung von f_*(O_X): Siehe GenHKR.pdf, Seite 8f.!
* Abgeschlossene Immersionen sind fast nie flach (siehe Liu, Kapitel 4.3.1,
Beispiel 3.6), wenn sie nicht auch offen sind.
* HOM_{O_X}(O_Z, F) ~~ Ann_{J_Z}(F) = { s:F | J_Z s = 0 },
wenn Z ein abgeschlossenes Unterschema von X mit Idealgarbe J_Z ist.
* Bemerkung: Die Idealgarbe der Diagonale wird von (pi_1^#(f) - pi_2^#(f))
erzeugt. Beweis in Ravi Vakil (21.2.23): Sei sum_i x_i y_i = 0.
Dann sum_i (x_i tensor y_i) = sum_i (x_i tensor y_i - x_iy_i tensor 1) =
sum_i x_i (1 tensor y_i - y_i tensor 1).
=== Normalenbündel und Co.
Sei f : Y --> X eine abgeschlossene Immersion. Sei I die zugehörige Idealgarbe.
Dann hat I/I^2 Träger auf Y, kann also als Modul auf Y angesehen werden.
Der so definierte O_Y-Modul ist N_{Y/X}^vee, die Konormalgarbe.
[ Kurz: Die Konormalgarbe ist f^*(I). Ist es wirklich so einfach? Jup. ]
Die Normalgarbe ist der ihr O_Y-Duales.
* N_Y = TX|_Y / TY
* (N_Y)^ ist Kern von Omega_X|_Y --> Omega_Y.
* Falls Y lokal regulär ist, d.h. lokal durch reguläre Sequenzen gegeben ist,
d.h. dass in der internen Sprache gilt, dass I durch eine reguläre Sequenz
erzeugt wird, so ist I/I^2 auf Y lokal frei. In diesem Fall darf man daher auch
vom (Ko-)Normal*bündel* sprechen.
Siehe schnitttheorie.txt für eine Auflösung von O_X/I = f_*(O_Y).
* Intuition: Lokale Schnitte der Konormalgarbe sind die linearen Anteile von
Funktionen auf X, welche auf Y verschwinden. Ein Tangentialvektor von X an
y in Y kann bekanntlich als Funktion auf linearen Anteilen gesehen werden; auf
Anteilen von Funktionen, welche auf Y verschwinden, ist ein Tangentialvektor
Null, falls er tangential zu Y ist.
* Man hat eine exakte Sequenz
N_{Y/X}^vee --> f^*(Omega_X) --> Omega_Y --> 0.
Unter Glattheitsbedingungen steht auch vorne noch eine Null.
* Die Konormalgarbe kann man auch direkt auf Y als J/J^2 definieren, wobei J =
ker(f^{-1} O_X --> O_Y). (Nimm dazu die Unterschemasequenz auf X und ziehe sie
zurück. Dabei bleibt sie exakt. Daher sieht man, dass J = f^{-1}(I).)
* Die Konormalgarbe lässt sich auch als HOM_{O_X}(J, O_Y) ausdrücken:
(Bedenke O_Y = O_X/J.)
HOM_{O_X}(J, O_Y) = HOM_{O_Y}(J tensor_{O_X} O_Y, O_Y) =
HOM(J/J^2, O_Y) = N_{Y/X}.
* Falls I = (f), f regulär, so ist I/I^2 als O/I-Modul frei mit Basis (f).
* Falls Y ein effektiver Cartier-Divisor ist, also lokal durch eine reguläre
Gleichung gegeben werden kann, so gilt: N = O_X(Y)|_Y.
Das ist mir unklar.
Allgemeiner gilt: Sei L ein Geradenbündel und s ein Schnitt, sodass
Multiplikation mit s regulär. Dann ist L^ --> O, theta |-> theta(s) injektiv.
So wird L^ zur Idealgarbe von V(s). Es gilt dann: N_{V/X} = L|_Y.
* Im Spezialfall, dass Y ein Punkt ist, sollte die Normalgarbe mit dem
Tangentialraum übereinstimmen. Das ist auch der Fall, denn J "ist" dann das
maximale Ideal.
* Unbedingt verstehen:
http://mathoverflow.net/questions/111464/self-intersection-and-the-normal-bundle
Grob steht da: Ein Schnitt des Normalenbündels definiert eine Deformation
erster Ordnung. (Zu jedem Punkt kennt man seine Verschiebung.) Das ist ferner
dasselbe wie ein Tangentenvektor im Hilbertschema der abgeschlossenen
Unterschemata (welches Hilbertschema ist das genau?). Der Grad des
Normalenbündels gibt an, wie viele Nullstellen ein solcher Schnitt hat. Das
entspricht daher der Anzahl der Schnittpunkte des Originalobjekts mit dem
deformierten Objekt.
Eine infinitesimale Deformation von C ist durch einen Schnitt v von N_{X/C}
gegeben. v legt die Richtungen fest, in die C definiert wird. Der Grad von N
ist die Anzahl der Nullstellen von v, also die Anzahl der Schnittpunkte von C
mit C' und somit der Selbstschnitt von C. Das passt mit Manins Definition
zusammen:
(C . C) = chi(Lambda^* N^) = chi(O) - chi(N^) = -deg(N^) = deg(N).
* Das Konormalenbündel von Delta in XxX ist das Kotangentialbündel von X.
In Formeln: Betrachte die Unterschemasequenz zur Einbettung von Delta in XxX.
0 --> J --> O_{XxX} --> O_X --> 0.
Dann gilt: Delta^*(J/J^2) = Omega^1_X.
Der Beweis ist einfach: Affin ist J = ker(A tensor A --> A). Bekanntermaßen
definiert dann J/J^2 den Modul der Kotangentialformen.
Anschaulich: J/J^2 --> Omega^1, [g(x,y)] |-> dg(x,x)|_TX.
Habe mir auch notiert: Delta^*(J/J^2) = Delta^(-1)(J/J^2), da
Delta^(-1)O_{XxX} --> O_X surjektiv ist und Delta^(-1)(J/J^2) schon eine
O_X-Struktur trägt. Letzteres sollte sich intern schön bestätigen lassen.
In diesem Zusammenhang gibt es auch eine Erweiterung, die im Allgemeinen
nichttrivial ist: 0 --> Omega^1_X --> A --> O_X --> 0. Hinreichend für