k-theorie.txt

=== Idee

Die Klasse [X] eines Objekts X in der K-Theorie ist eine *diskrete Invariante*
von X. Es ist die universelle additive Invariante.

Variieren die Objekte einer Kategorie kontinuierlich, ist daher klar, dass aus
Gleichheit der Klassen nicht Isomorphie der Objekte gefolgert werden kann.

Eine interessante Ausnahme ist die Kategorie der endlich-dimensionalen
C-Darstellungen einer endlichen Gruppe. In dieser zerfallen alle kurzen exakten
Sequenzen (char C = 0), daher ist die allgemeine K-Theorie dasselbe wie die
additive K-Theorie. Sind die Klassen zweier Objekte gleich, so sind die Objekte
"stabil isomorph". Mit Charaktertheorie (Grundkörper C) folgt damit sofort,
dass die beiden Objekte sogar schon wirklich isomorph sind.

Der letzte Schritt benötigt etwas mehr, als dass die Kategorie der Darstellungen
halbeinfach ist (d.h. jedes Objekt direkte Summe irreduzibler Objekte ist):
Denn wenn oplus_i (n_i + z_i) V_i ~~ oplus_i (m_i + z_i) V_i, dann
n_i + z_i = m_i + z_i für alle i, also n_i = m_i für alle i.
Dafür wird verwendet: Die Vielfachheit n_j in einer Darstellung oplus_i n_i V_i
ist dim Hom(V_j, oplus_i n_i V_i). Hier geht Schurs Lemma ein, welches
algebraische Abgeschlossenheit des Grundkörpers benötigt.

Aber geht es auch ohne? Extrahiere n_j einfach als

    dim Hom(V_j, oplus_i n_i V_i) / dim Hom(V_j, V_j).

Denke schon! Kurz: Auch im Fall, dass k ein nicht unbedingt algebraisch
abgeschlossener Körper positiver Charakteristik ist, impliziert Gleichheit in
K-Theorie schon Isomorphie. Natürlich nur, falls weiterhin char k _|_ |G|.


=== Definition und elementare Beobachtungen

Sei A abelsche Kategorie.

Def.: K_0(A) := Freie abelsche Gruppe über den Isoklassen von Objekten aus A
modulo kurzer exakter Sequenzen.

Habe Abbildung Ob(Kom^b(A)) --> K_0(A), E^* |--> [E^*] := \sum (-1)^n [E^n].
Könnte man wohl "verallgemeinerte Eulercharakteristik" nennen.

Elementare Beobachtungen:
1) [E^*] = [H^*(E^*)]:
   Setze Z^n := ker d^n, B^n := im d^(n-1), dann sind
       0 --> Z^n --> E^n --> B^(n+1) --> 0
       0 --> B^n --> Z^n --> H^n --> 0
   exakt. Teleskopsumme. Wenn ich mir keine Subtraktion erlaube (also K_0 als
   freien abelschen Monoid definiere), gilt die entsprechend übersetzte
   Behauptung. Daraus folgt etwa eine allgemeine Formel für die Träger der an
   einer exakten Sequenz beteiligten Modulgarben.
2) Insbesondere ist [E^*] = 0 falls E^* azyklisch.
3) Ist dim : Ob(A) --> G eine Abbildung in eine abelsche Gruppe G, die
   auf kurzen exakten Sequenzen null ist, dann gilt:
   -- dim ist Gruppenhomo (in Ob(A) bzgl. direkte Summe).
   -- dim ist invariant auf Isoklassen.
   -- dim induziert Gruppenhomo K_0(A) --> G.


=== Variante für additive Kategorien

Sei A nur additiv. Dann kann man immerhin Elemente der Form

    [X \oplus Y] - [X] - [Y]

herausteilen. Dann hat man folgendes Lemma:

Lemma: [X] = [Y]  <==>  X \oplus Z ~~ Y \oplus Z für ein Z.
Allgemeiner: sum_i [X_i] = sum_j [Y_j]  <==>  oplus_i X_i oplus Z ~~ oplus_j Y_j oplus Z für ein Z.
Beweis: Nach Voraussetzung ist sum_i X_i - sum_j Y_j eine Summe von Termen der
Form (A + B - (A oplus B)), mit Vorzeichen +1 oder -1. Dann Induktion über die
Anzahl solcher Summanden. Induktionsanfang ist klar. Induktionsschritt ist
einfach, auf Induktionsvoraussetzung zurückführen.

Erstaunlicherweise gilt: Sind X^* und Y^* homotopieäquivalente Komplexe in Kom(A),
wobei A nur additiv ist, so ist chi(X^*) = chi(Y^*) in der K-Theorie von A (in der
man nur zerfällte kurze exakte Sequenzen herausgeteilt hat). Das wird elementar
erklärt in /A Note on the Grothendieck Group of an Additive Category/ von David
Rose (http://arxiv.org/abs/1109.2040):

1. phi : X^* --> Y^* ist eine Homotopieäquivalenz <==> Cone(phi) ~ 0.

2. X^* ~ 0 ==> chi(X^*) = 0. (Kombinatorisch!)

3. X^* ~ Y^* ==> chi(Cone(phi)) = 0 = chi(X^*) - chi(Y^*).

(Falls A abelsch ist und man die volle K-Theorie verwendet, folgt 2. viel
einfacher: chi(X^*) = chi(H^*(X^*)) = chi(0) = 0. In dieser Situation haben
also sogar Komplexe mit Nullkohomologie Euler-Charakteristik Null, nicht nur
solche, die homotopieäquivalent zum Nullkomplex sind.)

Das kann man verwenden, um Wohldefiniertheit zu zeigen: Angenommen, eine
additive Größe c(E) ist schon für spezielle Objekte E definiert, und jedes
Objekt lässt sich durch solche auflösen. Gelte weiter, dass je zwei solcher
Auflösungen homotopieäquivalent sind. Dann ist die Definition

    c(X) := sum_i (-1)^i c(E_i) für ... -> E_1 -> E_0 -> X exakt

sinnvoll. Um zu zeigen, dass c(X) in X additiv ist, benötigt man wohl ein
Pferdefußlemma.

Warnung: http://mathoverflow.net/a/61272/31233 Angeblich gilt in der nur
additiven K-Theorie nicht: Die alternierend aufsummierte Klasse einer längeren
exakten Sequenz ist Null. Klar, stimmt ja schon für kurze exakte
(nicht-zerfallende) Sequenzen nicht.


=== Eilenberg--Mazur-Streich

Sei M ein A-Modul. Dann gilt: oplus_{n \in N} M ~~ M oplus oplus_{n \in N} M.

Daher folgt in der K-Theorie der abelschen Kategorie aller A-Moduln:
[M] = 0.

Die K-Theorie der Kategorie aller A-Moduln ist also trivial.

Für eine interessante Theorie muss man also Endlichkeitsbedingungen aufnehmen.


=== K-Theorie einer Kategorie von Endomorphismen

http://chromotopy.org/k-thy-of-endomorphisms
http://math.berkeley.edu/~aaron/xkcd/pancia-k-theory-of-endomorphisms.pdf

Laut diesen Quellen gilt: K(End(R)) ~~ K(R) x W(R),
wobei W(R) = multiplikative Gruppe der rationalen Funktionen mit Koeffizienten
in R und konstantem Term in Zähler und Nenner gleich Eins.
Dabei ist der Iso wohl durch phi |-> T^n chi_phi(1/T) gegeben.

Im Fall, dass R ein Körper ist, ist es einfacher. Dann ist K(Vect(k)_findim[T])
einfach isomorph zur multiplikativen Gruppe der rationalen Funktionen mit
normierten Zähler und Nenner. Der Isomorphismus schickt einen Endomorphismus auf
sein charakteristisches Polynom. Sein Inverses schickt einen normiertes Polynom
auf seine Begleitmatrix.

Man muss dabei nachrechnen:

* B(fg) = B(f) + B(g) in der K-Theorie. Das folgt aus der kurzen exakten
  Sequenz

      0 -----> k[x]/(f) --g--> k[x]/(fg) -----> k[x]/(g) -----> 0.

* B(chi(phi)) = phi. Das folgt daraus, dass man phi auf Frobeniussche
  Normalform bringen kann. Außerdem geht die Rechenregel für B(fg) ein.

* chi(B(f)) = f, aber das ist klar.

Zu Automorphismen gehören solche rationale Funktionen f/g mit f(0) und g(0)
ungleich Null. Auch die Kategorie der Automorphismen ist abelsch, da äquivalent
zu Mod(k[T,T^(-1)])_findim. Damit ist also auch deren K-Theorie bekannt.

Eine Anwendung: Die K-Theorie der lokalen Systeme auf einem zusammenhängenden
Raum mit pi_1 = Z ist die Gruppe der f/g mit f(0), g(0) ungleich Null. Denn
folgende Dinge sind dieselben:

* lokale Systeme auf X
* Darstellungen pi_1(X) --> Vect^fd(k)
* endlich-dimensionale k-Vektorräume zusammen mit einem Automorphismus


=== Graduierte K-Theorie eines graduierten Rings

Die Poincarésche Reihe stiftet einen Homomorphismus

    K_gr(A) --> K(A_0)[[t]],

falls A ein noetherscher N-graduierter Ring ist. Dieser Homo landet ziemlich
sicher sogar in der Teilmenge derjenigen Potenzreihen, die sich als

    f(t) / prod_i (1 - t^{k_i})

schreiben lassen, wobei f(t) ein Polynom über K(A_0) ist und die k_i die Grade
von Erzeugern von A als A_0-Algebra sind.

Das sollte eine Konsequenz aus dem Beweis vom Hilbert--Serreschen Satz
(Satz 44.3 im Algebra-II-Skript) sein.

http://math.stackexchange.com/questions/217612/exercise-11-5-from-atiyah-macdonald-hilbert-serre-theorem-and-grothendieck-grou


=== K-Theorie eines Schemas

Anwendung: Für X Schema habe Ob D^b(X) --> K_0(X) := K_0(Coh(O_X)).

1) Kann jedes Element in K_0(X) als Linearkombination von Klassen lokal
   freier Moduln schreiben (falls X glatt).
   http://rigtriv.wordpress.com/2009/02/27/the-grothendieck-group-of-coherent-sheaves-on-a-variety/
   Das benötigt wirklich die Glattheit:
   http://mathoverflow.net/questions/127482/locally-free-resolution-of-sheaves-on-finite-group-quotient
2) Kann dadurch Ringstruktur definieren.
3) Die K-Konstruktion ist kontravariant, durch Rückzug von lokal freien Moduln.
4) Außerdem kovariant, durch verallgemeinertes direktes Bild:
       f_! [F] := \sum (-1)^n [R^n f_*(F)].
   Achtung -- f_! ist kein Ringhomo. Stattdessen gilt:
      f_! (x . f^*(y)) = f_*(x) . y.

Wenn man nur zerfallende kurze exakte Sequenzen herausteilt, erhält man nicht
die richtige Gruppe:
http://mathoverflow.net/questions/30877/how-is-k-theory-defined-for-coherent-sheaves

Aber: Unter gewissen Umständen (Glattheit) kann man sich auf zerfallende kurze
exakte Sequenzen von *Vektorbündeln* einschränken:
http://mathoverflow.net/questions/30877/how-is-k-theory-defined-for-coherent-sheaves
Sosna schreibt in seiner Doktorarbeit, dass es (immer noch bei beliebigen
kurzen exakten Sequenzen) genügt, dass X noethersch, ganz, separiert und
regulär ist.

Schön erklärt ist das in http://d-nb.info/98519670X/34 (Mark Blume, McKay
correspondence and G-Hilbert schemes) auf Seite 24. Auch mit Blick auf
G-Äquivarianz.

* K_0(P^1_k) = Z oplus Z mit F |-> (Dimension des generischen Halms, Euler-Char. von F).

* K_0({x}) = K_0(k(x)) = Z.

* Sei Y subseteq X ein abgeschlossenes Unterschema eines noetherschen Schemas.
  Dann habe eine exakte Sequenz: K_0(Y) --> K_0(X) --> K_0(X \ Y) --> 0.
  https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/MasterJavanpeykar.pdf
  Das folgt auch aus abstraktem Nonsens:
  * Coh(Y) ist äquivalent zu Coh(X)_supp, der vollen Unterkategorie von Coh(X)
    derjenigen Garben, die Träger in Y haben und XXX von I, der Idealgarbe von Y,
    annihiliert werden. (Vermöge Vordrücken und Zurückziehen.) XXX Achtung, das
    ist dann keine Serresche Unterkategorie mehr! Sei 0 -> E' -> E -> E'' -> 0.
    Gelte I E' = 0 und I E'' = 0. Dann folgt nur I^2 E = 0, nicht I E = 0.
  * Coh(X)/Coh(X)_supp ist äquivalent zu Coh(X \ Y), vermöge Einschränken
    mit j^{-1} und Vordrücken mit j_!. Zum Nachweis der Vollheit (bzw. zum
    Nachweis, dass das Pseudoinverse wirklich ein Pseudoinverses ist) muss man
    nachrechnen, dass Kern und Kokern von j_! j^{-1} E --> E für E aus Coh(X) in
    Coh(X)_supp liegen. Das folgt durch Betrachtung dieser Abbildung auf Halmen.
  * Allgemein hat man für Serresche Unterkategorien die exakte Sequenz
    K_0(B) --> K_0(A) --> K_0(A/B) --> 0.

  Richtig geht es so:
  1. Coh_Y(X) --> Coh(X) --> Coh(X \ Y) ist eine exakte Sequenz von abelschen
     Kategorien, wie oben beschrieben. Dabei ist Coh_Y(X) die Kategorie
     derjenigen kohärenten Garben auf X, welche Träger auf Y haben (aber
     vielleicht trotzdem nicht von einer kohärenten Garbe auf Y stammen).
  2. Coh(Y) <= Coh_Y(X) erfüllt Dévissage, also K(Coh(Y)) = K(Coh_Y(X)).
     Brauche dafür: Ist E in Coh_Y(X), so gibt es ein n mit I^n E = 0.
     Dafür ist hinreichend, dass X quasikompakt und I endlich erzeugt ist:
     Da E kohärent ist, ist E insbesondere quasikohärent. Zusammen mit der
     Tatsache, dass E endlich erzeugt ist, folgt (siehe interne-methoden.txt):
     Für alle f aus I gibt es n >= 0 mit f^n E = 0. Da I endlich erzeugt ist,
     folgt somit I^m E = 0 für ein m >= 0. Erhalte ein global verwendbares m
     aufgrund der Quasikompaktheit.

  Details stehen in Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory, Seite 179.

* Sei Y <= X ein abgeschlossenes Unterschema eines kohärenten Schemas
  mit nilpotenter Idealgarbe I (I^n = 0 für ein n). Dann K(Y) = K(X),
  aufgrund der Filtrationssache.

* K_0(X x A^1) = K_0(X). Kor.: K_0(A_R^n) = K_0(R).
  https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/MasterJavanpeykar.pdf, Abschnitt 5.

* K_0(X x P^n) = K_0(X) tensor K_0(P^n).

* K_0(P^n) über den dualen Zahlen:
  http://mathoverflow.net/questions/77089/grothendieck-group-for-projective-space-over-the-dual-numbers,
  zweite Antwort.

* Siehe /Riemann--Roch Algebra/ von Fulton und Lang, ca. Seite 115.

* Für K_0(P^n) siehe projektiver-raum.txt.

* K(A^n) = Z. Folgt daraus, dass jeder endlich erzeugte k[x1,...,xn]-Modul eine endliche
  Auflösung durch freie Moduln zulässt. (Unter irgendwelchen Bedingungen.)
  http://mathoverflow.net/a/172945/31233

* Sei X die affine Gerade mit doppeltem Ursprung. Dann ist Pic(X) isomorph zu Z.
  Das sieht man so:

      Pic(X) = { (M, N, phi) | M, N Rang-1-Moduln auf k[X],
          phi : M tensor k[X,X^(-1)] --> N tensor k[X,X^(-1)] Iso von
          k[X,X^(-1)]-Moduln }  (links und rechts unterschiedliche
          Algebrenstruktur auf k[X,X^(-1)])

            = GL_1(k[X]) \ GL_1(k[X,X^(-1)]) / GL_1(k[X])

            = k^* \ (k^* X^Z) / k^*

            = Z.

  Hier geht ein, dass jedes Geradenbündel auf k[X] trivial ist.

* Ist A der Ganzheitsring eines Zahlkörpers K, so gilt K(A) = Z oplus Cl_K.
  https://de.wikipedia.org/wiki/Idealklassengruppe

In K(X) sind folgende Elemente bezüglich der Multiplikation invertierbar:
* Klassen von Geradenbündeln, klar.
* Negative von Klassen von Geradenbündeln.
* Zufällige weitere Klassen, solange ihr virtueller Rang \pm 1 ist.
  (Die Funktion rk : K(X) --> Z ist ein wohldefinierter Ringhomo.)
  Konkretes Beispiel: In K(P^1) ist 2-[O(-1)] invertierbar.
  (Achtung: Habe nicht ausgeschlossen, dass (das Negative einer) Klasse eines
  Geradenbündels ist.)


=== Nutzen der K-Theorie eines Schemas für Schnitttheorie

* Mit der K-Theorie können wir Chern-Klassen definieren:
  Für Vektorbündel ist das bekannt, und darauf kann man sich (unter geeigneten
  Bedingungen) zurückziehen.

* Die kanonische Z-lineare Abbildung Weil(X) --> K(X), sum a_i Y_i |->
  sum a_i [O_{Y_i}] ist eine Surjektion. Das zeigt man etwa mit
  Kompositionsreihen. Siehe Manin (Lectures on the K-functor in algebraic
  geometry), Seite 9. Achtung: Die Bezeichnung "Weil(X)" ist hier irreführend,
  weil man NICHT fordert, dass die Y_i alle Kodimension 1 haben.

* Seien V, W abgeschlossene Unterschema in allgemeiner Lage.
  Dann gilt: [O_V] * [O_W] = [O_{V cap W}].

  Denn: Im Fall der allgemeinen Lage gilt Tor_*(O_V, O_W) = O_V tensor_O O_W =
  O/(I_V + I_W) = O_{V cap W}.

  Im Fall der beliebigen Lage ist das sicher falsch -- das Produkt in der
  K-Theorie ist besser als der rein schematheoretische Schnitt.
  Bedenke: V cap V = V (schematheoretisch).

* Kann die Schnittzahl zweier Unterschema im transversalen Fall als

      (Y_1 . Y_2) := chi(O_{Y_1} cap O_{Y_2})

  definieren. Im allgemeinen Fall sollte man

      (Y_1 . Y_2) := chi(O_{Y_1} tensor^L O_{Y_2})

  setzen, also (Y_1 . Y_2) = chi([O_{Y_1}] * [O_{Y_2}]).
  (Beachte: chi : K(X) --> Z ist wohldefiniert und linear, aber kein Ringhomo.
  dim : K(Vect) --> Z ist zwar ein Ringhomo (sogar Ringiso), aber Garben-H^* :
  K(X) --> K(Vect) ist es nicht.)

* Sei Y in X ein abgeschlossenes Unterschema, dass lokal durch reguläre
  Sequenzen gegeben ist. Dann gilt:

      Tor_*(O_Y, O_Y) = Lambda^*_{O_Y}(I/I^2).

      Tor_*(F, O_Y) = F tensor Lambda^*_{O_Y}(I/I^2).

  Als Konsequenz:

      (Delta_X . Delta_X) = sum_{i=0}^{dim X} (-1)^i chi(Omega^i_X)
          = sum_{p=0}^{2 dim X} (-1)^p dim(oplus_{i+j=p} H^j(X, Omega^i))
          = chi(X_an)  (falls das Sinn ergibt).

  Hier geht sowas wie Lambda^* i_* O_X = i_* Lambda^* O_X ein,
  um zwischen der Euler-Charakteristik auf X x X und der auf X zu wechseln.

* Manin, Seite 43: Habe lineare Abbildungen

      i   : Pic(X) ---> K(X),    [L] |--> [L],

      det : K(X)   ---> Pic(X),  [E] |--> [det E] (falls E lokal frei).

  i ist sogar ein Ringhomo. (Aber det nicht! Es gilt det(xy) = det(x)^eps(y) *
  det(y)^eps(x).)

  Es gilt det . i = id.

* Z[Pic(X)]/I^2 --> K(X)/F^2K(X) ist ein Ringiso.

* Man weiß, was mit der K-Theorie unter Aufblasung geschieht.

* Siehe auch Fulton (Intersection Theory), Kapitel 15.


=== Filtrierung nach Trägerkodimension

Sei X regulär und zusammenhängend. Sei K_i(X) von den Klassen von solchen
Modulgarben erzeugt, deren Träger Kodimension >= i haben.

* K(X) / K_2(X) ist isomorph zu Z oplus Pic(X), vermöge rk & det.
  Die Umkehrung schickt (1,0) auf [O] und (0,L) auf [L]-[O].

* Für Kurven ist K_2 natürlich Null. In diesem Fall kennt man die K-Theorie
  also vollständig.

Quelle: Seite 93 von
http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/233bnotesIurie.pdf.


=== Eulercharakteristik einer Modulgarbe (nach Hartshorne, Ex. III.5.1):

Def.: chi(F) = \sum (-1)^i dim_k H^i(X; F).

Prop.: chi ist null auf kurzen exakten Sequenzen.

Bew. (direkt): Lange exakte Kohomologiesequenz hinschreiben und alternierend
Dimensionen aufsummieren, das gibt null.

Bew. (mit Lemmas): chi(F) ist gleich dem Bild von [Gamma(I^*)] unter der
Dimensionsabbildung, wobei 0 --> F --> I^* eine injektive Auflösung ist. Dann
Hufeisenlemma.


=== Euler-Form

* In K_0(D^b(A)): chi(X,Y) := sum_i (-1)^i [Hom(X,Y[i])].

* Die Euler-Form auf der K-Theorie einer elliptischen Kurve ist
  schiefsymmetrisch. Denn die einzig relevanten Terme sind i = 0 und i = 1,
  und für diese liefert Serre-Dualität:

      hom(E, F)    = hom(F,    E tensor omega[1]) = hom(F, E[1])
      hom(E, F[1]) = hom(F[1], E tensor omega[1]) = hom(F, E)

  Hier geht ein, dass omega auf einer elliptischen Kurve trivial ist.

* Allgemeiner(?) ist die Euler-Form auf jeder Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit
  symmetrisch mit Vorfaktor (-1)^Dimension, denn auf diesen ist omega ebenfalls
  trivial.

* Wenn es einen Serre-Funktor S gibt, so gilt

      (E, F) = (F, S(E)).

  Ist speziell S(E) = E tensor omega[n], so gilt

      (E, F) = (-1)^n (F, E tensor omega).

  (Ableiten des Tensorprodukts nicht vergessen.)

  Noch spezieller gilt für Wolkenkratzergarben:

      (k(x), F) = (-1)^n (F, k(x)).

* The Mukai pairing, I: a categorical approach.
  http://arxiv.org/pdf/0707.2052.pdf

* Wenn man den Kern der Euler-Form herausteilt, erhält man die "numerische
  Grothendieck-Gruppe". Die ist angeblich laut Riemann--Roch immer von
  endlichem Rang. (Fourier-Mukai and Nahm Transforms in Geometry and
  Mathematical Physics, Seite 367.)

  Klar ist zumindest: Wenn die numerische Grothendieck-Gruppe endlich erzeugt
  ist, so ist sie frei von endlichem Rang. Denn in jedem Fall ist sie
  torsionsfrei: Sei n [x] = 0. Dann ist (nx,y) = 0 für alle y. Also (x,y) = 0
  für alle y. Somit [x] = 0.

  Wenn die Euler-Form selbst schon nicht-entartet ist (im unten beschriebenen
  Sinn), so folgt auch schon für die gewöhnliche Grothendieck-Gruppe
  Torsionsfreiheit.


=== Erzeuger der triangulierten Kategorie

Sei eine triangulierte Kategorie C durch Objekte X_1, ..., X_n erzeugt. Dann
ist jedes Element aus K(C) darstellbar über:

* die Klassen der X_i
* (-1)^n (wegen Shifts)
* x-y (wegen Kegel)
* y = y_1 + ... + y_m (y vorher gebaut) (wegen direkten Summanden)


=== Elemente von K_0 als Funktionen

Sei X eine Varietät über F_p. Ist F ein Komplex von Garben auf X, so können wir
die (Super-)Spur von Fr^n auf dem Kohomologie-Null-Komplex von F am Halm x
berechnen. So erhält man eine Zahl. Diese verträgt sich mit kurzen exakten
Sequenzen.

http://sbseminar.wordpress.com/2009/05/21/the-grothendieck-trace-formula-as-categorification-ii/

Siehe auch Taelmans Notizen (Seite 49):
https://staff.fnwi.uva.nl/l.d.j.taelman/beijing.pdf


=== Komplexe und derivierte Kategorie

Sei A eine abelsche Kategorie. Dann gibt es:

* K_0(A).
* K_0(Kom^b(A)).  (Hier noch X^*[1] = -X^* herausteilen!)
* K_0(K^b(A)).  (Ebenso.)
* K_0(D^b(A)).  (Hier geschieht das automatisch, wegen X^* --> 0 --> X^*[pm1] -->.)

Die letzten beiden Gruppen sind die K-Gruppen von triangulierten Kategorien.

All diese Gruppen sind zueinander isomorph. Isomorphismen von den unteren drei
zu K_0(A) sind durch die Euler-Charakteristik gegeben:

    X^* |--> sum_i (-1)^i [H^i(X^*)].

Für Surjektivität benötigt man die kanonische Filtrierung von Komplexen:

    0 --> tau^{<= n-1} X --> tau^{<= n} X --> H^n(X)[-n] --> 0.

Update: Quatsch. Nimm einfach in Grad 0 konzentrierte Komplexe.
Die Filtrierung benötigt man für die Injektivität, mit der man also zeigt, dass
für einen Komplex X^* gilt:

    X^* = sum_i (-1)^i [H^i(X^*)[0]].


=== t-Strukturen

Sei A eine abelsche Unterkategorie einer triangulierten Kategorie D, gegeben
durch eine beschränkte t-Struktur. Dann ist K(A) = K(D). Das behauptet
zumindest Huybrechts auf Seite 293 (ganz unten).


=== Semi-orthogonale Zerlegungen

Sei C eine triangulierte Kategorie. Sei (A_n,...,A_0) eine exzeptionelle
Sequenz mit C = <A_n,...,A_0>. Dann gilt:

    K(C) = Z<A_n,...,A_0> (frei erzeugt).

Denn: Dass die Klassen der A_i ein Erzeugendensystem bilden, ist klar. Zur
linearen Unabhängigkeit beobachte, dass die "gramsche Matrix" ((A_i, A_j)_Euler)_ij
regulär ist: Sie ist eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der
Hauptdiagonale.

* Wenn die A_i C nur erzeugen (in dem Sinn, dass jedes Objekt aus C
  aus endlich vielen Shifts und Kegelbildungen aus den A_i entsteht), stimmt
  immer noch, dass die Klassen der A_i K(C) erzeugen.

* Wie funktioniert das für allgemeine semi-orthogonale Zerlegungen?
  Antwort steht in http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf, Seite 8.

* Übrigens: Unter gewissen Bedingungen impliziert die Existenz eines
  Tilting-Objekts die Freiheit der K-Theorie. (Basiselemente sind dann die
  Klassen der Summanden in einer Zerlegung des Tilting-Objekts in unzerlegbare
  Objekte.)
  https://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/ictp2006/lecturenotes/lenzing2.pdf,
  Seite 13.


=== Hall-Algebra

* Hall-Algebren sind Grothendieck-Gruppen:
  http://sbseminar.wordpress.com/2011/04/18/hall-algebras-are-grothendieck-groups/#more-3988

* http://www.math.ubc.ca/~pooya/files/sms-Reineke.pdf

* http://arxiv.org/abs/math/0611617
  Lectures on Hall algebras
  Olivier Schiffmann


=== K-Theorie von Darstellungen (über C)

* K(Rep_fin(G)) ist die Verlinde-Algebra von G.

* K(Rep_fin(G)) wird frei erzeugt durch die Klassen irreduzibler Darstellungen.


=== Höhere K-Theorie

Sei E eine exakte Kategorie. Dann ist der K-Theorie-Raum von E der Raum

    K(E) := Omega B Q E.

Dabei nimmt Omega den Schleifenraum, B(QE) ist der klassifizierende Raum zur
Kategorie QE und QE sieht so aus: die Objekte sind die von E, aber Morphismen X
--> Y sind Diagramme der Form X <<-- W `--> Y.

* K_i(E) := pi_i K(E) = pi_{i+1} B(QE).

* Ist B --> A --> A/B eine exakte Sequenz von abelschen Kategorien, so ist
  BQ(B) --> BQ(A) --> BQ(A/B) eine Homotopiefaserung. Insbesondere gibt es
  eine lange exakte Sequenz der Form

      ... --> K_1(A/B) --> K_0(B) --> K_0(A) --> K_0(A/B) --> 0.

* Sei B <= A eine volle abelsche Unterkategorie (natürlich so, dass die
  Inklusion exakt ist). Besitze jedes Objekt aus A eine endliche Filtrierung,
  in der die Quotienten in B liegen. Dann induziert die Inklusion eine
  Homotopieäquivalenz K(B) --> K(A). ("Dévissage")

* \mathbb{K} verträgt sich gut mit offenen Überdeckungen! (Werden zu
  Homotopiepullbacks.) Siehe Seite 205.

  Auch verträgt es sich gut mit Aufblasungen (Seite 209).

  Siehe dazu auch Seite 2 von http://ncatlab.org/nlab/files/cech.pdf (Daniel
  Dugger, Sheaves and Homotopy Theory): Wenn X = bigcup U_i, denn
  ist K(X) der Homotopielimes von prod_i K(U_i) ===> prod_{ij} ... ≡≡≡> ...

* Brown--Gersten--Quillen-Spektralsequenz (Seite 211):

      E_1^pq = bigoplus_{x in X^p} K_{-p-q}(k(x)) ==> G_{-p-q}(X).

  Dabei X^p <= X Menge der Punkte von Kodimension p in X.
  X noethersches Schema.

  Wenn X regulär und von endlichem Typ über einem Körper ist, so gilt

      E_2^{p,-p} = CH^p(X)  (Chow-Gruppe).

* Motivische Spektralsequenz: E_2^pq = H^{p-q}_mot(X, Z(-q)) ==> K_{-p-q}(X).

Quelle: Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory.


=== Endliche Präsentierung der K-Theorie

* Oft ist die K-Theorie als abelsche Gruppe endlich erzeugt. In klassischer
  Logik also auch endlich präsentiert. Natürlich machen sich daher Leute nicht
  unbedingt Mühe, endliche Präsentiertheit zu zeigen.

* Sei auf einer abelschen Gruppe A eine Bilinearform A x A --> Z gegeben.
  Seien Erzeuger e_1, ..., e_n von A gegeben. Sei M die Darstellungsmatrix von (__,__).
  Wenn M regulär ist, so sind die e_i schon linear unabhängig:

  Gelte sum_i alpha_i e_i = 0. Dann e_j^T M (alpha_i)_i = 0 für alle j.
  Also M (alpha_i)_i = 0. Somit (alpha_i)_i = 0.

* Sei auf einer abelschen Gruppe A eine nicht-entartete Bilinearform A x A --> Z
  gegeben, in dem Sinn, dass (x,y) = 0 für alle y schon x = 0 impliziert.

  Seien Erzeuger e_1, ..., e_n von A gegeben. Sei M die Darstellungsmatrix von (__,__),
  also M_ij = (e_i,e_j).

  Sei v^T M = 0. Dann kann man daraus eine Relation zwischen den e_i ableiten:
  Es ist sum_i v_i e_i = 0, denn (sum_i v_i e_i, e_j) = sum_i v_i M_ij = (v^T M)_j = 0
  für alle j.

  Genauer gilt:

      { v | v^T M = 0 } = { v | sum_i v_i e_i = 0 }.

  Kennt man also Erzeuger des Linkskerns von M, so kennt man Erzeuger des
  Relationenmoduls von A!

* Sei auf einer abelschen Gruppe A eine Bilinearform A x A --> Z gegeben.
  Sei diese symmetrisch oder schiefsymmetrisch. Dann steigt sie nämlich auf A/U ab,
  wobei

      U = { x | (x, y) = 0 für alle y }.

  Auf A/U ist sie dann im obigen Sinn nicht-entartet. Somit kann man aus
  Erzeugern von A dann eine endliche Präsentation von A/U konstruieren.

* Insbesondere kann ich somit eine Präsentation der numerischen
  Grothendieck-Gruppe einer K3-Fläche (oder sonst eines Schemas mit
  Serre-Funktor durch Tensorieren und trivialem kanonischen Bündel) berechnen,
  wenn ich nur Erzeuger der Gruppe kenne.


=== K-Theorie als universelle Kohomologietheorie

http://arxiv.org/abs/1603.06740


=== Nächste Schritte

* Der K-Theorie welcher abelschen (oder zumindest additiven) Kategorie
  entspricht die K-Theorie von Vektorbündeln?

* Siehe http://arxiv.org/pdf/math/0512103v1.pdf, Seite 30 unten:
  Gibt Herausteilen aller kurzen exakten Sequenzen dasselbe wie nur das
  Herausteilen zerfallender kurzer exakter Sequenzen, falls A halbeinfach ist?
  Oder sogar immmer...?

  Die Antwort ist klar: Falls A halbeinfach ist, gibt es dasselbe. Da dann eh
  alle kurzen exakten Sequenzen zerfallen. Sonst nicht.

* Auflösung der Diagonale X --> Auflösung der Diagonale X^n?

* S_n-äquivariante K-Theorie von X^n?

* Wie konkret kann man die Beilinson-Auflösung verwenden, um
  Kohomologie von Garben auf P^n zu berechnen?

* K-Theorie von V(f) in P^n verstehen.


=== Literatur

* Max Karoubi
* Huybrechts Fourier-Mukai S. 124.
* http://math.uoregon.edu/~ddugger/kgeom.pdf
* http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-235-294.pdf
* https://rigtriv.wordpress.com/2009/02/27/the-grothendieck-group-of-coherent-sheaves-on-a-variety/