kategorifizierung.txt

=== Geometrische Reihe

Betrachte den Komplex

    0 --> k[x][-1] --> k[x] --> 0,

mit dem ersten nichttrivialen Term in Grad -1. Die Abbildung ist durch
Multiplikation mit x gegeben. Die Euler-Charakteristik dieses Komplex
graduierter k-Vektorräume ist dann durch

    -t sum_i t^i + sum_i t^i = (1-t) sum_i t^i

gegeben. Die Kohomologie des Komplexes ist in Grad 0 konzentriert, mit Wert k.
Die Euler-Charakteristik ist daher gleich

    1.

Das kategorifiziert die Beobachtung (1-t) sum_i t^i = 1.

Quelle: http://mathoverflow.net/questions/1465/can-we-categorify-the-equation-1-t1-t-t2-1


=== Nichtnegative rationale Zahlen

Jeder endliche Gruppoid besitzt eine nichtnegative Kardinalität.
Äquivalente Gruppoide haben dieselbe Kardinalität. (Die Umkehrung gilt aber
nicht.)

http://mathoverflow.net/a/22879/31233


=== Weyl-Charakterformel (oder Kostant multiplicity formel)

... ist Dekategorifizierung der BGG-Auflösung.
http://mathoverflow.net/a/43607/31233