-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
interne-methoden.txt
2554 lines (1696 loc) · 98 KB
/
interne-methoden.txt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
=== Topos der G-Mengen
Borceux, Volume 3, Seite 391.
=== Integration
Idee: Betrachte nicht fertige Integrale, sondern Riemann-Summen mit
Intervallzerlegung, die feiner werden kann.
Z |== ... heißt dann: Für die Zerlegung Z gilt ...
Und man betrachtet nur Eigenschaften, die unter Verfeinerung erhalten bleiben.
Beispiel:
Z |== Box \int delta(x) f(x) dx = f(0).
Vgl. Seite 33 von /Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung/, Mathematische
Zeitschrift (69).
=== Entscheidbarkeit der Gleichheit reeller Zahlen
In vielen Zugängen gilt "negneg (x = 0) ==> x = 0", etwa bei den dedekindschen
reellen Zahlen oder bei Taos cheap nonstandard analysis.
http://terrytao.wordpress.com/2012/04/02/a-cheap-version-of-nonstandard-analysis/
Bei den dedekindschen Zahlen sieht man das so: Sei alpha ein Cauchy-Prozess.
Sei x eine epsilon-Näherung. Wir wollen zeigen, dass |x| <= 2 epsilon --
unter der Voraussetzung, dass nicht nicht alpha gleich Null ist.
Wäre |x| > 2 epsilon, so wäre nicht alpha gleich Null. Widerspruch.
Also |x| <= 2 epsilon.
=== Unterringe der dedekindschen reellen Zahlen in Sh(X)
* Habe {lokal konstante Fkt.} <= {glatte Fkt.} <= {stetige Fkt.} = R_dedekind.
* Habe auf R_glatt eine Endoabbildung d und eine Endoabbildung \int, zumindest
im Fall X = R. Für d gilt: ker(R_glatt --d--> R_glatt) = R_lc = R_Cauchy.
Sollte das auf Vektorbündel mit flachem Zusammenhang verallgemeinern können.
* http://nforum.mathforge.org/discussion/6315/internal-definitions-of-cohesion/
=== Gruppenobjekte
Mike Shulman in
https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/23/language-about-language/:
A nice example of the usefulness of this is that it is quite easy to prove that
the inverse of an element in a group is unique. Therefore, it follows
automatically that the inverse morphism of a group object in a category is
unique. In particular, since (commutative) Hopf algebras are the same as group
objects in the opposite category of (commutative) rings, it follows that the
antipode of a Hopf algebra is unique. This can, of course, be proven by hand,
but it’s surprisingly tricky to figure out what you have to do if you attack it
directly. Probably the easiest way to do it is to take the usual proof for
groups, translate it into commutative diagrams, and dualize it. The point of
the internal language is that you don’t have to do all that at all; there’s a
machine that does it for you automatically.
=== Verklebung
Mike Shulman in
https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/23/language-about-language/:
Even very small relationships between a few “little toposes” can be captured
internally to an auxiliary topos. For instance, if we have a geometric morphism
f:X->Y, then by gluing along the functor f^* we obtain a new topos, inside
which X and Y sit as open and closed subtoposes, and in which both parts of the
morphism f are visible by composing the relevant reflectors. The internal logic
of this glued topos can then be used to reason about the geometric morphism f.
In particular, the relationship between a topos X and the standard ∞-topos
∞Gpd, which is described by the unique geometric morphism X -> ∞Gpd and encodes
information about X such as its local connectedness, compactness, and
cohomology, can be discussed internally by gluing along that geometric
morphism. More complicated gluing constructions for more complicated diagrams
of toposes and morphisms are also possible. In one direction, this leads to
Urs’s work on cohesive ∞-toposes and cohesive HoTT; but other than that, this
avenue seems to be largely unexplored to date.
=== Ein paar Eigenschaften
* Eig. koh. Moduln kann man super intern zeigen!
vgl. http://amathew.files.wordpress.com/2010/07/031.pdf
* X reduziertes Schema <==>
Sh(X) |== für alle s : O_X. [s nicht invertierbar ==> s = 0].
* X beliebiges Schema. Dann erfüllt O_X in Sh(X) folgende Eigenschaft:
für alle s : O_X. [s nicht invertierbar ==> s nilpotent].
Beispiel, wenn X zudem quasikompakt: Sei f globale Funktion.
Dann: f verschwindet in allen k(x) <==> f nicht invertierbar in allen Halmen
<==> Sh(X) |= f nicht invertierbar <==> Sh(X) |= f nilpotent <==> f^n = 0 für
ein n (hier geht Quasikompaktheit ein).
* Sei f ein Element eines Rings A. Dann sind äquivalent:
1. Spec A |== forall g. fg nilpotent ==> g nilpotent
2. Spec A |== nicht (f nilpotent)
3. f schwach-regulär in folgendem Sinn: Ist fh nilpotent in A,
so auch h.
Schwächer ist 2'. Spec A |== nicht (f = 0). Das ist gleichbedeutend mit:
Ist fh in A Null, so ist h nilpotent.
* Topologischer Raum X zusammenhängend <==>
Die interne Sprache von Sh(X) erfüllt folgende Eigenschaft:
Seien phi, psi zwei disjunkte Aussagen (d.h. phi und psi ==> _|_).
Dann folgt aus Sh(X) |== (phi oder psi), dass Sh(X) |== phi oder
dass Sh(X) |== psi.
* Sei X topologischer Raum und phi eine Aussage der internen Sprache von Sh(X).
Dann gilt: [[phi]] ist genau dann eine dichte Teilmenge von X, wenn
Sh(X) |== nicht nicht phi.
* Sei X topologischer Raum. Dann ist genau dann jede nichtleere offene
Teilmenge von X dicht, wenn für jede Aussage phi gilt:
nicht (Sh(X) |== nicht phi) ==> Sh(X) |== nicht nicht phi.
* X reduziertes Schema, F Modul von endlichem Typ.
Dann gilt: Sh(X) |== F ist nicht nicht frei (von endlichem Rang),
also ist F lokal frei auf einer dichten Teilmenge!
=== Offenheit
* Eine Idee ist: Eine Teilmenge U <= X heißt genau dann offen,
wenn für jede Abbildung f : Delta --> X mit f(0) in U schon
im(f) <= U ist.
Mit dieser Definition sind aber alle Teilmengen von pt
offen.
=== Kategorien intern in Sch/S
* Akhil Mathew. Categories parametrized by schemes and representation theory in
complex rank. http://arxiv.org/abs/1006.1381v1
=== Dimension
* dim X <= n gdw. Sh(X) |== krulldim O_X <= n.
Schön wäre es, wenn man für Affine das mit Hilfe des generischen Filters
zeigen könnte:
dim A <= n gdw. Sh(Spec(A)) |== dim AA[F^(-1)] <= n.
Die Hinrichtung ist trivial, die Rückrichtung ist mir nicht klar. Ich will
ein geeignetes Ideal aufstellen, dass dann von F getroffen wird und daher das
Einsideal ist.
* dim X <= 1 gdw. Sh(X) |== forall a,b : O_X.
a inv. v (a. inv ==> (b inv. v neg (b inv))).
* F_xi = 0 ==> supp F echte Teilmenge von X ==> dim supp F < dim X.
dim F = dim O_X/Ann(F).
* depth A := sup { r | es gibt eine reguläre Sequenz der Länge r in A }.
Damit kann man sowohl "depth A >= r" als auch "depth A <= r" formulieren:
* depth A >= r <==> es gibt eine reguläre Sequenz der Länge r in A.
* depth A <= r <==> jede reguläre Sequenz in A hat Länge <= r.
* Die Ungleichung depth A <= dim A gilt stets. Man kann sie etwa so beweisen:
Sei x_1, ..., x_r eine reguläre Sequenz. Wir wollen zeigen, dass r <= dim A.
Wir haben dim A/(x_1,...,x_r) <= dim A - r. Also (?) dim A - r >= 0.
Also dim A >= r.
* Ein Ring A heißt circa dann Cohen-Macauley, wenn depth A >= dim A.
Manchmal werden noch Noether-Bedingungen gestellt.
* Schön wäre sowas wie: Sh(X) |== dim O_X <= depth O_X genau dann, wenn X
Cohen-Macauley.
Die linke Seite hat ausgeschrieben folgende Form:
Es gibt eine reguläre Sequenz x_1,...,x_r sodass dim O_X <= r.
Der letzte Teil ("dim O_X <= r") ist eine geometrische Implikation.
Wenn die linke Seite stimmt, dann sind alle lokalen Ringe Cohen-Macauley.
Wenn X durch Spektren von noetherschen Cohen-Macauley-Ringen überdeckt werden
kann, stimmt die linke Seite. Zumindest, wenn die für
http://stacks.math.columbia.edu/tag/02IP relevante Definition von
Cohec-Macauley zu meiner äquivalent ist.
* Man könnte denken, dass sowas wie "dim O_X = dim_{O_X/m} m/m^2" gelten würde
(Georg L.). Aber das stimmt nicht. Denn m = sqrt(0); ist X reduziert,
vereinfacht sich die rechte Seite also zu (0)/(0) = (0).
* Dimension von glatten Mannigfaltigkeiten: Siehe Fourman,
http://www.numdam.org/article/CTGDC_1975__16_3_217_0.pdf.
"dim <= n" genau dann, wenn Dedekindzahlen x_1, ..., x_n existieren, sodass
jede Dedekindzahl x Bild dieser Zahlen unter einer Standardfunktion f : R^n --> R
sind. Dabei bedeutet "Standardfunktion", dass sie Cauchyzahlen auf
Cauchyzahlen abbildet.
=== Dominanz
* Siehe grundwissen-algebraische-geometrie.txt.
=== Noether
* X ist noethersch gdw.:
Sh(X) |== phi_i ==> phi_(i+1) für alle i
==> ex. n: Sh(X) |== phi_n <==> phi_(n+1) <==> ...
=== Unterschema
* Definiere für Punkte x0 \in X (X ein LRS) einen neuen Operator in der internen
Sprache:
U |== !x0 gdw. x0 \not\in U.
Diese Erweiterung erfüllt weiterhin das Lokalitätsaxiom. Sie ist auch einfach
das Prädikat zum offenen Kern von (X \ {x0}).
Bemerkung: Falls x0 abgeschlossen ist, gilt für Punkte x: Genau dann gibt es
eine offene Umgebung U von x, sodass U |== !x0, falls x ungleich x0.
Daher kann man "!x0" als geometrische Formel ansehen, deren Rückzug auf den
Halm bei x "x != x0" bedeutet.
* Für eine Funktion f \in O_X(X) gilt:
f = 0 \in k(x0) <==> X |== (f inv. ==> !x0).
"==>": Sei U \subseteq X. Sei f auf U invertierbar. Dann ist f auch in allen
k(x), x \in U, invertierbar. Also x0 \not\in U.
"<==": Auf D(f) ist f invertierbar. Also muss x0 \not\in D(f) sein. Also ist
f in O_{X,x0} nicht invertierbar, liegt somit im maximalen Ideal und ist im
Körper k(x0) Null.
Das ist auch völlig klar:
f = 0 \in k(x0)
<==> f ist in O_{X,x0} nicht invertierbar
<==> X |== (f ist nicht invertierbar)^Box
<==> X |== (exists g. fg = 1)^Box ==> Box(bot)
<==> X |== Box(exists g. fg = 1) ==> Box(bot)
<==> X |== (exists g. fg = 1) ==> Box(bot)
* Daraus folgere ich: Das Ideal vorne in der kurzen exakten Sequenz zum
Unterschema Spec k(x0) (falls x0 abgeschlossen),
0 --> I --> O_X --> i_* O_k(x0) --> 0,
kann in der internen Sprache durch
{ f : O_X | f invertierbar ==> !x0 }
gegeben werden. Man kann intern nachweisen, dass I ein Radikalideal ist und
quasikohärent ist.
Wenn x0 nicht abgeschlossen ist, kann man immer noch die exakte Sequenz
0 --> I --> O_X --> O_X/I --> 0
hinschreiben; das ist dann die exakte Sequenz zum reduzierten abgeschlossenen
Unterschema V(I) = clos {x0}.
* Kann also intern auch die Abbildung ev_x : O_X --> i_* k(x)
verstehen: Das ist einfach die Projektionsabbildung O_X/{...}.
i_* k(x) ist aus interner Sicht ein Ring, schwacher Integritätsbereich,
Körper im Sinn von "jedes Element ist Null oder invertierbar"; aber "1 neq 0"
gilt nicht. (1 neq 0 ist gleichwertig zu neg(Bot false).)
* Kann man modale Operatoren der Form ((__ -> !x) -> !x) intern
charakterisieren?
* Was passiert bei anderen Aussagen phi statt "!x0"? Ideale erhält man in jedem
Fall.
* Kann man dadurch auch größere Unterschemata charakterisieren?
* Kann man die Ideale der obigen Form irgendwie charakterisieren?
* J ist eine Art maximales Ideal -- aber nicht ganz:
* X |== 1 \in J ist gleichbedeutend mit X |== !x0.
Das ist genau dann richtig, wenn X = {x0}.
Aber obacht: X |== nicht (1 \in J) gilt leider nicht.
Das würde bedeuten, dass für alle offenen Teilmengen U gilt:
Sollte x0 nicht in U liegen, dann ist U leer.
* X |== forall f,g : O. fg \in J ==> f \in J oder g \in J
gilt, denn für f, g : O(U) mit fg = 0 in k(x0) folgt
f = 0 oder g = 0 in k(x0). (Falls x0 \not\in U, ist "= 0" in k(x0) eine
triviale wahre Aussage.)
* U |== nicht (f \in J) bedeutet für f \in O(U),
dass f auf einer dichten offenen Teilmenge von U invertierbar ist und
dass alle nichtleeren offenen Teilmengen von U x0 enthalten.
* Daher gilt X |== forall f : O. f \not\in J ==> J + (f) = (1).
Denn sei f \in O(U) beliebig mit U |== nicht (f in J).
Ohne Einschränkung sei U nicht leer.
Dann ist f auf einer offenen dichten Teilmenge V von U invertierbar. Diese
muss x0 enthalten. Überdecke U durch V und (U \ {x0}); hierbei geht die
Abgeschlossenheit von x0 ein. Auf V gilt intern, dass (f) das Einsideal
ist. Auf (U \ {x0}) gilt intern, dass J das Einsideal ist (da dort !x0
gilt).
* Sei J ein Ideal von O_X. Sei j(phi) := phi v (1 \in J).
Dann ist O_X/J eine j-Garbe und aus Sh_j-Sicht auch ein lokaler Ring:
Dazu ist zu zeigen, dass für alle s,t : O_X/J mit s + t = 1 in O_X/J
folgt, dass j(s inv. oder t inv.).
Das ist klar.
* Sei Z = V(I) <= X ein abgeschlossenes Unterschema. Sei E quasikohärent.
Dann supp(E) <= Z genau dann, wenn (1 in I ==> E = 0); genau dann, wenn
forall f in I: forall s in E: exists n >= 0: f^n s = 0.
Ist E endlich erzeugt, ist das genau dann der Fall, wenn
I <= sqrt(Ann E).
* Sei I ein Ideal von O_X. Dann ist I genau dann nilpotent (das soll heißen:
jedes Element aus I ist nilpotent), wenn Sh(X) |== (1 in I ==> bot).
* Sei E ein O_X-Modul. Sei Z = V(I) <= X ein abgeschlossenes Unterschema.
Dann liegt E genau dann im wesentlichen Bild von i_*, wenn
supp(E) <= Z (d.h. Sh(X) |= (1 in I ==> E = 0)) und I E = 0.
"==>": E trägt also sogar eine O/I-Modulstruktur und wird zum O-Modul durch
Skalareinschränkung. Dann ist I E = 0 klar.
"<==": Kann auf E eine O/I-Modulstruktur definieren.
* Sei I ein Ideal mit I^n = (0). Dann ist topologisch V(I) = X, denn jedes
Element aus I ist nilpotent. Damit besitzt jeder O_X-Modul E die Filtrierung
0 = I^n E <= I^{n-1} E <= ... <= I E <= E,
wobei für die Quotienten Q jeweils I Q = 0 gilt, d.h. von Moduln auf V(I)
herkommen.
=== Internes Spektrum
* O_X in Sh(X), also dem kleinen Zariski-Topos, hat im Allgemeinen noch viele
maximale Ideale: die Idealgarben zu abgeschlossenen Punkten. Jein, so
wirklich maximal sind die nicht.
* Etwa im Fall X = Spec Z besitzt O_X aber keine interessanten Primelemente:
Die Bedingung "p|xy ==> p|x oder p|y" ist eine geometrische Sequenz und gilt
daher genau dann, wenn sie halmweise gilt. Am generischen Halm ist sie aber
nur für p = 0 \in Q erfüllt. Also gilt auch p = 0 \in Z (bzw. Z[(...)^{-1}],
wenn nicht mit einem globalen Element gestartet).
* D(f) \subseteq Omega ist vermutlich lokal kompakt. Hilft das was?
* Bezug von meinem zu Hakims Spektrum: Vielleicht ist
http://mathoverflow.net/a/26471 interessant.
* Ein Mittelding zwischen der richtigen Definition fürs interne Spektrum
und der völlig falschen ist:
R(A) = { I <= A | I Radikalideal, forall s:A. (s inv => s in I) => s in I }.
Aber das ist Quatsch: R(A) = Ouv(pt) für beliebiges A (sofern 0 != 1 in A).
Explizit auch für X = Spec k, A = k[x]_(x)^~... Verstehe das Gegenbeispiel
nicht mehr.
=== Endlichkeit
* Sei X = A^n über einem Ring R. Dann ist O_X als "Algebra, wo man auch
Quotienten bilden darf" über R[X_1,...,X_n] (konstante Garbe) endlich
erzeugt, d.h. es gilt
Sh(X) |==
forall f : O_X. exists g, h : R[X_1,...,X_n].
h(x_1,...,x_n) invertierbar in O_X und
f = g(x_1,...,x_n) / h(x_1,...,x_n).
Somit gilt auch O_X = Quot R[X_1,...,X_n], wobei nach den Elementen
lokalisiert wird, die in O_X invertierbar sind.
* Tieferer Hintergrund ist natürlich die Konstruktion von O_X als Lokalisierung
nach dem universellen Filter.
* Sollte genauso für jede endlich erzeugte R-Algebra statt speziell R[X_1,...,X_n]
funktionieren. Die x_i beziehen sich dann auf die gegebenen Erzeuger.
(Nutze: f^(-1) A ist e.e. f^(-1)k-Algebra, falls A e.e. k-Algebra.)
* Vielleicht gilt für ein S-Schema X folgendes:
X --> S ist genau dann lokal von endlichem Typ, wenn:
Sh(S) |== exists w_1,...,w_n : Ouv(IX).
T = w_1 v ... v w_n,
alle w_i quasikompakt,
O_S --> Gamma(w_i, O_X) von endlichem Typ.
Die Interpretation der internen Aussage ist aber etwas mühevoll.
=== Aussagen an Halmen
Sei box die Modalität ((__ --> !x) --> !x). Es gilt
U |== box phi
genau dann, wenn x \not\in U oder wenn eine offene Teilmenge V von U mit x \in
V und V |== phi existiert.
* "Sei F v.e.T. um x und F_x = 0 (Halm). Dann F = 0 um x."
Das folgt sofort aus:
"box(F endl.erz.), forall s:F. box(s=0). ==> box(forall s:F. s=0)."
Denn: "F_x = 0" ist äquivalent zu "(F = 0)^box" (wie negneg-Übersetzung). Das
ist nach dem bekannten Vereinfachungslemma äquivalent zu "forall s:F.
box(s=0)".
* "Sei F v.e.P. um x und F_x ~~ O_x^n. Dann F frei v.R. n um x."
Das folgt sofort aus:
box(F endlich präsentiert), (F frei v. R. n)^box
==> box(F frei v. R. n).
Unter der Präsentationsvoraussetzung ist die Eigenschaft, frei vom Rang n zu
sein, eine geometrische: Es soll Elemente aus HOM(O^n,F) und HOM(F,O^n)
geben, die miteinander verknüpft beide Male die Identität geben. Daher
ist (F frei v. R. n)^box äquivalent zu box(F frei v. R. n). Damit ist schon
alles klar.
=== Aussagen an offenen Unterräumen
Sei U eine offene Teilmenge von X. Dann ist
U ==> ___
eine Lawvere-Tierney-Topologie. Der Topos der Garben bezüglich dieser Topologie
ist gerade Sh(U).
* Definiere eine Formelübersetzung analog zur Doppelnegationsübersetzung,
bei der vor jeden Junktor ein "U ==>" vorangestellt wird.
Dann kann man aber zeigen, dass für alle Formeln phi
gilt: phi^circ <==> (U ==> phi).
Daher ist Zurückziehen auf U ein logischer Funktor.
* Folgende Aussagen sind äquivalent:
* Sh(X) |== phi^circ
* Sh_j(X) |== phi
* Sh(U) |== phi
* Sh(X) |== U ==> phi
* U |== phi
=== Aussagen an abgeschlossenen Unterräumen
Sei A eine abgeschlossene Teilmenge von X. Dann ist
j(___) = ___ vee A^c
eine Lawvere-Tierney-Topologie. Der Topos der Garben bezüglich dieser Topologie
ist gerade Sh(A). (Zurückziehen auf Sh(A) entspricht Garbifizieren,
Vorwärtsdrücken entspricht Vergessen.)
* X |== f = g vee A^c
ist äquivalent zu: f = g in allen F_x, x \in A.
* Spec A |== b \in iota_*(Z)
ist äquivalent zu: forall p: a_1,...,a_n \in p ==> b \in p.
Dabei ist iota die Inklusion Spec A/(a_i) --> Spec A
und Z das universelle Primideal auf Spec A/(a_i).
* Omega_j := { j(phi) | phi in Omega } = { phi | j(phi) <=> phi }
ist kompakt! Sei bigvee U_i = T in Omega_j, d.h.
bigcup U_i vee A^c = T in Omega. Dann bigcup U_i = T und damit
U_i = T für ein i, oder A^c. Damit aber Omega_j = { T } und damit ist (das
mindestens eine existente) U_i auch gleich T.
=== Reduzierte Schemastruktur
* X_red ist wirklich X mit Strukturgarbe O_X/sqrt(0).
* Die U-Schnitte von sqrt(0) sind übrigens die auf ganz U nilpotenten
Funktionen, falls U quasikompakt ist.
* Es ist auch recht leicht zu zeigen, dass X_red --> X
das universelle reduzierte abgeschlossene Unterschema mit X als
zugrundeliegenden topologischen Raum ist.
Dass es selbst ein solches ist, ist klar. (Benutze, dass sqrt(0) qcoh ist.)
Sei Z --> X ein weiteres solches. Dazu gehört ein surjektiver lokaler
Ringhomo O_X --> O_Z. Da O_Z reduziert ist, induziert dieser einen Morphismus
O_X/sqrt(0) --> O_Z. Damit faktorisiert Z --> X über X_red --> X.
=== Garbifizierung
Sei j eine Lawvere-Tierney-Topologie.
* Ein Unterobjekt U --> X ist genau dann j-dicht, wenn
forall x:X. j(x \in U).
* Ein Unterobjekt U --> X ist genau dann j-abgeschlossen, wenn
forall x:X. j(x \in U) ==> x \in U.
* Ein Objekt X ist genau dann j-separiert, wenn
forall x,y:X. j(x = y) ==> x = y.
* Ein Objekt X ist genau dann eine j-Garbe, wenn
forall S \subseteq X:
j(S Singleton) ==> exists! x:X. j(x \in S).
Bemerkung: Falls X j-separiert ist, sind äquivalent:
* j(S Singleton).
* S Subsingleton und j(S bewohnt).
In diesem Fall sind ferner äquivalent:
* j(x \in S).
* j(S = {x}).
* Freyd definiert den Reflektor in die separierten Prägarben wie folgt:
X^sep := { K : P(X) | exists x : X. K = { y : X | j(x = y) } }
(https://ncatlab.org/spahn/files/aspects_of_topoi.pdf, Lemma 2.615)
Und den Reflektor in die Garben so:
X^sh := j-Abschluss der Teilmenge { { y : X | j(x = y) } | x : X }
in der j-Garbe Omega_j^X, also der Menge derjenigen Teilmengen von X,
für die Zugehörigkeit j-stabil ist.
* Die Plus-Konstruktion kann man so definieren:
X^+ := { S \subseteq X | j(S Singleton) }/~,
wobei S ~ T :<==> j(S = T).
Man kann auch gleich nur j-stabile Repräsentanten nehmen.
Wenn das hier alles in einem Garbentopos mit j = negneg passiert, kann man
damit X^+ super extern deuten: Deren U-Schnitte sind Paare <V,f>, wobei V
eine dichte offene Teilmenge von U, f ein Schnitt von X auf V und dieser
*maximal definiert* ist (d.h. jede Fortsetzung ist schon gleich <V,f>).
Mit der ursprünglichen Definition ist die Interpretation folgende:
U-Schnitte sind Äquivalenzklassen von Paaren <V,f>, wobei zwei Paare als
gleich gelten, wenn auf einer dichten offenen Teilmenge des gemeinsamen
Definitionsbereichs die gegebenen Schnitte übereinstimmen.
* Dann gelten die üblichen Resultate zur Plus-Konstruktion.
* Insbesondere gilt, wenn X schon j-separiert war, dass
X^+ = { S \subseteq X | S Subsingleton, j(S bewohnt) }/~
die j-Garbifizierung von X ist.
* J = { phi | j(phi) } klassifiziert j-dichte Unterobjekte,
Omega_j = { phi | j(phi) <==> phi } klassifiziert j-abgeschlossene
Unterobjekte.
Omega_j ist eine j-Garbe und der Unterobjektklassifizierer in Sh_j.
Aber Omega_j ist nicht die Vergarbung von Omega.
(Denke an Halme von Omega eines Garbentopos!)
[ Es stimmt doch, wenn j folgende spezielle Eigenschaft hat:
j(phi ==> psi) <==> (phi ==> j(psi)). Das ist etwa für negneg der Fall. Siehe
Borceaux, Seite 512, Exercise 9.5.7. ]
Potenzobjekte berechnet man in Sh_j wie in Sh.
Sh_j(E) ist äquivalent zu Sh_E(Omega_j) durch
X j-Garbe |--> (U |-> Hom(U,X)) und
F Garbe auf Omega_j |-> F(T).
* { x : F | phi^Box(x) }^+ ~~ { xquer : F^+ | phi^Boxplus(xquer) },
als Teilmengen von F^+.
* { x : F | phi(x) }^+ ~~ { x : F | Box(phi(x)) }^+.
* Daraus wird ersichtlich: Wenn Box(phi(x)) <==> phi^Box(x),
dann { x : F | phi(x) }^+ ~~ { xquer : F^+ | phi^Boxplus(xquer) }.
Das drückt aus: {x:F|phi(x)}_a ~~ {[x]:F_a|phi(x)} für Punkte a.
* In einem Garbentopos Sh(X) gilt:
* Ein Unterobjekt A --> B ist genau dann negneg-dicht,
wenn jeder Schnitt von B zumindest auf einer offenen dichten Teilmenge ein
Urbild unter der Inklusion besitzt.
* Eine Garbe ist genau dann negneg-separiert, wenn
Schnitte, die auf einer offenen dichten Teilmenge übereinstimmen,
sondern ganz übereinstimmen.
* Eine Garbe ist genau dann eine negneg-Garbe, wenn
jeder Schnitt, der auf einer offenen dichten Teilmenge definiert ist,
genau eine Fortsetzung besitzt.
* Sei f : F --> E ein geometrischer Morphismus. Sei j ein lokaler Operator in E.
Dann faktorisiert f genau dann über E_j --> E, wenn für alle X aus F das
Objekt f_*(X) eine j-Garbe ist.
* Literatur:
Vladimir Lifschitz.
An intuitionistic definition of classical natural numbers.
Er arbeitet mit der negneg-Garbifizierung der natürlichen Zahlen.
Fer-Jan de Vries.
Applications of constructive logic to sheaf constructions in toposes.
Vorsicht: Dort wurde "j-dicht" mit "j-abgeschlossen" verwechselt!
Peter Johnstone.
The associated sheaf functor in an elementary topos.
M.F. Farina & G.C. Meloni, The associated sheaf functor, Istit. Lombardo
Accad. Sci. Lett. Rend. A 114 (1982), 50--55.
unzugänglich!
* Vergleiche auch: Repleteness and the associated sheaf.
Die haben einen anderen Ansatz.
Ebenso: Borceux, Volume 3, Thm. 9.2.10.
Ich denke, dass er die Garbifizierung so definiert:
aA := { K <= A | forall x:A. Box(x in K) ==> x in K
wedge Box(exists x:A. K = { y:A | Box(y = x) }) }
* Garbifizierung ist logisch genau dann, wenn bezüglich der Topologie
zu einer offenen Unterörtlichkeit (Borceux, Seite 512).
* Die Menge { x:1 | phi } ist für eine Aussage phi genau dann eine Box-Garbe,
wenn phi Box-stabil ist.
Allgemeiner ist { x : X | phi(x) } für eine Aussage phi(x) und eine Box-Garbe X
genau dann wieder eine Box-Garbe, wenn phi Box-stabil ist.
* Sei E auf X eine j-Garbe. Sei i : X_j --> X die Inklusion.
Dann gilt: (i^(-1) E)(U) = E(U) für alle U in Ouv(X_j), d.h. für alle U aus
Ouv(X) mit j(U) = U.
Denn: (i^{-1,pre} E)(U) = colim_{U <= jV} E(V) = colim_{U <= jV} E(jV) = E(jU) = E(U).
Das erste Gleichheitszeichen ist nach Definition.
Das zweite, da E eine j-Garbe ist. (Stimmt doch, oder? XXX)
Das dritte, da die Indexmenge ein kleinstes V enthält, nämlich jU.
Das vierte wieder, da E eine j-Garbe ist.
Also: Schreiben wir E = i_*(F), so ist i^{-1,pre}(E) = F.
Also ist i^{-1,pre} schon eine Garbe auf X_j. Garbifizierung ändert sie also
nicht mehr.
* Mike Shulman auf Seite 29 von https://arxiv.org/pdf/1703.03007.pdf:
Eine Menge A ist genau dann eine negneg-Garbe, falls die kanonische Abbildung
A ---> ([|phi|] --> A)
für alle Aussagen phi mit negneg(phi) bijektiv ist.
Das gilt auch für alle anderen modalen Operatoren.
=== Modale Operatoren
* Benno veröffentlichte im August 2017 ein paar Dinge zur Box-Übersetzung:
https://arxiv.org/abs/1708.08791 (Das sehe ich erst jetzt, Dezember 2018.)
* Sei P(psi) irgendeine Aussageform. Dann definiert Box mit
Box(phi) := forall psi. P(psi) wedge (phi ==> psi) ==> psi
einen modalen Operator. So zeigt man
Box(phi) wedge Box(phi') ==> Box(phi wedge phi'):
Sei psi mit P(psi) und (phi wedge phi' ==> psi) gegeben. Zeige psi.
Hypothetisch gelte phi. Dann phi' ==> psi. Also (da Box(phi')): psi.
Somit: phi ==> psi.
Da Box(phi): psi.
Der so definierter Operator Box ist der größte Operator ("wenn BOX(phi), so
Box(phi)") mit der Eigenschaft, dass P(phi) ==> (Box(phi) ==> phi), dass also
Aussagen phi mit P(phi) Box-stabil sind.
Denn sei BOX ein Operator mit dieser Eigenschaft. Gelte BOX(phi). Wir zeigen
Box(phi). Sei dazu psi mit P(psi) und phi ==> psi gegeben. Wir zeigen psi.
Da P(psi) gilt nach Voraussetzung BOX(psi) ==> psi. Außerdem glt natürlich
BX(phi) ==> BOX(psi). Das genügt schon.
* Speziell könnte P(psi) folgende Aussage sein: "Das Ideal { f | f nilpotent
oder psi } ist pseudokohärent." Dann kann man sich zum Beispiel fragen, ob
ein Radikalideal einer Algebra A genau dann pseudokohärent ist, wenn es eine
Box-Garbe ist, wobei Box wie oben definiert. Klar ist mir die Antwort nicht.
* Folgende Setzungen definieren *keine* modalen Operatoren:
1. Box(phi) := ({ f | f nilpotent oder phi } ist pseudokohärent).
2. Box(phi) := ({ f | f invertierbar ==> phi } ist pseudokohärent).
Sind jeweils nicht monoton.
* Sei (a -| i) : Sh_j(E) --> E ein Untertopos. Wie kann man daraus j
rekonstruieren? So:
1. j(phi) <==> forall psi:Omega. ((j(psi) ==> psi) wedge (phi ==> psi)) ==> psi.
2. (j(psi) ==> psi) <==> { x : 1 | psi } ist eine j-Garbe, d.h. liegt im
wesentlichen Bild von i.
=== Gillams Lokalisierung
* Ausgangspunkt bei Gillam ist ein Primsystem, d.h. die Angabe einer
Teilmenge M_x von Spec O_{X,x} für jedes x in X. Wichtige Beispiele sind das
lokale Primsystem (x |-> { m_x }) und das terminale (x |-> Spec O_{X,x}).
Außerdem Pullbacks von Primsystemen.
* Mögliche Globalisierung wäre also die Angabe einer internen Menge
von Filtern von O_X. Im Fall vom lokalen Primsystem etwa { O_X^\times }.
Ist phi : O_X --> A ein Ringhomo und ist M eine Menge von Filtern von O_X, so
ist phi_*(M) := { Filter F in A | phi^(-1)[F] in M } eine Filtermenge von A.
=== Subtilitäten bei der Definition der Kripke--Joyal-Semantik
* Bei vee/bigvee/exists kann man entweder definieren: Auf einer Überdeckung
stimmt's. Oder: Die Menge derjenigen Stages, wo es stimmt, ist eine
Überdeckung.
Wenn der Situs hinreichend gesättigt ist, sind die Definitionen äquivalent.
=== Lokale Kripke--Joyal-Semantik
* Kann definieren: U |==_negneg phi genau dann,
wenn auf einer offenen dichten Teilmenge V von U gilt: V |== phi.
(Das ist zu j = negneg.)
Analog: U |==_x phi genau dann,
wenn x kein Element von U ist oder eine Teilmenge V von U
mit x in V und V |== phi existiert.
(Das ist zu j = ((__ --> !x) --> !x).)
* Somit U |==_j phi genau dann, wenn U |== phi^j (Übersetzung, bei der
eigentlich vor alles, eigentlich aber nur vor atomare Aussagen, vee
und exists ein j kommt).
* Die so definierte interne Sprache ist klassisch (erfüllt LEM).
=== Rationale Funktionen I
* Intern kann man die Teilmenge
S := { f : O_X | f regulär }
definieren. Diese ist multiplikativ abgeschlossen. Da "f regulär" für festes
f \in O_X(U) eine geometrische Implikation ist, gilt:
S(U) = { f \in O_X(U) | f regulär in allen O_{X,x}, x \in U }.
Dabei verwendet: [[ { x : F | phi(x) } ]](U) = { x \in F(U) | U |== phi(x) },
siehe kategorielle-logik.txt.
Obacht: Da die Konstruktion von S nicht an sich geometrisch ist, stimmt der
Halm S_x NICHT mit der Menge der regulären Elemente in O_{X,x} überein.
* Daher kann man intern S^(-1) O_X bilden.
* Die extern definierte Ringgarbe K rationaler Funktionen erfüllt dieselbe
universelle Eigenschaft:
Sei U \subseteq X. Sei F Ringgarbe auf U. Sei phi : O_X --> F
Ringhomo, der aus interner Sicht reguläre Elemente auf invertierbare
schickt; das ist extern äquivalent dazu, dass er auf allen offenen Teilmengen V
die Elemente aus S(V) auf invertierbare Elemente schickt.
Dann gibt es genau einen Morphismus K^pre|_U --> F, der das Dreieck
O_U --> K^pre --> F zum Kommutieren bringt. Wegen der Lokalität der
Vergarbung gibt es daher genau einen Morphismus K|_U = a(K^pre|_U), der
das Dreieck K^pre|_U --> K|_U --> F zum Kommutieren bringt.
Dabei verwendet: Stack-Semantik, um die universelle Eigenschaft richtig zu
interpretieren; Lokalität der Vergarbung; Beschreibung von K aus
http://therisingsea.org/notes/Section2.6-Divisors.pdf.
Siehe auch http://therisingsea.org/notes/Section2.8-Differentials.pdf.
* Also kann ich K intern verstehen als S^(-1) O_X! :-)
* Da Lokalisierung eine geometrische Konstruktion ist, gilt
(S^(-1) O_X)_x = S_x^(-1) O_{X,x}. Der Halm S_x bettet zwar immer
injektiv ein, kann aber echt kleiner sein als die Menge der regulären
Elemente in O_{X,x}. Daher ist der Halm im Allgemeinen NICHT gleich dem
totalten Quotientenring von O_{X,x}.
Kleiman schreibt, dass wenn X lokal noethersch oder wenn X reduziert ist und
die Menge der irreduziblen Komponenten lokal endlich ist, es doch stimmt.
* Wenn O_X reduziert ist, ist S^(-1) O_X ein Körper von Brüchen, d.h. erfüllt
"ungleich Null ==> invertierbar": Sei f/s nicht Null. Dann ist auch f nicht
Null. Dann ist f auch in O_X nicht Null. Also ist f in O_X regulär. Also ist f
und somit f/s in S^(-1) O_X invertierbar.
Ferner ist er (wie O_X) ein Körper in dem Sinn, dass er "nicht invertierbar
==> gleich Null" erfüllt.
Ein lokaler Ring ist S^(-1) O_X im Allgemeinen aber nicht. Dazu müsste S
einen Filter bilden, d.h. es müsste gelten:
x + y regulär ==> x regulär oder y regulär.
=== Rationale Funktionen II
* Sei zu einer Menge F folgende Menge P, ausgeschrieben
P_{<= 1}^{\neg\neg bewohnt}(F), definiert:
P = { W \subseteq F | W Subsingleton und nicht nicht bewohnt }.
* Falls F etwa ein Ring ist, erbt P auch die Ring-Operationen:
W + W' := { w + w' | w \in W, w' \in W' }
-W := { -w | w \in W }
0 := { 0 }
Allerdings gelten nicht alle Axiome. Etwa ist W + (-W) nicht unbedingt
gleich { 0 }, sondern nur nicht nicht gleich { 0 }.
* Falls x in W, so W = { x }.
* Man kann auch P/negneg betrachten. Das ist dann wirklich ein Ring.
* Falls Gleichheit in F nichtnicht-stabil ist, lässt sich die Bedingung an W
äquivalent wie folgt schreiben:
Nicht nicht ist W ein Singleton.
Extern bedeutet die Nichtnichtstabilität, dass für jede offene Menge U
und für je zwei Schnitte s, s' von F auf U gilt: Sollten s und s' auf einer
dichten offenen Teilmenge von U übereinstimmen, so stimmen sie schon auf ganz U
überein.
* Falls R ein Ring mit s regulär <==> --(s invertierbar) ist
(das gilt zum Beispiel für O_X, falls X reduziert ist), so
gibt es einen injektiven Ringhomo Reg^(-1) R --> P(R)/negneg.
Schicke einen Bruch f/s auf die Klasse von W := { uf | u : R, us = 1 }.
W ist sicherlich ein Subsingleton und nach Voraussetzung an R auch
nicht nicht bewohnt.
Surjektiv ist dieser Homo aber nicht immer -- wohl aber im Anwendungsfall in
der algebraischen Geometrie, siehe unten.
* Für die volle Potenzmengengarbe PP von F gilt:
Gamma(U, PP) = Hom(U_, [F, Omega]) = Hom(U_ x F, Omega)
= Sub(U_ x F) = Sub(F|_U), denn:
* Gamma(V, U_ x F) = { s \in F(V) | V \subseteq U }.
Insbesondere also (U_ x F)|_U = F.
(Es gilt NICHT: U_ x F = i_* i^(-1) F = i_* F|_U. Das kann nämlich noch
viele globale Schnitte haben.)
* Ist G ^--> U_ x F ein Unterobjekt, so ist
G|_U --> F|_U das zugehörige Unterobjekt von F|_U.
* Ist H ^--> F|_U ein Unterobjekt, so ist
(V |-> { s \in H(U \cap V) | V \subseteq U }) das zugehörige Unterobjekt
von U_ x F.
* Für die Garbe PPP der Subsingletons gilt:
Gamma(U, PPP)
= { S \in Gamma(U, PP) | U |== forall x,y \in S. x = y }
= { [S ^--> F|_U] | U |== forall x,y : S. x = y }
= { [S ^--> F|_U] | alle Halme S_x sind Subsingletons }
Beim zweiten Schritt muss man kurz nachdenken, da die Beschreibung der vollen
Potenzmengengarbe ausgenutzt wird.
* Für die Garbe P gilt:
Gamma(U, P)
= { [S ^--> F|_U] | U |== S Subsingleton und nicht nicht bewohnt }
= { [S ^--> F|_U] | alle Halme S_x Subsingletons und
es existiert eine offene dichte Teilmenge V in U
sodass alle Halme auf V Singletons sind }.
Das kann man weiter vereinfachen zu
= { <V in U offen dicht, s \in F(V)> }.
Die Zuordnung geht so: Zu einem Unterobjekt S kann man die Menge
V := { x \in U | S_x bewohnt } = Vereinigung über all die offenen Mengen W,
für die S(W) bewohnt ist, bilden. Auf dieser gibt es einen Schnitt s als
Verklebung der gegebenen Keime.
Umgekehrt kann man zu <V,s> ein Unterobjekt S durch
S(W) = { s|_{W cap Z} \in F(W cap Z) | Z \subseteq W }
definieren.
* Als nächstes kann man P(F)/negneg betrachten.
* Beispiel: F = C, F = C^\infty und F = O_X auf reduzierten Schemata X
sind negneg-separiert. Daher sind Schnitte von P(F)/negneg durch das gegeben, was
man gemeinhin rationale Funktionen nennt.
=== Rationale Funktionen III
Sei X mit forall s:O_X. nicht (s invertierbar) ==> s = 0.
Dann ist Gleichheit auf O_X negneg-stabil.
* Dann ist S^(-1) O_X negneg-separiert.
* Ist (intern) B eine Teilmenge von S^(-1) O_X, die ein Subsingleton
und nicht nicht bewohnt ist, so kann man sich fragen, ob ein
f aus S^(-1) O_X existiert, sodass f nicht nicht in B enthalten ist.
(Eindeutig ist ein solches f auf jeden Fall.)
Im Folgenden sei das "Bedingung #".
* Unabhängig von # gibt es O_X --> S^(-1) O_X.
* Ferner gibt es für jede negneg-Garbe G und jeden Morphismus
O_X --> G eine eindeutige Fortsetzung S^(-1) O_X --> G.
(Hierbei nutzt man aus, dass jedes Element von S^(-1) O_X
nicht nicht von der Form u/1 für ein u aus O_X ist.)
* Bedingung # sagt extern: Jeder Schnitt von S^(-1) O_X,
der auf einer offenen dichten Teilmenge definiert ist, lässt sich fortsetzen.
Die kritische Frage ist nun, wann Bedingung # erfüllt ist. Ist sie es nämlich,
so ist S^(-1) O_X einfach die negneg-Garbifizierung von O_X. Das zeigt (?),
dass Schnitte von S^(-1) O_X einfach durch Äquivalenzklassen von Schnitten von
O_X gegeben sind, die auf offenen dichten Teilmengen definiert sind.
* Beispiel: Sei X = Spec A, A ein Integritätsbereich. Dann stimmt es:
Denn ein Schnitt auf D(h) hat die Form a/s, wobei a = b/h^n,
s = c/h^m. Also ist a/s = bh^m / (ch^n) eine globale Fortsetzung.
* Beispiel: Sei X ein integres Schema. Dann stimmt es auch.
Denn lokal sieht das aus wie Spec A, A Integritätsbereich.
* Beispiel: Sei X nur ein reduziertes Schema. Dann stimmt es auch!
Es genügt, die Behauptung für X = Spec A, A reduziert aber vielleicht kein
Integritätsbereich, nachzuweisen. Sei dazu U eine beliebige offene dichte
Teilmenge. Sei ein Schnitt von S^(-1) O_X gegeben. Dieser ist von der Form
a/s, wobei a = g^(-1) b, s = h^(-1) c, g in JU, h in JU, s auf U regulär.
[ Stimmt das? Verwechsele ich hier nicht die Prägarbe mit der Garbe S^(-1) O_X? ]
Wenn man U = bigcup_i D(f_i) schreibt, so bedeutet g in JU, dass
sqrt((f_i)_i) subseteq sqrt(g); und analog für h.
Der gegebene Schnitt ist dann gleich (bh) / (cg). Zu zeigen ist, dass cg
regulär auf ganz Spec A ist. Dann haben wir den Schnitt nämlich fortgesetzt.
Sei dazu cg x = 0 in A[z^(-1)]. Dann also cg z^a x = 0 in A, insbesondere
in A[(JU)^(-1)]. Da c auf U regulär ist, folgt g z^a x = 0 dort, also
p g z^a x = 0 für ein p aus JU. Für jedes i gibt es ein n_i mit
f_i^(n_i) = u_i p. Daher ist für jedes i f_i g z^a x nilpotent.
Und somit (Dichtheit!) ist g z^a x nilpotent, also Null.
Nun nochmal: Für jedes i gibt es ein m_i mit f_i^(m_i) = v_i g.
Daher ist für jedes i f_i z^a x nilpotent. Und somit (Dichtheit) ist
z^a x nilpotent, also Null. Somit ist x Null in A[z^(-1)]. Das war zu zeigen.