homologische-algebra.txt

Additive Funktoren müssen zerfallende kurze exakte Sequenzen erhalten.

Kurze exakte Sequenzen, bei denen das vordere Objekt injektiv oder das hintere
projektiv ist, zerfallen.

Exakte Funktoren vertauschen mit Kohomologie und bewahren daher insbesondere
Azyklizität.

Hat ein additiver Funktor einen linksexakten Linksadjungierten, so schickt er
injektive Objekte auf injektive. (Es genügt sogar, wenn der Linksadjungierte
additiv ist und Monos auf Monos schickt. (Es genügt sogar, wenn der
Linksadjungierte nur Monos bewahrt. Dann muss natürlich Injektivität richtig
formuliert sein, lediglich über Monos.))
Insbesondere bewahrt der Funktor "|_U", wobei U offen, Injektive.

Sei ein Linksadjungierter A --> B zwischen abelschen Kategorien exakt und treu.
Besitze B genügend viele Injektive. Dann besitzt auch A genügend viele
Injektive.

Ein additiver Funktor kann Monomorphismen bewahren ohne linksexakt zu sein.
http://math.stackexchange.com/questions/406570/is-every-additive-monofunctor-between-abelian-categories-left-exact

Aber es stimmt schon, dass ein rechtsexakter Funktor genau dann exakt ist, wenn
er Monomorphismen bewahrt.

Eine Kettenhomotopie h zwischen f, g: X --> Y ist dasselbe wie ein Komplexmorphismus
H: I \otimes X --> Y mit H(s \otimes x) = f(x), H(t \otimes x) = g(x), H(H
\otimes x) = h(x). Dabei sei I Z<s,t> in Grad 0 und Z<H> in Grad 1.
(Homologische Konvention!)
http://mathoverflow.net/questions/59357/why-chain-homotopy-when-there-is-no-topology-in-the-background/59387#59387


=== Hom und Tensorprodukt in zwei Variablen

* Ein schöner und sehr kurzer Beweis steht in:
  Kelly. A lemma in homological algebra.


=== Monoidale Struktur auf Kom(R-Mod)

Hom^p(X, Y) := \prod_i Hom(X^i, Y^(p+i))
    mit d(f \in Hom^p) = (d^(p+i) f^i - (-1)^p f^(i+1) d^i)_i.

(X \otimes Y)^p := \sum_{i+j=p} X^i \otimes Y^j
    mit d(x \otimes y) = dx \otimes y + (-1)^|x| x \otimes dy.

Symmetrische Struktur:
    (X \otimes Y)^p --> (Y \otimes X)^p
       x \otimes y |--> (-1)^(ij) y \otimes x

Evaluationsabbildung:
    Hom^i(X, Y) \otimes X^j --> Y^(i+j)
              f \otimes x  |--> f^j(x)

Neutrales Element bezöglich \otimes:
    Komplex 1 (hat R in Grad 0 sitzen),
    in X ~~ X \otimes 1 und X ~~ 1 \otimes X geht kein Vorzeichen ein.

Kann den Shift-Funktor als dg-Funktor verstehen:
    Kom(A) --> Kom(A)
         X |-> X[n]  (mit Vorzeichen im Differential),
    auf Morphismen:
        Hom(X,Y) --> Hom(X[n], Y[n])
        in Grad p: f |-> (-1)^np f[n].


=== Berechnung abgeleiteter Funktoren

* http://math.stackexchange.com/questions/266654/computing-left-derived-functors-from-acyclic-complexes-not-resolutions

  Zur Berechnung von F(M) genügt ein Komplex (keine Auflösung!) A_* --> M --> 0
  sodass: H^i(A_*) ist F-azyklisch und F(H^i(A_*)) = 0.

  Habe ich nicht geprüft.


=== Einbettungstheorem

Sei A eine kleine abelsche Kategorie. Dann faktorisiert die Yoneda-Einbettung

    A ---> Set^(A^op) =: A^

über die Kategorie abelscher Gruppenobjekte des Topos A^,

    Ab(A^) --> A^.

Der Funktor A --> Ab(A^) ist volltreu.

Also: Die abelsche Kategorie A ist eine Unterkategorie der Kategorie abelscher
Gruppen eines gewissen Topos. Die Einbettung ist zwar wohl linksexakt, aber
vermutlich nicht rechtsexakt, sodass das noch nicht so viel hilft.

Quelle: John Barwise, Handbook of Mathematical Logic, Abschnitt über
Toposlogik (von Fourman), ganz am Ende (Seite 1088).

Besser: Bette in Kategorie der regulären Garben ein! Dann sollte es eine exakte
Einbettung sein.


=== Filtrierung

Sei F^* ein Komplex, dessen Kohomologie in den Graden 0 und 1 konzentriert ist.
Dann ist dieser quasiisomorph zu

    G^* : 0 --> A --> B --> 0

mit einer nichttrivialen Abbildung f : A --> B.

Dann bilden die Komplexe

    0 --> ker f -->   0   --> 0,
    0 -->   A   -->   B   --> 0,
    0 -->   0   --> cok f --> 0

*in der derivierten Kategorie* eine kurze exakte Sequenz:

    0 --> (ker f)[1] --> G --> (cok f)[-1] --> 0.

Was meine ich damit? In der derivierten Kategorie kann ich ja nicht von
Exaktheit sprechen.


=== Flachheit von Q

Q ist ein flacher Z-Modul, da Z ein Dedekindscher Bereich und Q torsionsfrei
ist.


=== Injektive Auflösungen

Funktoriell so:
Here is the construction of a functorial injection of an arbitrary R-module M
to an injective R-module J(M) dual-analogous to the above-mentioned
construction of the "free R-module on the elements of M". Set J(M) to be the
product of copies of HomZ(R,Q/Z) indexed by all the abelian group homomorphisms
M→Q/Z. –  Leonid Positselski Jul 27 '12 at 17:22
http://mathoverflow.net/questions/103252/why-are-injective-modules-more-complicated-than-projective-modules

* Da der Vergissfunktor genügend tolle Adjungierte besitzt, folgt daraus, dass
  Ab genügend viele Injektive besitzt, schon dass alle Modulkategorien genügend
  viele Injektive besitzen. https://ncatlab.org/nlab/show/injective+object

* Für noethersche Ringe gilt: Die Tilde-Konstruktion eines injektiven Moduls
  liefert eine injektive Garbe. Ohne die Noether-Voraussetzung scheint das
  nicht zu gelten. https://mathoverflow.net/a/256775/31233


=== Halbeinfache abelsche Kategorien

* Eine abelsche Kategorie heißt genau dann halbeinfach, wenn jedes Objekt
  direke Summe einfacher Objekte ist.

* Unter gewissen Umständen ist das dasselbe wie zu sagen, dass alle
  höheren Ext'e (ab i >= 1) verschwinden. (Das wiederum bedeutet, dass jeder
  Morphismus ein Pseudoinverses besitzt.)

  Hinreichend dafür ist, dass es keine unendlichen Unterobjektketten gibt.
  (Wenn man unendliche direkte Summen ebenfalls erlaubt, sollte auch etwas
  schwächeres genügend, wie zum Beispiel: Jedes nichttriviale Objekt besitzt
  ein einfaches Unterobjekt.)

  Im Fall, dass Ext^1 = 0 ist, ist dafür hinreichend, dass die
  Endomorphismenringe End(X) rechts-artinsch sind. Denn Unterobjektketten
  U < V übersetzen sich dann in Gleichungen P_U P_V = P_V.


=== Potenzielle Übungsaufgaben für die HomoAlg im SS 2014

www.math.ucsd.edu/~k3walsh/11Bsheet6.pdf


=== Super lecture notes

http://www.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper306.pdf


=== Kettenkomplexmorphismus mit azyklischem Kern und Kokern

Sei f : X --> Y ein Morphismus von Kettenkomplexen. Seien ker(f) und
cok(f) azyklische Kettenkomplexe. Dann wollen wir zeigen, dass f ein
Quasiisomorphismus ist.

Das geht elementar: Dass ker(f) azyklisch ist, bedeutet:

    Gilt für alpha aus X^n, dass d(alpha) = 0 und f(alpha) = 0, so gibt
    es beta aus X^{n-1} mit alpha = d(beta) und f(beta) = 0.

Dass cok(f) azyklisch ist, bedeutet:

    Gilt für alpha aus Y^n mit d(alpha) = f(beta) für ein beta aus
    X^{n+1}, so gibt es gamma aus Y^{n-1} und delta aus X^{n-1} mit
    alpha = d(gamma) + f(delta).

Dann kann man über eine Diagrammjagd zeigen, dass H^n(X) --> H^n(Y)
injektiv und surjektiv ist.

Abstrakter geht es aber auch. Betrachte die beiden kurzen exakten
Sequenzen

    0 --> ker(f) --> X --> im(f) --> 0

und

    0 --> im(f) --> Y --> cok(f) --> 0.

Verwende dann entweder zweimal die lange exakte Sequenz in Kohomologie,
oder argumentiere über die abgeleitete Kategorie: Dort haben wir
ausgezeichnete Dreiecke zu den beiden kurzen exakten Sequenzen, wobei
das vordere bzw. das hintere Objekt Null ist. Also ist der jeweils
andere Morphismus ein Iso in der abgeleiteten Kategorie.


=== Baer-Summe und Skalarmultiplikation auf Ext^1

let R be a ring. Let A and B be R-modules. Then Ext^1(A,B) has a
concrete description as the set of equivalence classes of short exact
sequences of the form
 
    0 ----> B --f--> E --g--> A ----> 0.

The addition on Ext^1 is given by the Baer sum of short exact sequences.
 
Here is how scalars lambda \in R act on such Ext classes:

Define E_lambda := (E oplus B) / { (f(b), -lambda b) | b \in B }.
This is the pushout of B --f--> E and B --lambda--> B.

Then the sequence

    0 ----> B ----> E_lambda ----> A ---> 0

with first morphism given by

    b |--> [(0, b)]

and second morphism given by

    [(e, b)] |--> g(e)   (this is indeed well-defined)

is again exact. This short exact sequence is the result of the scalar
lambda acting on the class [0 --> B --> E --> A --> 0].

Observe that for lambda = 0, the resulting sequence does indeed split.
(A splitting is given by E_lambda --> B, [(e,b)] |--> b. This map is
well-defined only because of lambda = 0.)

There is also a dual description of E_lambda. Namely we can define
E_lambda as the pullback of E --g--> A and A --lambda--> A, i.e. as

    E_lambda := { (e, a) | g(e) = lambda a }.

Then the result of lambda acting on [0 --> B --> E --> A --> 0] is given
by

    0 --> B --> E_lambda --> A --> 0

with first morphism given by
 
    b |--> (f(b), 0)

and second morphism given by

    (e,a) |--> a.

Here is how one can figure this out by oneself: Generalize the problem.
We know that an element of Ext^1(A,B) can be combined with an element of
Hom(A',A) to yield an element of Ext^1(A',B). Similarly, we know that we
can combine an element of Ext^1(A,B) with an element of Hom(B,B') to an
element of Ext^1(A,B'). In each case, there is exactly one canonical way to
explicitly describe the resulting elements: Namely by using a pullback
resp. a pushforward construction. By specializing to endomorphisms of A
(or endomorphisms of B) given by multiplication with a scalar, one
obtains the above constructions.


=== Giovannis Ext-Frage

* https://www.dropbox.com/s/unx8jdjy9zy3dkb/Fasci%20perversi%203-4.pdf
  "page 3"

* "Well my calculation proves that the sections of EExt2 (the sheaf) over
  discs centered at 0 are C. Maybe I was too quick but I think that EExt2 has
  stalk 0 on any other point. Maybe too quick?"

* How do you calculate EXT^2(C_{0}, C_X) = C_{0}?
  I assume that you consider the sheaf-Ext over the constant sheaf C_X,
  not over O_X, because the constant sheaf C_X is not an O_X-module.

  I know a resolution of C_{0} as an O_X-module, namely the Koszul
  resolution

      0 --> O_X --> O_X --> C_{0} --> 0

  with first morphism given by multiplication with x, but I don't know a
  resolution of C_{0} as a C_X-module. So how do you calculate the Ext?
  If it's in Steffie's notes of your lectures, I can just ask her.


=== Spektralsequenzen

* Eine Spektralsequenz mit nur zwei nichttrivialen Spalten auf der zweiten
  Seite ist "dasselbe" wie eine lange exakte Sequenz.

* sichten: http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/ss.pdf
  http://ncatlab.org/nlab/show/spectral+sequence

* http://www.mathb.rwth-aachen.de/~barakat/habil/habil.pdf
  "Verallgemeinerte Abbildungen", Algorithmen


=== Homotopiekategorie von Räumen

* hTop besitzt nicht alle Kolimiten (tatsächlich besitzt sie nur ganz wenige
  Kolimiten).
  http://schommerpries.wordpress.com/2012/02/20/the-homotopy-category-doesnt-have-all-colimits/


=== Subtile Fehlermöglichkeit

Wenn man versucht, Lerays Azyklizitätslemma zu beweisen, kommt man vielleicht
auf die Idee, die gute Abschneidung zu verwenden (geschrieben als
ausgezeichnetes Dreieck). Auf diese wendet man dann RF und F an. Das führt bei
RF zu einer langen exakten Sequenz -- bei F jedoch nicht, denn F bewahrt nur
zerfallende Dreiecke!


=== Welche exakten Sequenzen rühren vom Schlangenlemma her?

https://arxiv.org/abs/0906.1286