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koalgebra.txt
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=== Literatur
* https://www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/iti/survey_full.pdf
=== Dualität
Seite 7 von Adámek/Milius:
algebra for a functor coalgebra for a functor
initial algebra terminal coalgebra
least fixed point greatest fixed point
congruence relation bisimulation equivalence relation
equational logic modal logic
recursion: map out of an initial algebra corecursion: map into a terminal coalgebra
Foundation Axiom Anti-Foundation Axiom
iterative conception of set coiterative conception of set
set with operations set with transitions and observations
useful in syntax useful in semantics
bottom-up top-down
=== Analytische Funktoren
Ein analytischer Funktor ist einer von der Form
X |--> endliches Koprodukt über X^k/G,
wobei k irgendwelche natürliche Zahlen und G irgendwelche Untergruppen der
jeweiligen S_k durchläuft.
* Der (kovariante) Potenzmengenfunktor (auch nicht P_fin) ist nicht analytisch,
der Multimengenfunktor aber schon.
* Analytische Funktoren auf Set haben stets initiale Algebren.
=== Kartesisch monoidalen Kategorien vs. symmetrisch monoidale Kategorien
Der Vergissfunktor von kartesisch monoidalen Kategorien zu symmetrisch
monoidalen Kategorien is koreflektiv. Sein Rechtsadjungierter ist
V |--> Kategorie der Komonoide.
=== Wirkung von Koalgebren auf Algebren
Ist C eine Koalgebra und A eine Algebra (in Ab), so ist {C,A} := Hom(C,A)
wieder eine Algebra (Hom in Ab). Für f, g in {C,A} ist ihr Produkt als
C ---> C tensor C ---> A tensor A ---> A
Komult. f tensor g Mult.
definiert.
* Ist C die Koalgebra der (n x n)-Komatrizen, ist ist {C,A} die Algebra
der (n x n)-Matrizen mit Einträgen aus A.