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=== Ringe mit eindeutiger Primidealzerlegung
* Sei A ein Dedekindring. (Oder nur ein Integritätsbereich der Dimension <= 1,
in dem jedes von Null verschiedene Ideal eine eindeutige Zerlegung in
Primideale zulässt. Man kann das noch weiter abschwächen.)
Seien p_1, ..., p_n von Null verschiedene und paarweise verschiedene Primideale.
Gelte: prod_i p_i^(a_i) <= prod_i p_i^(b_i).
Dann folgt a_i >= b_i für alle i.
Denn angenommen, für ein solches i gilt a_i < b_i. Wegen der Eindeutigkeit
der Primidealzerlegung finden wir dann ein Elemente pi aus p_i^(a_i) \ p_i^(b_i).
Da die p_i paarweise koprim sind, sind auch beliebige Potenzen dieser Ideale
paarweise koprim. Nach dem chinesischen Restsatz finden wir daher ein Element x mit
x = pi modulo p_i^(b_i)
x = 0 modulo p_j^(a_j) für j != i.
Dieses x ist modulo allen p_j^(a_j) Null. Es liegt also im Schnitt dieser
Ideale und, wegen der Koprimalität, auch im Produkt dieser Ideale. Nach
Voraussetzung liegt es also im Produkt der p_j^(b_j) und insbesondere in
p_i^(b_i). Also ist x gleich Null modulo p_i^(b_i). Aber das ist ein
Widerspruch, denn x ist pi modulo p_i^(b_i) und pi ist nicht Null modulo
p_i^(b_i).
* Konsequenzen daraus sind:
1. a <= b <==> a^m <= b^m.
2. Die erwarteten Rechenregeln für Summe und Schnitt von Produkten von
Primidealen (wie bei ggT und kgV von Zahlen).
=== Ringe mit eindeutiger Zerlegung in Irreduzible & Co.
* Sei c regulär. Existiere ggT(ac,bc). Dann ggT(a,b) = ggT(ac,bc) / c.
* Sei c regulär. Existiere ggT(ac,bc). Dann gilt Euklids Lemma:
Wenn a | bc und ggT(a,b) = 1, dann a | c.
Beweis: a | ac und a | bc, also a | ggT(ac,bc) = ggT(a,b) c = c.
http://math.stackexchange.com/questions/313345/does-euclid-lemma-hold-for-gcd-domains
* Euklids Lemma gilt ohne ggT-Existenz-Voraussetzung in folgender Form:
Sei b regulär. Wenn a | bc und kgV(a,b) = ab, dann a | c.
Beweis: a | bc und b | bc, also ab = kgV(a,b) | bc, also a | c.
* In ggT-Ringen sind dank Euklids Lemma irreduzible Elemente schon prim:
Zunächst überlegt man sich, dass die einzigen Teiler eines irreduziblen
Elements 1 und das Element selbst sind. Sei dann d | xy. Es ist ggT(d,x)
ein Teiler von d, also gleich d oder gleich 1. Im ersten Fall folgt d | x.
Im zweiten sind die Voraussetzungen von Euklids Lemma erfüllt, womit d | y
folgt.
* Wenn wir einen UFD-Bereich als einen ggT-Bereich, in dem jedes reguläre
Element eine Zerlegung in irreduzible Elemente zulässt, definieren dann haben
wir:
1. UFD-Bereich ==> ggT-Bereich (trivial)
2. Jedes reguläre Element in einem UFD-Bereich besitzt eine eindeutige
Zerlegung in irreduzible Elemente.
3. Und falls wir prüfen können, ob gegebene irreduzible Elemente zueinander
assoziiert sind (etwa in klassischer Logik): Dann ist ein
Integritätsbereich, in dem jedes reguläre Element eine eindeutige
Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt, schon ein UFD-Bereich in
unserem Sinn.
4. Ein Integritätsbereich ist genau dann ein UFD-Bereich, wenn jedes
reguläre Element eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente
besitzt und die Assoziiertheit irreduzibler Elemente entscheidbar ist.
http://mathoverflow.net/questions/151973/constructively-correct-notion-of-unique-factorization-domain
=== Diskrete Bewertungsbereiche
* Jedes Ideal in einem diskreten Bewertungsbereich ist von der Form
m_k = { x in A | nu(x) >= k }
für ein k >= 0 (k = infty erlaubt).
* m_{k+1} <= m_k.
* Wenn m_l <= m_k, dann l >= k. Denn: Wir können m_l = (x^l) und
m_k = (x^k) schreiben. Somit x^l in m_k. Somit nu(x^l) = l >= k.
* Genau dann (a_i)_i = m_k, wenn min_i nu(a_i) = k.
"<==": Habe (a_i)_i = m_l. Da alle a_i in m_k liegen, gilt somit m_l <= m_k.
Also l >= k. Habe außerdem i0 mit nu(a_i0) = k. Trotzdem k >= l. Also k = l.
"==>": Habe nu(a_i) >= k für alle i. Wenn für alle i ">" gelten würde, dann
wäre (a_i)_i <= m_{k+1}. Aber das kann nicht sein.
Direkt so: Sei (a_i)_i = (u). Wir wollen zeigen, dass nu(u) = min_i nu(a_i).
Da u = sum_i f_i a_i, gilt nu(u) >= min_i nu(a_i). Da a_i = t_i u für jedes i,
gilt nu(a_i) >= nu(u) für jedes i und damit insbesondere min_i nu(a_i) >= nu(u).
* Sei nu(a) >= n + 1 und nu(b) = n. Dann nu(a + b) = n.
Dabei ist ">=" klar, wegen der Rechenregel von nu mit dem Minimum.
Wenn ">" gelten würde, dann wäre
nu(b) = nu((a + b) + (-a)) >= min { nu(a+b), nu(a) } >= n + 1.
=== Kommutierende Matrizen
* Kommutierende Matrizen lassen sich im Allgemeinen *nicht* simultan
auf Jordanform bringen!
http://math.stackexchange.com/questions/49378/simultaneous-jordanization
=== Klassifikation von Matrizen über Z
* Sei f(X) in Z[X] irreduzibel vom Grad n.
Dann ist die Menge der (n x n)-Matrizen über Z mit charakteristischem Polynom
gleich f(X) bis auf Ähnlichkeit isomorph zur Idealklassengruppe von Z[theta].
Die Richtung "|-->" geht so: Finde zu so einer Matrix A einen Eigenvektor in
Z[theta]^n zum Eigenwert theta (die Nullstellen von f(X) sind paarweise
verschieden, finde den Eigenvektor zunächst in Q(theta)). Dann haben wir die
Idealklasse [(Ideal, das von den Einträgen des Eigenvektors über Z erzeugt
wird)].
=== Minimale freie Auflösungen
Sei S = k[x_0,...,x_n]. Habe S --> k durch Auswertung bei (0,...,0).
* Eine minimale freie Auflösung eines S-Moduls M ist eine
endliche freie Auflösung, in der die Differentiale tensoriert mit k
Null sind.
* Sei 0 --> F_* --> M --> 0 eine minimale freie Auflösung mit
F_i = oplus_j S(-j)^{beta_ij}. Dann:
beta_ij = dim_k Tor_i^S(k, M)_j (Grad-j-Anteil)
Um das einzusehen, einfach mit der gegebenen Auflösung die rechte Seite
ausrechnen. Der dazu benötigte Komplex hat verschwindende Differentiale.
* Die Formel zeigt auch: F_i = 0 für i >= n + 2!
Denn für k gibt es die Koszul-Auflösung, welche eine entsprechende Länge hat.
* https://tlovering.wordpress.com/2012/10/24/hilberts-syzygy-theorem-isnt-very-hard-to-prove/
sagt: Eine freie Auflösung, in der man in jedem Schritt die Minimalzahl
benötigter Erzeuger nimmt, ist minimal in diesem Sinn.
=== Erweiterung und Kontraktion von Idealen
* Sei A --> B ein Ringhomo und I ein Ideal von A. Dann gilt:
sqrt(sqrt(I) B) = sqrt(I B).
* Sei I ein Ideal von A und J ein Ideal von B. Dann gilt:
I B <= J <===> I <= A cap J.
* Die Idealerweiterung eines Radikalideals ist im Allgemeinen kein
Radikalideal. Betrachte etwa die Erweiterung von (2), dem Ideal von Z,
in Z[sqrt(2)]. In der Erweiterung liegt sqrt(2)^2 = 2, nicht aber sqrt(2)
selbst (in der Erweiterung sind die Koeffizienten im gerade).
Es stimmt schon, falls man zu Lokalisierungen des Basisrings hin erweitert.
In diesem Fall ist sogar sqrt(I B) = sqrt(I) B.
=== Annihilator
* Ann A/I = I.
* Stets gilt (in klassischer Logik natürlich):
supp(M) <= V(Ann M).
Wenn M endlich erzeugt ist, gilt auch ">=".
Zeige dazu für ein Primideal p:
M_p != 0 (<)==> Ann(M) <= p.
"==>": Sei sM = 0. Angenommen, s nicht in p. Dann M_p = 0. Widerspruch.
"<==": Angenommen M_p = 0. Dann existiert zu jedem x aus M ein s nicht in p
mit sx = 0 in M. Da M endlich erzeugt ist, gibt es damit s_1 ... s_n nicht in p
mit s_1 ... s_n M = 0, also s_1 ... s_n in Ann(M) <= p. Widerspruch.
=== Ein Primidealprinzip
* Lam, Reyes. A prime ideal principle in commutative algebra.
https://math.berkeley.edu/~lam/html/JAlg-PIP.pdf
* Insbesondere ist ein Ideal, das maximal mit der Eigenschaft ist, nicht
endlich erzeugt zu sein, prim. Direkter Beweis hier:
http://math.stackexchange.com/questions/146884/an-ideal-that-is-maximal-among-non-finitely-generated-ideals-is-prime
=== Jacobsonsches Radikal
* Das jacobsonsche Radikal j ist der Schnitt über alle maximale Ideale.
Klassisch gilt: j = { x | 1 - xy inv. für alle y }.
* Ein Ring heißt genau dann jacobsonsch, wenn jedes Primideal Schnitt
von maximalen Idealen ist.
* Jede endlich erzeugte Algebra über einem (nicht notwendermaßen algebraisch
abgeschlossenen) Körper ist jacobsonsch. Das sagt Hilberts Nullstellensatz.
Siehe Götz/Wedhorn, Thm. 1.7, Seite 10.
* Ist S eine endlich erzeugte Algebra über einem jacobsonschen Ring R,
so ist auch S jacobsonsch, Urbilder von maximalen Idealen sind wieder
maximal und die zugehörigen Restklassenkörpererweiterungen sind endlich.
http://stacks.math.columbia.edu/tag/00GB
=== Dualer Vektorraum
Sei V ein Vektorraum über einem Körper F und dim(V) = infty.
Dann dim(V^) > dim(V).
Das geht so (siehe http://math.stackexchange.com/a/35863/61604):
Sei d = dim(V), d^ = dim(V^). Dann zeige d^ >= |F|.
Somit |V^| = d' * |F| = max { d', |F| } = d'.
Also d' = |V^| = |F|^|d| > |d|, da |F| >= 2.
* Dabei verwendet: Ist W von Dimension a, so |W| = a * |F|.
Das zeigt man so (wobei B eine Basis von W ist):
|W| = |bigcup_{T <= B endlich} prod_T F|
= sum_{T <= B endlich} |F|^|T|
= sum_{T <= B endlich} |F|
= |B| * |F| = a * |F|.
Wie geht das genau?
=== Lokale Eigenschaften
Für mich bedeutet "lokal": bezüglich einer Zerlegung der Eins.
Eine Alternative ist "halmweise".
* Surjektivität ist eine lokale Eigenschaft.
=== Fitting-Ideale
* Das i-te Fitting-Ideal eines endlich präsentierten Moduls M
mit Präsentationsmatrix A : R^a --> R^b ist das Ideal der (b-i)-Minoren von A.
Es ist unabhängig von der Wahl der Präsentationsmatrix. Das sieht man so:
(Nach Serre, Algebra)
1. Zunächst ist klar, dass Basiswechsel hinten und vorne nichts ausmachen.
(Denn ist R invertierbar, so ist auch Lambda^d(R) invertierbar; und ist S
invertierbar, so ist das Ideal der Einträge von S, (S), das Einsideal.
Denn wir haben (1) = (S . S^(-1)) <= (S) * (S^(-1)) <= (S).)
2. Seien x_1,...,x_n Erzeuger mit Präsentationsmatrix A.
Ist dann A' irgendeine Matrix von gültigen Relationen zwischen den x_i,
so gibt es eine Matrix T mit AT = A'. Das impliziert:
(Lambda^(n-i) A') <= (Lambda^(n-i) A).
Somit spielt zumindest die Wahl der Präsentation bei gegebener
Erzeugerwahl keine Rolle (dazu dieses Argument zweimal verwenden).
3. Seien x_1,...,x_n Erzeuger mit Präsentationsmatrix A und seien y_1,...,y_m
irgendwelche weiteren Elemente. Dann gibt es irgendwelche Relationen
[ A 0 ; B I ] zwischen den x_i,y_j (hier entsprechen die Zeilen
Relationen, eigentlich sollte ich transponieren). Also ist
Fitt_i(M; x_1,...,x_n,y_1,...,y_m) >=
(Lambda^(n+m-i) [ A 0 ; B I ]) =
(Lambda^(n+m-i) [ A 0 ; 0 I ]) =
(Lambda^(n-i) A) =
Fitt_i(M; x_1,...,x_n).
4. Seien x_1,...,x_n Erzeuger mit Präsentationsmatrix A und seien y_1,...,y_m
(andere) Erzeuger mit insgesamter Präsentationsmatrix C. Dann:
Fitt_i(M; x_1,...,x_n,y_1,...,y_m) =
(Lambda^(n+m-i) C) <=
(Lambda^(n+m-i) [ C; B I ]) =
(Lambda^(n+m-i) [ C' 0; B I ]) =
(Lambda^(n-i) C') <= (C' sind Relationen der x_i)
Fitt_i(M; x_1,...,x_m).
Zusammen mit 3. ergibt das:
Fitt_i(M; x_1,...,x_m) = Fitt_i(M; x_1,...,x_n,y_1,...,y_m).
Das genügt.
In 3. und 4. verwendet:
(Lambda^(a+b) [ A 0 ; B I ]) = (Lambda^a A),
wenn I eine (b x b)-Einheitsmatrix ist.
* Fitt_i(M) <= Fitt_(i+1)(M).
Außerdem Fitt_b(M) = (Lambda^(b-b) A) = (Lambda^0 A) = (1).
Und, wenn man so möchte, Fitt_{-1}(M) = (Lambda^(b+1) A) = () = (0).
* Fitt_i(M tensor R') = die Idealerweiterung von Fitt_i(M) in R'.
* Wenn M durch n Erzeuger gegeben werden kann, so ist Fitt_n(M) = (1).
Klar, denn eine mögliche Präsentationsmatrix hat dann ja nur n Zeilen
und (Lambda^0) = (1).
Wenn der Grundring lokal ist, gilt auch die Umkehrung! Denn dann finde ich in
einer Präsentationsmatrix von M mit m Zeilen einen invertierbaren
(m-n)-Minor. Den kann man nach oben links bringen, sodass M also durch eine
Präsentation der Form [ I 0 ; 0 ? ] gegeben ist. Die Restmatrix hat dabei
nur noch n Zeilen.
* Wenn M frei vom Rang n ist, so ist Fitt_{>= n}(M) = (1) und Fitt_{< n}(M) = (0).
Klar, denn dann ist eine mögliche Präsentationsmatrix die eindeutig bestimmte
(n x 0)-Matrix.
Wenn der Grundring lokal ist, gilt auch hier die Umkehrung! Denn dann gilt
(?) = (Lambda^1(?)) = (Lambda^(1+m-n) [ I 0 ; 0 ? ])
= Fitt_{n-1}(M) = (0), also ? = 0.
Folglich rk(M) <= n genau dann, wenn Fitt_n(M) = (1).
Dabei ist rk(M) die Minimalzahl benötigter Erzeuger (in einer
Vervollständigung der natürlichen Zahlen).
* Es gilt auch (jetzt auf einem Schema oder lokal geringten Raum): Die Menge
V(Fitt_(b-1)) enthält genau die Punkte, wo M frei vom Rang b ist.
* Fitt_0(M) <= Ann(M): Sei N ein quadratischer Ausschnitt aus der
Präsentationsmatrix (alle Zeilen, aber vielleicht nicht alle Spalten
umfassend) und det(N) der zugehörige Minor. Dann ist das Bild von
det(N) * Id = N * ad(N)
in M Null.
* Ann(M) <= sqrt(Fitt_0(M)), also sqrt(Ann(M)) = sqrt(Fitt_0(M)).
Denn sei a aus Ann(M) mit M = cok(A), wobei A n Zeilen habe.
Dann gibt es eine Matrix U mit a I = A U. Auf der Ebene der n-Minoren erhält
man daher (a^n) <= (Lambda^n A) = Fitt_0(A).
* Fitt_{k-1}(M) <= Ann(Lambda^k M) und Gleichheit nach Radikalbildung.
https://www.msri.org/~de/papers/pdfs/1977-003.pdf
* Sei E ein O_X-Modul lokal von endlicher Präsentation.
Dann gilt: rk_x(E) = rk E_x <= n für alle x aus D(Fitt_n(E)).
Beser: rk_x(E) = rk E_x <= n genau dann, wenn x aus D(Fitt_n(E)).
Stimmt das?
Denn intern gilt: Fitt_n(E) = (1) ==> rk E <= n.
* V(Fitt_i(M)) ist der Ort derjenigen Punkte x, wo M_x nicht durch i
Elemente erzeugt werden kann.
* Wenn Fitt_{r-1}(M) = 0, dann ist V(Fitt_r(M)) der Ort, wo M_x nicht
frei vom Rang r ist.
* Sei der Grundring nicht unbedingt lokal. Dann gilt für einen endlich
präsentierten Modul trotzdem: M = 0 <==> Fitt_0(M) = (1).
Ganz einfach wegen Fitt_0(M) <= Ann(M).
* In https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/bertin_rev.pdf
scheint behauptet zu werden (Lemma 1.21 und 1.22): Ist Fitt_n(M) = (1), so ist
Fitt_(n-1)(M/M[Fitt_n(M)]) = (0). Dabei ist M[Fitt_n(M)] die Menge derjenigen
x aus M, sodass Fitt_n(M) x = 0.
Diese Behauptung ist aber falsch. Sei M so, dass Fitt_(n-1)(M) = 0. Das ist
ja durchaus möglich. Dann ist M[Fitt_n(M)] = M und damit der Quotient Null.
Desser Fitting-Ideale sind (für n >= 0) alle (1).
Vielleicht habe ich die Behauptung auch missverstanden.
* Sei A^m --> A^n --> M --> 0 exakt. Dann ist M genau dann frei vom Rang n,
wenn im(A^m --> A^n) = 0. Die Rückrichtung ist klar. Die Hinrichtung folgt,
weil dann A^n --> M durch eine quadratische surjektive Matrix darstellbar
ist. Solche sind schon bijektiv (denke an die Determinante).
Sei n minimal mit der Eigenschaft, dass es eine kurze exakte Sequenz
A^m --> A^n --> M --> 0 gibt. Dann ist M genau dann endlich frei, wenn
im(A^m --> A^n) = 0.
* Northcott definiert in seinem Buch zu endlichen freien Auflösungen
Fitting-Ideale auch für Moduln, die nur endlich erzeugt sind. Diese sind dann
möglicherweise nicht endlich erzeugt.
Werbung für Fitting-Ideale macht unter anderem:
http://swc.math.arizona.edu/aws/2006/06StillmanNotes.pdf
=== Homogene Polynome
* Homogene Polynome in zwei Variablen sind "genauso gut" wie Polynome
in einer Variablen. Insbesondere zerfallen sie in Linearfaktoren,
falls der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist.
* Seien f_1, ..., f_l homogene Polynome (vom selben Grad?).
Genau dann gilt 1 in (f_1(1,X_2,...,X_n), ...), wenn X_1 in sqrt((f_1,...))
liegt.
=== Resultante
* Über Ringen mit 1 != 0 und != 0 ==> inv und a|b v b|a gilt:
Ist eine quadratische Matrix injektiv, so ist ihre Determinante invertierbar.
Denn man kann die Matrix auf Smithsche Normalform bringen.
* Falls zusätzlich der Ring reduziert ist, folgt: Die Matrix [a b; c d]
ist injektiv, falls X^n in (aX+bY,cX+dY) und Y^m in (aX+bY,cX+dY).
* Die Sache mit der Resultante geht in etwa so.
Seien f und g homogene Polynome in X und Y von Graden n bzw. m.
Gelte X^n in (f,g) und Y^m in (f,g).
Sei f(X) p(X) + g(X) q(X) = 0, wobei deg(p) <= m-1 und deg(q) <= n-1.
Wir wollen zeigen, dass alle Koeffizienten von p und q nilpotent sind. Das
ist eine negneg-stabile Behauptung. Wir dürfen also voraussetzen, dass g in
Linearfaktoren zerfällt. Jede der Nullstellen ist auch Nullstelle von f(X) p(X).
Wir dürfen voraussetzen, dass f(x_i) = 0 oder p(x_i) = 0. Im ersten Fall
haben wir einen Widerspruch.
=== Polynomringe
* Der Polynomring A[X] ist der Ring der natürlichen Trafos U ==> U,
wobei U : Alg(A) --> Set der Vergissfunktor ist. Dabei wird ein Polynom f
auf die Trafo (x in R |-> f(x))_R und eine Trafo eta auf eta_{A[X]}(X) geschickt.
* Sei A ein Ring. Sei A[X] ein bézoutscher Ring (endlich erzeugte Ideale
sind Hauptideale). Dann hat A folgende Eigenschaft: Aus regulär folgt
invertierbar.
Denn sei a in A regulär. Da (a,X) ein Hauptideal ist, gibt es Polynome d, f,
g, h, p mit
d = f a + g X,
X = h d,
a = p d.
Setzt man für X 0, so erhält man
d(0) = f(0) a,
0 = h(0) d(0),
a = p(0) d(0).
Da a regulär ist, ist auch d(0) regulär. Somit ist h(0) = 0.
Also ist h = X h' für ein h', und aus der Gleichung X = h d folgt
1 = h' d. Setzt man wieder 0 für X ein, so erhält man 1 = h'(0) d(0).
Also ist d(0) invertierbar. Damit ist auch a invertierbar.
* Allgemein gilt wohl: Genau dann ist A[X] ein Hauptidealring, wenn
A ein Produkt von Körpern ist.
http://math.stackexchange.com/questions/91587/ring-of-polynomials-is-a-principal-ideal-ring-implies-coefficient-ring-is-a-fiel
http://math.stackexchange.com/questions/361258/in-a-principal-ideal-ring-is-every-nonzero-prime-ideal-maximal
Die Hinrichtung geht so. Wir zeigen, dass A --> prod_m A/m ein Iso ist.
Zur Injektivität sei ein a aus A gegeben, welches in allen maximalen Idealen
liegt. Sei also 1-ab für alle b aus A invertierbar. Wir zeigen, dass a = 0.
Das können wir halmweise testen. Wir dürfen also annehmen, dass A lokal ist.
...???
Zumindest ist klar: Sei A ein lokaler Ring, sodass A[X] bézoutsch ist.
Dann ist A ein Körper in dem Sinn, als dass nicht-invertierbare Elemente
schon Null sind. Denn:
Sei a in A nicht invertierbar. Da (a,X) ein Hauptideal ist, gibt es Polynome
d, f, g, h, p mit
d = f a + g X,
X = h d,
a = p d.
Aus 1 = h_0 d_1 + h_1 d_0 folgt, da A lokal ist, dass h_0 d_1 oder h_1 d_0
invertierbar ist. Im letzten Fall folgt, dass a invertierbar ist; das kann
nicht sein. Im ersten Fall folgt, dass d_0 = 0 und somit a = 0.
* Ferner gilt: Genau dann ist A[X] ein bézoutscher *Bereich*, wenn A ein
Körper ist.
Die Rückrichtung ist klar (Polynomdivision).
Bei der Hinrichtung folgt zunächst, dass A ebenfalls ein Integritätsbereich
ist. Außerdem sind reguläre Elemente invertierbar. Somit ist A ein Körper.
* A[X] ist genau dann ein strikter Bézoutscher Bereich, wenn A regulär ist.
https://arxiv.org/pdf/1404.4549.pdf, Seite 3.
* Über dem Ring Z[A_0,...]/(A_0^2,...) hat die Potenzreihe f = sum_i A_i X^i
zwar nilpotente Koeffizienten, sie ist aber selbst nicht nilpotent. Denn
der Koeffizient von X^(n*(n+1)/2) in f^(n+1) ist
(n+1)! * A_0 ... A_n,
also nicht Null. (Von Matthias Schlüter.)
* A[[X]]/(X) ist isomorph zu A, vermöge f |-> f(0).
Aber A[[X]]/(X-a) ist nicht unbedingt isomorph zu A. Tatsächlich ist
A[[X]]/(X-a) der Nullring, wenn a invertierbar ist.
* Der Wurzelinhalt eines Polynoms f = sum_i a_i X^i ist c(f) := sqrt((a_i)_i).
Man kann auch für Teilmengen M von A[X] definieren: c(M) := sqrt(sum_{f in M} c(f)).
Dann kann man zeigen:
* c(fg) = c(f) cap c(g).
* c(f + g) <= sqrt(c(f) + c(g)).
* c(M) = c((M)) (erzeugtes Ideal).
* c(sqrt(I)) = c(I).
* c(I * J) = c(I cap J) = c(I) cap c(J) = c(I) * c(J).
So wird also ein Rahmenhomo Rad(A[X]) --> Rad(A) bzw. eine stetige Abbildung
Spec(A) --> Spec(A[X]) definiert. Auf Punkten schickt diese ein Primideal p
auf p[X].
Steht auch in Banaschewski, Polynomials and radical ideals,
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404995001492 (Prop. 2).
* Die nichttriviale Inklusion c(fg) >= c(f) cap c(g) kann man explizit
und konstruktiv durch Induktion so zeigen. Die rechte Seite ist
sqrt((a_i b_j)_ij), die linke sqrt((sum a_i b_j)_n).
Der Erzeuger a_0 b_0 der rechten Seite liegt auch in der linken.
Nun betrachten wir a_i b_j. Dann gilt:
(a_i b_j)^2 = a_i b_j (sum_{k+l=n} a_k b_l) -
sum_{k+l=n, k<i oder l<j} a_i b_j a_k b_l.
Wenn k < i ist, dann liegt a_k b_j nach Induktionsvoraussetzung in der linken
Seite. Analog liegt a_i b_l in der linken Seite, falls l < j ist. Also
liegen alle Summanden in der linken Seite.
* Die Sache mit dem Wurzelinhalt zeigt, dass in lokalen Ringen gilt:
Genau dann gibt es ein n, sodass sum_{i+j=n} a_i b_j invertierbar ist,
wenn es ein i gibt, sodass a_i, und wenn es ein j gibt, sodass b_j
invertierbar ist.
Die Hinrichtung ist trivial, aber die Rückrichtung nicht.
Die Aussage stimmt auch in N-graduierten Ringen, welche nur graduiert-lokal
sind (ist eine Summe homogener Elemente gleichen Grads invertierbar, so schon
ein Summand), wenn die a_i und b_j jeweils homogen von dem Grad sind, wie ihr
Index angibt. Das zeigt obige explizite Rechnung, die keinen Unsinn mit den
Graden treibt. Vielleicht folgt das auch schon abstrakt direkt aus der
Aussage statt dem Beweis.
* http://math.stackexchange.com/a/53229/61604:
I cap J = (t I + (1-t) J) cap k[x_1,...,x_n]
für Ideale I und J von k[x_1,...,x_n]. (Der Schnitt findet in
k[x_1,...,x_n,t] statt.)
Allgemeiner gilt das für Ideale I und J eines Rings A, wobei der Schnitt dann
in A[t] stattfindet.
* Gröbner-Basen:
* http://people.math.gatech.edu/~aleykin3/math4803spr13/BOOK/chapter3.pdf
* Hervé Perdry. Strongly Noetherian rings and constructive ideal theory.
* http://people.csail.mit.edu/madhu/ST12/scribe/lect15.pdf
* Im Allgemeinen gilt bekanntlich nicht I cap (J + K) = (I cap J) + (I cap K).
Ein Beispiel lautet:
I = (x), J = (x+y), K = (y) in Q[X,Y].
Dann ist die linke Seite gleich (x) und die rechte gleich (x) * (x,y).
* Hinreichend für a cap (b + c) = (a cap b) + (a cap c) ist b <= a oder c <= a.
(Das heißt auch "modular law".)
* Sei phi : A --> B ein surjektiver Ringhomo. Sei p ein Primideal von A.
Wenn ker(phi) <= p, dann ist phi[p] ein Primideal von B.
* Man könnte denken, dass zum Beispiel in K[X,Y] gilt:
(f_i)_i cap (g_j)_j = (kgV(f_i,g_j))_ij.
Aber das ist falsch, wie das Beispiel
(x+y) = (x,y) cap (x+y) != (x,y) * (x+y) = (kgV(x,x+y), kgV(y,x+y))
demonstriert.
* Eisenstein funktioniert über beliebigen Integritätsbereichen.
Aber man muss aufpassen, was dann Primelemente sind.
https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion
=== Graduierte Ringe
* Ein N-graduierter Ring, welche eine homogene Einheit u vom Grad 1 enthält,
ist nicht viel spannender als sein Grad-0-Anteil. Denn es gilt:
* S_n = u^n S_0.
* xy = u^{i+j} (u^{-i} x) (u^{-1} y), wenn x in S_i und y in S_j liegt.
Die hintere Multiplikation findet dabei in S_0 statt.
* 0 --> (u-1) --> S --> S_0 --> 0 ist eine exakte Sequenz.
x |-> u^{-i} x, falls x homogen vom Grad i
* Es ist S_p, also die Lokalisierung eines N-graduierten Rings S an
den homogenen Elementen aus S \ p (wobei p ein homogenes Primideal ist, in
dem ein Element aus S_1 nicht enthalten ist), ein solcher Ring. Deswegen ist
es okay, nur S_(p) zu betrachten, den Grad-0-Anteil.
* Seien M und N graduierte S-Moduln. Sei F ein multiplikatives System von S
bestehend nur aus homogenen Elementen. Dann gibt es eine kanonische lineare
Abbildung
M[F^(-1)]_0 tensor_{S[F^(-1)]_0} N[F^(-1)]_0 --> (M tensor_S N)[F^(-1)]_0
x/s tensor y/t |--> (xy)/(st).
Diese ist im Allgemeinen jedoch kein Iso.
Aber schon, wenn F ein Element u vom Grad 1 enthält: Dann ist ein Urbild für
(x tensor y) / s nämlich ((u^m x) / s) tensor (y / u^m), wenn y Grad m hat.
Eine andere Wahl von u führt übrigens zum gleichen Tensor.
* Was bitte ist die universelle Eigenschaft des Grad-0-Teils der Lokalisierung?
Es muss doch besser gehen als wie von mir spekuliert: http://mathoverflow.net/questions/142234/is-there-a-universal-property-for-graded-localization/249110#249110
* Sei f : R --> S ein Morphismus graduierter Ringe. Dann ist f genau dann
surjektiv, wenn alle f_n surjektiv sind.
=== Homogene Ideale
* Ein Ideal I in einem graduierten Ring S ist genau dann homogen, wenn für
alle Elemente a = sum_i a_i (Zerlegung in homogene Komponenten) von S gilt:
Liegt a in I, so liegen schon alle a_i in I.
Das ist genau dann der Fall, wenn es ein Erzeugendensystem für I gibt,
welches nur aus homogenen Elementen besteht.
* Der Idealquotient (a : b) ist homogen, falls a und b es sind.
* Das Wurzelideal eines homogenen Ideals ist homogen, falls wir etwa über einen
N-graduierten Ring sprechen. Der Beweis geht über Induktion über den höchsten
vorkommenden Grad:
Sei f = sum_{i=0}^n f_i in sqrt(a), also f^m in a für ein m >= 0. Wir
wollen zeigen, dass alle f_i in sqrt(a) liegen. Der größte (potenziell)
vorkommende Grad in f^m ist nm mit Koeffizient f_n^m. Da a homogen ist,
liegt also f_n^m in a. Somit liegt f_n in sqrt(a). Nun machen wir weiter
mit f - f_n.
* Es gibt zwei Möglichkeiten, aus einem beliebigen Ideal ein homogenes zu
machen.
I^h := { f | forall i. exists g in I. f_i = g_i }
= (g_i | g in I, i >= 0) >= I
I^k := { f | f_i in I für alle i } <= I
= oplus_{d >= 0} (I cap S_d)
Es gilt: (__)^h -| Homogenität vergessen -| (__)^k.
Die erste Adjunktion sagt aus: Um I^h <= J zu zeigen, wobei J homogen ist,
genügt es, I <= J nachzuweisen. Die zweite sagt aus: Um J <= I^k zu zeigen,
wobei J homogen ist, genügt es, J <= I nachzuweisen.
I^h ist der Schnitt über alle homogenen Ideale, welche I umfassen.
I^k ist die Summe über alle homogenen Ideale, welche in I enthalten sind.
* Ich sehe nicht, dass (__)^h und (__)^k Radikalität erhalten.
* Es gilt: a^h cap b^h = sqrt((a * b)^h). Dabei ist ">=" trivial (nur
Monotonie).
Für die nichttriviale Richtung benötigt man folgendes Lemma:
Ist f in a und g in b, so liegt f_i g_j in sqrt((a * b)^h).
Das zeigt man durch Induktion über n := i + j, genau wie beim Radikalinhalt.
=== Projektoren (Idempotente)
* Sei phi : V --> V ein Projektor (ein idempotenter Morphismus) in einer
abelschen Kategorie. Dann ist V = ker phi oplus im phi.
Also cok phi = ker phi.
Außerdem besitzt der Monomorphismus im(phi) --> V einen Koschnitt,
nämlich V --phi--> im(phi).
Das impliziert zum Beispiel, dass für einen Basiswechsel R --> S und eine
idempotente Matrix P über R gilt: im(P) tensor_R S = im(P tensor_R S).
* Nicht alle endlich präsentierbaren abelschen Gruppen können als Kokern
eines Projektors geschrieben werden. Denn Kerne von Z-Matrizen (also Kokerne
von Projektoren) sind ja stets frei.
* In Ab_fp kann jedes Objekt als Kokern einer injektiven Matrix zwischen
freien Moduln dargestellt werden. Aber nicht als Kern einer surjektiven.
Wenn man freie Moduln kategoriell und selbstdual charakterisieren kann, zeigt
das, dass Ab_fp^op nicht zu Ab_fp äquivalent ist: In Ap_fp kann nicht jedes
Objekt als Kern einer surjektiven Abbildung zwischen freien Moduln
geschrieben werden, in Ab_fp^op dagegen schon.
* Auf jeden Fall gibt es folgendes Unterscheidungsmerkmal: In Ab_fp gibt
es ein Objekt X, sodass Hom(X, __) : Ab --> Set treu ist. (Nämlich X = ZZ.)
In Ab_fp^op gibt es das aber nicht.
* Sei e ein idempotentes Element in einem Ring. Dann gilt Ann(e) = (1-e).
Dabei ist ">=" klar. Die andere Richtung gilt sogar ganz ohne
Voraussetzungen: Wenn xe = 0, dann x = x (e + (1-e)) = x (1-e).
=== Vektorräume ohne kanonische Basis
* Kerne von linearen Abbildungen
* Kern von exp : O_X --> O_X^*.
=== Cayley--Hamilton
* Beweis über Zariski-Dichtheit:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1200
=== Ideale
* a cap b = a * b, falls a + b = (1).
* a cap b = sqrt(a * b), falls a und b Radikalideale sind.
">=" ist klar. "<=" auch.
* (a + b)^n = sum_{i+j=n} a^i b^j.
* Stets gilt sqrt(0 : a) <= sqrt(0) : a. Die andere Richtung gilt im
Allgemeinen nicht.
* Die Menge der Nullteiler eines Rings ist stets die Vereinigung all
derjenigen Primideale, die nur aus Nullteilern bestehen. (B2, A5)
* Minimale Primideale bestehen stets nur aus Nullteilern.
Denn: Sei p ein minimales Primideal. Dann besitzt A_p nur ein einziges
Primideal. Ist also x in p, so ist x in A_p nicht invertierbar und somit
nilpotent. Also gibt es ein u nicht aus p und ein n >= 1 mit x^n u = 0.
Wählt man n minimal, so sieht man, dass x ein Nullteiler ist.
In reduzierten Ringen gilt auch die Umkehrung, das heißt: Jeder Nullteiler
liegt in einem minimalen Primideal.
Denn: Sei x ein Nullteiler. Gelte also x u = 0 mit u != 0.
Dann ist u nicht nilpotent. Also gibt es ein minimales Primideal p
mit u nicht in p. Somit x in p.
Die Umkehrung gilt aber auch in manchen nicht-reduzierten Ringen.
Zum Beispiel in k[eps]/(eps^2): Da sind die Nullteiler gerade alle Vielfachen
von eps. Es gibt nur ein Primideal, nämlich (eps). Also gilt Gleichheit.
Allgemein gilt: Die Vereinigung aller minimalen Primideale ist die Menge
derjenigen Elemente x, sodass ein nicht-nilpotentes u derart existiert, dass
xu nilpotent ist.
* Jeder reduzierte Ring bettet in ein Produkt von Körpern ein:
A ----> prod_{minimale Primideale p} Quot(A/p).
Hier geht ein, dass der Schnitt über alle minimalen Primideale gleich dem
Nilradikal und daher gleich dem Nullideal ist.
Übrigens ist Quot(A/p) = A_p = A_p / pA_p = k(p).
(Das gilt allgemein für minimale Primideale von reduzierten Ringen.)
Siehe auch Tag 02LV im Stacks Project.
* Ist m ein maximales Ideal, so gilt: Quot(A/m) = A/m = A_m / mA_m = k(m).
* In einem reduzierten Hauptidealring gilt: Jedes Primideal, das nicht
minimal ist, ist maximal.
Denn: Sei p = (x) ein nicht-minimales Primideal. Dann enthält p ein reguläres
Element. Denn angenommen p würde nur Nullteiler enthalten. Dann ist p
die Vereinigung aller minimalen Primideale. Das Element x liegt also in einem
bestimmten minimalen Primideal q. Also p <= q. Da q minimal ist, ist p = q.
Das ist ein Widerspruch zur Nicht-Minimalität von p.
Somit enthält p ein reguläres Element tx. Damit ist auch x selbst regulär.
Sei nun ein Ideal a = (y) mit p <= a gegeben. Dann x = sy für ein Element s.
Also s in p oder y in p. Im zweiten Fall folgt a <= p, also fertig.
im ersten Fall gibt es u mit s = ux. Also x = sy = uxy. Da x regulär ist,
folgt 1 = uy. Damit ist a das Einsideal.
* In einem beliebigen Hauptidealring, der nicht unbedingt reduziert ist,
gilt ebenfalls: Jedes Primideal, das nicht minimal ist, ist maximal.
* Hom_R(R/I, R/I) = R/I als R- und als R/I-Moduln.
* Eine allgemeine Version des chinesischen Restsatzes: Seien I und J
Ideale. Dann haben wir eine kurze exakte Sequenz
0 --> A/(I cap J) --> A/I oplus A/J --> A/(I + J) --> 0.
f |-> (f,f) (f,g) |-> f-g
Injektivität vorne ist klar. Surjektivität hinten auch. Exaktheit in der
Mitte so: Seien (f,g) mit f - g in I + J, d.h. f - g = u + v mit u in I und v in J.
Dann ist g + v = g + u + v = g + (f - g) = f mod I und g + v = g mod J.
* Beispiel, wo "naive Isomorphie-Regeln" das falsche Ergebnis liefern:
"Z[sqrt(5)]/(sqrt(5)-1) = Z[1] = Z" ist Quatsch. Richtig:
Z[sqrt(5)]/(sqrt(5)-1) = Z[X]/(X^2-5, X-1) = Z[X]/(1-5, X-1) =
(Z/(4))[X]/(X-1) = Z/(4).
* Sei a + b endlich erzeugt. Dann gibt es endlich erzeugte Ideale a_0 <= a
und b_0 <= b mit a + b = a_0 + b_0.
Denn: Die Erzeuger von a + b können wir in der Form u_i + v_i mit u_i
in a und v_i in b schreiben. Dann setzen wir a_0 := (u_i)_i <= a und
b_0 := (v_i)_i <= b.
Im Fall, dass b selbst schon endlich erzeugt ist, können wir b_0 := b
wählen. Denn a_0 + b_0 = a_0 + b.
* Sei a + (x) = a_0 + (x). Dann gilt
a = a_0 + (x) * (a : x_0).
* Sei sqrt(a) endlich erzeugt. Dann sqrt(a)^n <= a für ein n.
=== Dreiecksmatrizen
* Eine quadratische Matrix A lässt sich genau dann auf obere Dreiecksform
bringen, wenn es eine A-invariante Flagge von k^n gibt.
* Hinreichend und notwendig dafür ist, dass das charakteristische Polynom
von A über k in Linearfaktoren zerfällt. Die Notwendigkeit ist klar. Für die
andere Richtung startet man mit einem Eigenvektor v, lässt A auf den
Quotienten k^n/span(v) absteigen und macht weiter.
=== Smithsche Normalform
* Die SNF existiert über (konstruktiv) über allen Ringen, in denen endlich
erzeugte Ideale Hauptideale sind und für Hauptideale die aufsteigende
Kettenbedingung erfüllt ist. Und die außerdem (schwache/starke?)
Integritätsbereiche sind.
* Die SNF existiert aber auch über Ringen, in denen von je zwei Elementen eines
das andere teilt. Solche müssen nicht noethersch sein.
* Über gerichteten Vereinigungen von Ringen, über denen jeweils die SNF
existiert, existiert die SNF ebenfalls. Solche Vereinigungen können auch
nicht noethersch sein, siehe etwa
http://mathoverflow.net/questions/31275/does-smith-normal-form-imply-pid.
* Ringe, über denen die SNF stets existiert, heißen elementary divisor rings.
Eine vollständige Charakterisierung gibt Theorem 6 in
https://www.math.hmc.edu/~henriksen/publications/1956_Gillman_Henriksen_Some_remarks_about_elementary_divisor_rings.pdf.
* Es gibt schicke nichtkonstruktive Beweise der Klassifikation endlich
präsentierter abelscher Gruppen.
http://mathoverflow.net/questions/12009/is-there-a-slick-proof-of-the-classification-of-finitely-generated-abelian-group
* Sei A eine (n x n)-Matrix über einem Körper. In erster Näherung legt das
Spektrum von A -- die Menge der Eigenwerte -- A bis auf Konjugation fest.
Aber das stimmt natürlich nicht wirklich, da man die Information über die
Feinstruktur der Jordan-/Weierstraßform verliert.
Allerdings können wir A bis auf Konjugation aus dem k[x]-Modul k^n_phi
zurückgewinnen. Dieser hat Träger genau auf ... dem Spektrum! Er ist also
eine Art verfeinertes Spektrum. Richtig interpretiert, stimmt das sogar dann,
falls das charakteristische Polynom von A über k nicht in Linearfaktoren
zerfällt. (Es gilt: supp k^n_phi = { (f) | f irreduzibler Faktor im
charakteristischen Polynom oder Minimalpolynom von f }.)
Definiere den schematheoretischen Träger eines Moduls M als V(Ann M),
wobei Ann M = { s : A | sM = 0 }. Dann ist der schematheoretische Träger von
k^n_phi gleich V(mu_phi), wobei mu_phi das Minimalpolynom ist. Das folgt
sofort mit der Smithschen Normalform, denn
k^n_phi = oplus_i k[X]/(f_i) mit f_1 | f_2 | ...,
also
Ann(k^n_phi) = bigcap_i Ann(k[X]/(f_i)) = bigcap_i (f_i) = (f_r) = (mu_phi),
somit V(Ann(k^n_phi)) = V(mu_phi) schematheoretisch.
* Die charakteristischen Polynome von AB und BA stimmen miteinander überein,
wenn A und B quadratische Matrizen gleicher Größe sind. Im Fall, dass eine
der beiden Matrizen invertierbar ist, ist das klar (Ähnlichkeit), und der
allgemeine Fall folgt mit abstraktem Nonsens (Polynomidentität und so -- gehe
von Z[a_11,...,a_nn,b_11,...,b_nn] zu Q(a_11,...,b_nn) über).
https://mymathadventure.wordpress.com/2009/05/17/characteristic-polynomials-commute/
* Die Isomorphietypen von V_AB und V_BA in Coh(k[X])/X-Torsion = Coh(k[X,X^(-1)])
stimmen miteinander überein (vermöge Iso [v] |-> [Av] und [w] |-> [1/X Bw]).
Dabei ist unerheblich, ob A und B quadratisch und von der gleichen Größe
sind. Sie müssen nur in beide Richtungen komponierbar sein.
Als Korollar sieht man: Die Weierstraßnormalform (ohne Blöcke zu k[X]/(X^n))
stimmen überein.
* Wie man Homologie von Komplexen berechnen kann:
https://jeremykun.com/2013/04/10/computing-homology/
=== Eigenwerte und Eigenvektoren
* Sei A eine quadratische Matrix. Zerfalle ihr charakteristisches
Polynom f(X) in Linearfaktoren (X - x_i). Gelte zudem für alle i, j:
x_i = x_j oder x_i - x_j ist invertierbar.
Dann sollte es möglich sein, eine Bézoutdarstellung
a(X) (X - lambda)^m + b(X) (X - ...) ... (X - ...) = 1
zu finden. Dann kann man nachrechnen, dass
P := (zweiter Summand)(A)
Q := (erster Summand)(A)
komplementäre Projektoren sind, denn P + Q = I und P Q = 0.
Außerdem folgt:
im(P) <= ker((A - lambda)^m) <= ker(Q) = im(P),
also im(P) = ker((A - lambda)^m).
Ist nun der Grundring lokal, so ist im(P) endlich frei.
Der Rang kann nicht null sein, sonst wäre (A - lambda)^m injektiv, somit wäre
auch (A - lambda) injektiv, somit wäre det(A - lambda) regulär.
Aber det(A - lambda) = \pm f(lambda) = 0. Da 1 != 0, ist das ein Widerspruch.
http://math.mit.edu/~dav/generalized.pdf
=== Noethersche Ringe
* Polynomringe und Quotienten noetherscher Ringe sind noethersch.
(klassisch, konstruktiv gut formulieren)
* Also sind alle endlich erzeugten Ringe (Ringe der Form Z[x_1,...,x_n],
wobei die x_i Ringelemente (und nicht formale Variablen) sind) noethersch.
* Jeder Ring ist gerichteter Kolimes seiner endlich erzeugten Unterringe.
Also ist jeder Ring gerichteter Kolimes noetherscher Ringe.
* Was sind die kompakten Objekte in der Kategorie der Ringe?
=== Grad des Nullpolynoms
Der Grad des Nullpolynoms sollte -infty (und nicht +infty) sein. Denn sonst stimmt die Regel
deg(f + g) <= max { deg(f), deg(g) }
nicht: Bedenke 0 = f + (-f). Mit dieser Konvention (aber auch mit +infty)
stimmt auch die Regel
deg(f * g) <= deg(f) + deg(g).
Außerdem gilt mit dieser Konvention folgende Regel für alle n aus Z:
Ist deg(f) <= n, so lässt sich f in der Form f = sum_{i=0}^n a_i X^i schreiben.
=== Endlichkeitseigenschaften von Moduln
* Sei pi : A^n --> M eine zerfallende surjektive lineare Abbildung.
Dann ist M ein direkter Summand von pi, ein Iso ist gegeben durch
A^n ~~ M + ker pi
x |-> (pi(x), x - s pi(x))
s(a)+b <-| (a,b),
und somit ist ker pi endlich erzeugt. Die Abbildung A^n --> ker pi, x |-> x -