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* Vermutung: Unterschemata, die von globalen Schnitten von Vektorbündeln
ausgeschnitten werden, erlauben stets eine Koszul-Auflösung.
* Gewissermaßen ist lokal jedes Unterschemata von dieser Form.
Siehe GenHKR.pdf, Lemma 1.14, Seite 11. Was ist damit gemeint, und unter
welchen Voraussetzungen gilt das?
* GenHKR gibt auch noch ein einfaches Lemma für Regularität.
* Wann sind Schnitte durch ihren "zero locus" bestimmt?
http://mathoverflow.net/questions/66774/when-is-a-section-of-vector-bundle-determined-by-its-zero-locus
* http://mathsmensa.wordpress.com/2011/07/13/computing-the-derived-category-i/
* http://solbap.wordpress.com/2010/06/20/famous-fourier-mukai-results-ii-orlovs-result-and-the-beilinson-resolution/
* Motto: reguläre Sequenz ==> richtige Kodimension.
Inwieweit stimmt das Motto?
Die Umkehrung scheint zu stimmen, siehe Ende von
http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-1.pdf.
* http://www.cmi.univ-mrs.fr/masters/master2mf/lib/exe/fetch.php?media=local_cohomology_hypertext.pdf
=== Koszul-Auflösung I
Sei s : O_X regulär. Dann ist nach der allgemeinen Theorie der Koszul-Komplex,
verlängert um O_X/(s), exakt. Also ist folgende Sequenz exakt:
0 --> O_X --> O_X --> O_X/(s) --> 0.
Der erste Morphismus ist dabei durch Multiplikation mit s gegeben. Diese
Sequenz ist isomorph zu
0 --> s O_X --> O_X --> O_X/(s) --> 0,
wobei jetzt der erste Morphismus einfach durch die Inklusion gegeben ist.
Der Clou: Das ist gerade die exakte Sequenz zum Unterschema V(s)!
* s kann auch ein Schnitt eines Geradenbündels sein.
Dann kann ich nämlich das Ideal I := (phi(s)) \subseteq O_X definieren, wobei
phi : L --> O_X ein Iso ist; die Wahl spielt keine Rolle, wegen
psi(s) = psi(phi^(-1)(1)) * phi(s),
wobei der vordere Faktor in O_X^* liegt. Die Auflösung sieht dann so aus:
0 --> L --> L --> L/(s) --> 0,
oder isomorph
0 --> phi(s) O_X --> O_X --> O_X/(phi(s)) --> 0.
=== Koszul-Auflösung II
Sei s, t : O_X eine reguläre Sequenz. Dann ist O_X/(s,t) isomorph zur
vorgedrückten Strukturgarbe von V(s,t) und kann frei aufgelöst werden durch:
0 --> O_X --------> O_X^2 -------> O_X --> O_X/(s,t) --> 0
[-t;s] [s t]
Auch kann das Ideal (s,t) frei aufgelöst werden:
0 --> O_X --> O_X^2 --> (s,t) --> 0.
=== Algebra
* f, g in A bilden eine reguläre Sequenz
<==> f regulär und f|gh ==> f|h für alle h aus A.
* Das ist zum Beispiel dann erfüllt, wenn A ein UFD ist, f nicht null
und f und g keine gemeinsamen irreduziblen Faktoren besitzen.
* Auch ist es dann erfüllt, wenn f regulär ist und (f,g) = (1) ist.
XXX: Stimmt das? Bedenke den Extremfall g = 0!
* Eine wichtige Konsequenz: Sei I ein Ideal, das durch eine reguläre
Sequenz der Länge r erzeugt wird. Dann ist I/I^2 frei vom Rang r,
als A/I-Modul. Beweis siehe Manin über K-Theorie.
* Ein lokaler Ring (A,m,k) heißt regulär, wenn dim A = dim_k m/m^2.
(Man hat stets (zumindest im noetherschen Fall) "<=".)
Das ist äquivalent dazu (alles klassich/noethersch), dass m durch
eine reguläre Sequenz erzeugt werden kann.
"==>": Lifte eine Basis von m/m^2 zu Erzeugern von m. Wikipedia sagt dann,
dass diese eine reguläre Sequenz bilden. http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_sequence
"<==": Sei m durch eine reguläre Sequenz der Länge r erzeugt. Dann ist m/m^2
als k-Vektorraum von Dimension r. Außerdem ist dim k = dim A/m <= dim A - r.
Also ist dim A >= r. Fertig.
=== Allgemeiner
Sei phi : E --> O_X. Definiere K_n := Lambda^n E mit
d(x_1 ^ ... ^ x_n) = \sum (-1)^(i+1) phi(x_i) x_1 ^ ... ^ nicht-x_i ^ ... ^ x_n.
Dann habe den Komplex
... --> K_2 --> K_1~~E --> K_0~~O_X --> 0.
In guten Fällen wird der zu einer Auflösung von cok phi.
=== Intern
* Ferner sind für Ringelemente f_1, ..., f_n in A äquivalent:
(1) f_1, ..., f_n sind in A regulär.
(2) Die Keime sind in allen A_p regulär.
(3) Die f_i sind aus Sicht der interner Sprache als Elemente
von O_{Spec A} regulär.
(2) <==> (3) ist klar, da Regularität eine geometrische Implikation ist.
(1) ==> (2) ist einfach: Lokalisieren erhält reguläre Sequenzen.
(Achtung, manche Leute definieren regulär anders. Dann stimmt das nicht.)
(2) ==> (1) nutzt folgendes Lemma: Wenn für Ringelemente g und f_1,...,f_n
in der internen Sprache gilt: g in (f_1,...,f_n); dann gilt das auch extern.
Das liegt im Wesentlichen daran, dass (f_1,...,f_n)~ = [[ (f_1,...,f_n) ]].
* Für ein beliebiges Schema X und Funktionen f_1,...,f_n in O_X(U) gilt
nur noch (2) <==> (3). Im Allgemeinen gibt es wohl aber keine Implikationen
zwischen (1) und (2)=(3). Das liegt im Wesentlichen daran, dass O_X(U) -->
O_X(V) oder O_X(U) --> O_{X,x} kein Lokalisierungshomo sein braucht.
* Für eine Idealgarbe J auf einem beliebigen Schema X gilt:
X |== J ist regulär erzeugt
gdw.: Es existiert eine offene *affine* Überdeckung, sodass auf den einzelnen
Überdeckungsmengen U jeweils eine reguläre Sequenz f_1,...,f_n in O_X(U)
existiert, sodass U |== J = (f_1,...,f_n) gilt.
Diese Bedingung nutzt auch Manin in seinem Skript zur K-Theorie.
Äquivalent zu diesen beiden Bedingungen sind auch:
* X |== J ist regulär erzeugt oder 1 in J.
* Um jeden Punkt aus V(J) existiert eine offene affine Überdeckung, sodass ...
Achtung: Vakil nennt eine abgeschlossene Immersion V(J) --> X genau dann
regulär, wenn die Ideale J_x der lokalen Ringe jeweils regulär erzeugt sind.
Falls X lokal noethersch ist, sollte das äquivalent zur internen Bedingung
sein. Ansonsten stimmt nur, dass aus der internen Bedingung Vakils Bedingung
folgt. Das Problem ist dasselbe wie bei der Regularität einer einzelnen
Funktion.
* Seien Y_1, Y_2 Unterschemata von X mit Idealgarben I_1, I_2.
Dann sind äquivalent:
1. Für alle x in Y_1 cap Y_2 existiert eine offene *affine* Umgebung U
von x und Funktionen f_1,...,f_n in I_1(U), g_1,...,g_m in I_2(U),
sodass diese I_1(U) bzw. I_2(U) erzeugen und sodass die f's,
die g's und f_1,...,f_n,g_1,...,g_m jeweils reguläre Sequenzen in O_X(U)
sind.
2. X |== 1 in (I_1 + I_2) vee exists f_1,...,f_n in I_1,
exists g_1,...,g_m in I_2: I_1 = (f...), I_2 = (g...),
f..., g..., (f...,g...) reguläre Sequenzen in O_X.
=== Beispiel: RHom(k(x),k(x))
Siehe http://mathoverflow.net/questions/124451/calculate-hom-in-derived-category.
=== Nächste Schritte
* Wann bilden Elemente aus A eine reguläre Sequenz von globalen Funktionen auf
Spec A?
* http://www.math.uni-bielefeld.de/~hkrause/koszul.pdf
* Was hat es mit Koszul-Dualität auf sich? Ist sehr wichtig!