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Pi.agda
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{-# OPTIONS --without-K --exact-split --rewriting #-}
open import lib.Base
import lib.types.Nat as N
open import Pi.Common.Misc as N
open import Pi.Common.Extra
module Pi.Syntax.Pi where
private
variable
m n o p q r : ℕ
-- Types
data U : Type₀ where
O : U
I : U
_+_ : U → U → U
_×_ : U → U → U
infixr 40 _+_ _×_
infix 30 _⟷₁_
infixr 50 _◎_ _⊕_
private
variable
t t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U
-- 1-combinators
data _⟷₁_ : U → U → Type₀ where
unite₊l : O + t ⟷₁ t
uniti₊l : t ⟷₁ O + t
unite⋆l : I × t ⟷₁ t
uniti⋆l : t ⟷₁ I × t
swap₊ : t₁ + t₂ ⟷₁ t₂ + t₁
swap⋆ : t₁ × t₂ ⟷₁ t₂ × t₁
assocl₊ : t₁ + (t₂ + t₃) ⟷₁ (t₁ + t₂) + t₃
assocr₊ : (t₁ + t₂) + t₃ ⟷₁ t₁ + (t₂ + t₃)
assocl⋆ : t₁ × (t₂ × t₃) ⟷₁ (t₁ × t₂) × t₃
assocr⋆ : (t₁ × t₂) × t₃ ⟷₁ t₁ × (t₂ × t₃)
absorbr : O × t ⟷₁ O
absorbl : t × O ⟷₁ O
factorzr : O ⟷₁ t × O
factorzl : O ⟷₁ O × t
dist : (t₁ + t₂) × t₃ ⟷₁ (t₁ × t₃) + (t₂ × t₃)
distl : t₃ × (t₁ + t₂) ⟷₁ (t₃ × t₁) + (t₃ × t₂)
factor : {t₁ t₂ t₃ : U} → (t₁ × t₃) + (t₂ × t₃) ⟷₁ (t₁ + t₂) × t₃
factorl : {t₁ t₂ t₃ : U} → (t₃ × t₁) + (t₃ × t₂) ⟷₁ t₃ × (t₁ + t₂)
id⟷₁ : t ⟷₁ t
_◎_ : (t₁ ⟷₁ t₂) → (t₂ ⟷₁ t₃) → (t₁ ⟷₁ t₃)
_⊕_ : (t₁ ⟷₁ t₃) → (t₂ ⟷₁ t₄) → (t₁ + t₂ ⟷₁ t₃ + t₄)
_⊗_ : (t₁ ⟷₁ t₃) → (t₂ ⟷₁ t₄) → (t₁ × t₂ ⟷₁ t₃ × t₄)
-- Equational reasoning
infixr 10 _⟷₁⟨_⟩_
infix 15 _⟷₁∎
_⟷₁⟨_⟩_ : (t₁ : U) → (t₁ ⟷₁ t₂) → (t₂ ⟷₁ t₃) → (t₁ ⟷₁ t₃)
_ ⟷₁⟨ c₁ ⟩ c₂ = c₁ ◎ c₂
_⟷₁∎ : (t : U) → t ⟷₁ t
_⟷₁∎ t = id⟷₁
-- Coherence
unite₊r : {t : U} → t + O ⟷₁ t
unite₊r = swap₊ ◎ unite₊l
uniti₊r : t ⟷₁ t + O
uniti₊r = uniti₊l ◎ swap₊
unite⋆r : {t : U} → t × I ⟷₁ t
unite⋆r = swap⋆ ◎ unite⋆l
uniti⋆r : t ⟷₁ t × I
uniti⋆r = uniti⋆l ◎ swap⋆
!⟷₁ : t₁ ⟷₁ t₂ → t₂ ⟷₁ t₁
!⟷₁ unite₊l = uniti₊l
!⟷₁ uniti₊l = unite₊l
!⟷₁ unite⋆l = uniti⋆l
!⟷₁ uniti⋆l = unite⋆l
!⟷₁ swap₊ = swap₊
!⟷₁ swap⋆ = swap⋆
!⟷₁ assocl₊ = assocr₊
!⟷₁ assocr₊ = assocl₊
!⟷₁ assocl⋆ = assocr⋆
!⟷₁ assocr⋆ = assocl⋆
!⟷₁ absorbr = factorzl
!⟷₁ absorbl = factorzr
!⟷₁ factorzr = absorbl
!⟷₁ factorzl = absorbr
!⟷₁ dist = factor
!⟷₁ distl = factorl
!⟷₁ factorl = distl
!⟷₁ factor = dist
!⟷₁ id⟷₁ = id⟷₁
!⟷₁ (c₁ ◎ c₂) = !⟷₁ c₂ ◎ !⟷₁ c₁
!⟷₁ (c₁ ⊕ c₂) = !⟷₁ c₁ ⊕ !⟷₁ c₂
!⟷₁ (c₁ ⊗ c₂) = !⟷₁ c₁ ⊗ !⟷₁ c₂
infix 30 _⟷₂_
data _⟷₂_ : {t₁ t₂ : U} → (t₁ ⟷₁ t₂) → (t₁ ⟷₁ t₂) → Set where
assoc◎l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₂ ⟷₁ t₃} {c₃ : t₃ ⟷₁ t₄} →
(c₁ ◎ (c₂ ◎ c₃)) ⟷₂ ((c₁ ◎ c₂) ◎ c₃)
assoc◎r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₂ ⟷₁ t₃} {c₃ : t₃ ⟷₁ t₄} →
((c₁ ◎ c₂) ◎ c₃) ⟷₂ (c₁ ◎ (c₂ ◎ c₃))
assocl⊕l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
((c₁ ⊕ (c₂ ⊕ c₃)) ◎ assocl₊) ⟷₂ (assocl₊ ◎ ((c₁ ⊕ c₂) ⊕ c₃))
assocl⊕r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(assocl₊ ◎ ((c₁ ⊕ c₂) ⊕ c₃)) ⟷₂ ((c₁ ⊕ (c₂ ⊕ c₃)) ◎ assocl₊)
assocl⊗l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
((c₁ ⊗ (c₂ ⊗ c₃)) ◎ assocl⋆) ⟷₂ (assocl⋆ ◎ ((c₁ ⊗ c₂) ⊗ c₃))
assocl⊗r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(assocl⋆ ◎ ((c₁ ⊗ c₂) ⊗ c₃)) ⟷₂ ((c₁ ⊗ (c₂ ⊗ c₃)) ◎ assocl⋆)
assocr⊕r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(((c₁ ⊕ c₂) ⊕ c₃) ◎ assocr₊) ⟷₂ (assocr₊ ◎ (c₁ ⊕ (c₂ ⊕ c₃)))
assocr⊗l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(assocr⋆ ◎ (c₁ ⊗ (c₂ ⊗ c₃))) ⟷₂ (((c₁ ⊗ c₂) ⊗ c₃) ◎ assocr⋆)
assocr⊗r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(((c₁ ⊗ c₂) ⊗ c₃) ◎ assocr⋆) ⟷₂ (assocr⋆ ◎ (c₁ ⊗ (c₂ ⊗ c₃)))
assocr⊕l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₅ ⟷₁ t₆} →
(assocr₊ ◎ (c₁ ⊕ (c₂ ⊕ c₃))) ⟷₂ (((c₁ ⊕ c₂) ⊕ c₃) ◎ assocr₊)
dist⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
((a ⊕ b) ⊗ c) ◎ dist ⟷₂ dist ◎ ((a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c))
dist⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
dist ◎ ((a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c)) ⟷₂ ((a ⊕ b) ⊗ c) ◎ dist
distl⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
(a ⊗ (b ⊕ c)) ◎ distl ⟷₂ distl ◎ ((a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c))
distl⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
distl ◎ ((a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)) ⟷₂ (a ⊗ (b ⊕ c)) ◎ distl
factor⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
((a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c)) ◎ factor ⟷₂ factor ◎ ((a ⊕ b) ⊗ c)
factor⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
factor ◎ ((a ⊕ b) ⊗ c) ⟷₂ ((a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c)) ◎ factor
factorl⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
((a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)) ◎ factorl ⟷₂ factorl ◎ (a ⊗ (b ⊕ c))
factorl⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U}
{a : t₁ ⟷₁ t₂} {b : t₃ ⟷₁ t₄} {c : t₅ ⟷₁ t₆} →
factorl ◎ (a ⊗ (b ⊕ c)) ⟷₂ ((a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)) ◎ factorl
idl◎l : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → (id⟷₁ ◎ c) ⟷₂ c
idl◎r : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → c ⟷₂ id⟷₁ ◎ c
idr◎l : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → (c ◎ id⟷₁) ⟷₂ c
idr◎r : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → c ⟷₂ (c ◎ id⟷₁)
linv◎l : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → (c ◎ !⟷₁ c) ⟷₂ id⟷₁
linv◎r : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → id⟷₁ ⟷₂ (c ◎ !⟷₁ c)
rinv◎l : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → (!⟷₁ c ◎ c) ⟷₂ id⟷₁
rinv◎r : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → id⟷₁ ⟷₂ (!⟷₁ c ◎ c)
unite₊l⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(unite₊l ◎ c₂) ⟷₂ ((c₁ ⊕ c₂) ◎ unite₊l)
unite₊l⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
((c₁ ⊕ c₂) ◎ unite₊l) ⟷₂ (unite₊l ◎ c₂)
uniti₊l⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(uniti₊l ◎ (c₁ ⊕ c₂)) ⟷₂ (c₂ ◎ uniti₊l)
uniti₊l⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₂ ◎ uniti₊l) ⟷₂ (uniti₊l ◎ (c₁ ⊕ c₂))
unite₊r⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(unite₊r ◎ c₂) ⟷₂ ((c₂ ⊕ c₁) ◎ unite₊r)
unite₊r⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
((c₂ ⊕ c₁) ◎ unite₊r) ⟷₂ (unite₊r ◎ c₂)
uniti₊r⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(uniti₊r ◎ (c₂ ⊕ c₁)) ⟷₂ (c₂ ◎ uniti₊r)
uniti₊r⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : O ⟷₁ O} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₂ ◎ uniti₊r) ⟷₂ (uniti₊r ◎ (c₂ ⊕ c₁))
swapl₊⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} →
(swap₊ ◎ (c₁ ⊕ c₂)) ⟷₂ ((c₂ ⊕ c₁) ◎ swap₊)
swapr₊⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} →
((c₂ ⊕ c₁) ◎ swap₊) ⟷₂ (swap₊ ◎ (c₁ ⊕ c₂))
unitel⋆⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(unite⋆l ◎ c₂) ⟷₂ ((c₁ ⊗ c₂) ◎ unite⋆l)
uniter⋆⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
((c₁ ⊗ c₂) ◎ unite⋆l) ⟷₂ (unite⋆l ◎ c₂)
unitil⋆⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(uniti⋆l ◎ (c₁ ⊗ c₂)) ⟷₂ (c₂ ◎ uniti⋆l)
unitir⋆⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₂ ◎ uniti⋆l) ⟷₂ (uniti⋆l ◎ (c₁ ⊗ c₂))
unitel⋆⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(unite⋆r ◎ c₂) ⟷₂ ((c₂ ⊗ c₁) ◎ unite⋆r)
uniter⋆⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
((c₂ ⊗ c₁) ◎ unite⋆r) ⟷₂ (unite⋆r ◎ c₂)
unitil⋆⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(uniti⋆r ◎ (c₂ ⊗ c₁)) ⟷₂ (c₂ ◎ uniti⋆r)
unitir⋆⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : I ⟷₁ I} {c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₂ ◎ uniti⋆r) ⟷₂ (uniti⋆r ◎ (c₂ ⊗ c₁))
swapl⋆⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} →
(swap⋆ ◎ (c₁ ⊗ c₂)) ⟷₂ ((c₂ ⊗ c₁) ◎ swap⋆)
swapr⋆⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} →
((c₂ ⊗ c₁) ◎ swap⋆) ⟷₂ (swap⋆ ◎ (c₁ ⊗ c₂))
id⟷₂ : {t₁ t₂ : U} {c : t₁ ⟷₁ t₂} → c ⟷₂ c
trans⟷₂ : {t₁ t₂ : U} {c₁ c₂ c₃ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₁ ⟷₂ c₂) → (c₂ ⟷₂ c₃) → (c₁ ⟷₂ c₃)
_⊡_ : {t₁ t₂ t₃ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₂ ⟷₁ t₃} {c₃ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₄ : t₂ ⟷₁ t₃} →
(c₁ ⟷₂ c₃) → (c₂ ⟷₂ c₄) → (c₁ ◎ c₂) ⟷₂ (c₃ ◎ c₄)
resp⊕⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₄ : t₃ ⟷₁ t₄} →
(c₁ ⟷₂ c₃) → (c₂ ⟷₂ c₄) → (c₁ ⊕ c₂) ⟷₂ (c₃ ⊕ c₄)
resp⊗⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U}
{c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₂ : t₃ ⟷₁ t₄} {c₃ : t₁ ⟷₁ t₂} {c₄ : t₃ ⟷₁ t₄} →
(c₁ ⟷₂ c₃) → (c₂ ⟷₂ c₄) → (c₁ ⊗ c₂) ⟷₂ (c₃ ⊗ c₄)
-- -- below are the combinators added for the RigCategory structure
id⟷⊕id⟷⟷₂ : {t₁ t₂ : U} → (id⟷₁ {t₁} ⊕ id⟷₁ {t₂}) ⟷₂ id⟷₁
split⊕-id⟷ : {t₁ t₂ : U} → (id⟷₁ {_+_ t₁ t₂}) ⟷₂ (id⟷₁ ⊕ id⟷₁)
hom⊕◎⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U} {c₁ : t₅ ⟷₁ t₁} {c₂ : t₆ ⟷₁ t₂}
{c₃ : t₁ ⟷₁ t₃} {c₄ : t₂ ⟷₁ t₄} →
((c₁ ◎ c₃) ⊕ (c₂ ◎ c₄)) ⟷₂ ((c₁ ⊕ c₂) ◎ (c₃ ⊕ c₄))
hom◎⊕⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U} {c₁ : t₅ ⟷₁ t₁} {c₂ : t₆ ⟷₁ t₂}
{c₃ : t₁ ⟷₁ t₃} {c₄ : t₂ ⟷₁ t₄} →
((c₁ ⊕ c₂) ◎ (c₃ ⊕ c₄)) ⟷₂ ((c₁ ◎ c₃) ⊕ (c₂ ◎ c₄))
id⟷⊗id⟷⟷₂ : {t₁ t₂ : U} → (id⟷₁ {t₁} ⊗ id⟷₁ {t₂}) ⟷₂ id⟷₁
split⊗-id⟷ : {t₁ t₂ : U} → (id⟷₁ {_×_ t₁ t₂}) ⟷₂ (id⟷₁ ⊗ id⟷₁)
hom⊗◎⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U} {c₁ : t₅ ⟷₁ t₁} {c₂ : t₆ ⟷₁ t₂}
{c₃ : t₁ ⟷₁ t₃} {c₄ : t₂ ⟷₁ t₄} →
((c₁ ◎ c₃) ⊗ (c₂ ◎ c₄)) ⟷₂ ((c₁ ⊗ c₂) ◎ (c₃ ⊗ c₄))
hom◎⊗⟷₂ : {t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ : U} {c₁ : t₅ ⟷₁ t₁} {c₂ : t₆ ⟷₁ t₂}
{c₃ : t₁ ⟷₁ t₃} {c₄ : t₂ ⟷₁ t₄} →
((c₁ ⊗ c₂) ◎ (c₃ ⊗ c₄)) ⟷₂ ((c₁ ◎ c₃) ⊗ (c₂ ◎ c₄))
-- -- associativity triangle
triangle⊕l : {t₁ t₂ : U} →
(unite₊r {t₁} ⊕ id⟷₁ {t₂}) ⟷₂ assocr₊ ◎ (id⟷₁ ⊕ unite₊l)
triangle⊕r : {t₁ t₂ : U} →
assocr₊ ◎ (id⟷₁ {t₁} ⊕ unite₊l {t₂}) ⟷₂ (unite₊r ⊕ id⟷₁)
triangle⊗l : {t₁ t₂ : U} →
((unite⋆r {t₁}) ⊗ id⟷₁ {t₂}) ⟷₂ assocr⋆ ◎ (id⟷₁ ⊗ unite⋆l)
triangle⊗r : {t₁ t₂ : U} →
(assocr⋆ ◎ (id⟷₁ {t₁} ⊗ unite⋆l {t₂})) ⟷₂ (unite⋆r ⊗ id⟷₁)
pentagon⊕l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
assocr₊ ◎ (assocr₊ {t₁} {t₂} {_+_ t₃ t₄}) ⟷₂
((assocr₊ ⊕ id⟷₁) ◎ assocr₊) ◎ (id⟷₁ ⊕ assocr₊)
pentagon⊕r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
((assocr₊ {t₁} {t₂} {t₃} ⊕ id⟷₁ {t₄}) ◎ assocr₊) ◎ (id⟷₁ ⊕ assocr₊) ⟷₂
assocr₊ ◎ assocr₊
pentagon⊗l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
assocr⋆ ◎ (assocr⋆ {t₁} {t₂} {_×_ t₃ t₄}) ⟷₂
((assocr⋆ ⊗ id⟷₁) ◎ assocr⋆) ◎ (id⟷₁ ⊗ assocr⋆)
pentagon⊗r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
((assocr⋆ {t₁} {t₂} {t₃} ⊗ id⟷₁ {t₄}) ◎ assocr⋆) ◎ (id⟷₁ ⊗ assocr⋆) ⟷₂
assocr⋆ ◎ assocr⋆
-- -- from the braiding
-- -- unit coherence
unite₊l-coh-l : {t₁ : U} → unite₊l {t₁} ⟷₂ swap₊ ◎ unite₊r
unite₊l-coh-r : {t₁ : U} → swap₊ ◎ unite₊r ⟷₂ unite₊l {t₁}
unite⋆l-coh-l : {t₁ : U} → unite⋆l {t₁} ⟷₂ swap⋆ ◎ unite⋆r
unite⋆l-coh-r : {t₁ : U} → swap⋆ ◎ unite⋆r ⟷₂ unite⋆l {t₁}
hexagonr⊕l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
(assocr₊ ◎ swap₊) ◎ assocr₊ {t₁} {t₂} {t₃} ⟷₂
((swap₊ ⊕ id⟷₁) ◎ assocr₊) ◎ (id⟷₁ ⊕ swap₊)
hexagonr⊕r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
((swap₊ ⊕ id⟷₁) ◎ assocr₊) ◎ (id⟷₁ ⊕ swap₊) ⟷₂
(assocr₊ ◎ swap₊) ◎ assocr₊ {t₁} {t₂} {t₃}
hexagonl⊕l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
(assocl₊ ◎ swap₊) ◎ assocl₊ {t₁} {t₂} {t₃} ⟷₂
((id⟷₁ ⊕ swap₊) ◎ assocl₊) ◎ (swap₊ ⊕ id⟷₁)
hexagonl⊕r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
((id⟷₁ ⊕ swap₊) ◎ assocl₊) ◎ (swap₊ ⊕ id⟷₁) ⟷₂
(assocl₊ ◎ swap₊) ◎ assocl₊ {t₁} {t₂} {t₃}
hexagonr⊗l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
(assocr⋆ ◎ swap⋆) ◎ assocr⋆ {t₁} {t₂} {t₃} ⟷₂
((swap⋆ ⊗ id⟷₁) ◎ assocr⋆) ◎ (id⟷₁ ⊗ swap⋆)
hexagonr⊗r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
((swap⋆ ⊗ id⟷₁) ◎ assocr⋆) ◎ (id⟷₁ ⊗ swap⋆) ⟷₂
(assocr⋆ ◎ swap⋆) ◎ assocr⋆ {t₁} {t₂} {t₃}
hexagonl⊗l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
(assocl⋆ ◎ swap⋆) ◎ assocl⋆ {t₁} {t₂} {t₃} ⟷₂
((id⟷₁ ⊗ swap⋆) ◎ assocl⋆) ◎ (swap⋆ ⊗ id⟷₁)
hexagonl⊗r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
((id⟷₁ ⊗ swap⋆) ◎ assocl⋆) ◎ (swap⋆ ⊗ id⟷₁) ⟷₂
(assocl⋆ ◎ swap⋆) ◎ assocl⋆ {t₁} {t₂} {t₃}
absorbl⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(c₁ ⊗ id⟷₁ {O}) ◎ absorbl ⟷₂ absorbl ◎ id⟷₁ {O}
absorbl⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
absorbl ◎ id⟷₁ {O} ⟷₂ (c₁ ⊗ id⟷₁ {O}) ◎ absorbl
absorbr⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
(id⟷₁ {O} ⊗ c₁) ◎ absorbr ⟷₂ absorbr ◎ id⟷₁ {O}
absorbr⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
absorbr ◎ id⟷₁ {O} ⟷₂ (id⟷₁ {O} ⊗ c₁) ◎ absorbr
factorzl⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
id⟷₁ ◎ factorzl ⟷₂ factorzl ◎ (id⟷₁ ⊗ c₁)
factorzl⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
factorzl ◎ (id⟷₁ {O} ⊗ c₁) ⟷₂ id⟷₁ {O} ◎ factorzl
factorzr⟷₂l : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
id⟷₁ ◎ factorzr ⟷₂ factorzr ◎ (c₁ ⊗ id⟷₁)
factorzr⟷₂r : {t₁ t₂ : U} {c₁ : t₁ ⟷₁ t₂} →
factorzr ◎ (c₁ ⊗ id⟷₁) ⟷₂ id⟷₁ ◎ factorzr
-- from the coherence conditions of RigCategory
swap₊distl⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
(id⟷₁ {t₁} ⊗ swap₊ {t₂} {t₃}) ◎ distl ⟷₂ distl ◎ swap₊
swap₊distl⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
distl ◎ swap₊ ⟷₂ (id⟷₁ {t₁} ⊗ swap₊ {t₂} {t₃}) ◎ distl
dist-swap⋆⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ : U} →
dist {t₁} {t₂} {t₃} ◎ (swap⋆ ⊕ swap⋆) ⟷₂ swap⋆ ◎ distl
dist-swap⋆⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ : U} →
swap⋆ ◎ distl {t₁} {t₂} {t₃} ⟷₂ dist ◎ (swap⋆ ⊕ swap⋆)
assocl₊-dist-dist⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
((assocl₊ {t₁} {t₂} {t₃} ⊗ id⟷₁ {t₄}) ◎ dist) ◎ (dist ⊕ id⟷₁) ⟷₂
(dist ◎ (id⟷₁ ⊕ dist)) ◎ assocl₊
assocl₊-dist-dist⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
(dist {t₁} ◎ (id⟷₁ ⊕ dist {t₂} {t₃} {t₄})) ◎ assocl₊ ⟷₂
((assocl₊ ⊗ id⟷₁) ◎ dist) ◎ (dist ⊕ id⟷₁)
assocl⋆-distl⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
assocl⋆ {t₁} {t₂} ◎ distl {_×_ t₁ t₂} {t₃} {t₄} ⟷₂
((id⟷₁ ⊗ distl) ◎ distl) ◎ (assocl⋆ ⊕ assocl⋆)
assocl⋆-distl⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
((id⟷₁ ⊗ distl) ◎ distl) ◎ (assocl⋆ ⊕ assocl⋆) ⟷₂
assocl⋆ {t₁} {t₂} ◎ distl {_×_ t₁ t₂} {t₃} {t₄}
absorbr0-absorbl0⟷₂ : absorbr {O} ⟷₂ absorbl {O}
absorbl0-absorbr0⟷₂ : absorbl {O} ⟷₂ absorbr {O}
absorbr⟷₂distl-absorb-unite : {t₁ t₂ : U} →
absorbr ⟷₂ (distl {t₁ = t₁} {t₂} ◎ (absorbr ⊕ absorbr)) ◎ unite₊l
distl-absorb-unite⟷₂absorbr : {t₁ t₂ : U} →
(distl {t₁ = t₁} {t₂} ◎ (absorbr ⊕ absorbr)) ◎ unite₊l ⟷₂ absorbr
unite⋆r0-absorbr1⟷₂ : unite⋆r ⟷₂ absorbr
absorbr1-unite⋆r-⟷₂ : absorbr ⟷₂ unite⋆r
absorbl≡swap⋆◎absorbr : {t₁ : U} → absorbl {t₁} ⟷₂ swap⋆ ◎ absorbr
swap⋆◎absorbr≡absorbl : {t₁ : U} → swap⋆ ◎ absorbr ⟷₂ absorbl {t₁}
absorbr⟷₂[assocl⋆◎[absorbr⊗id⟷]]◎absorbr : {t₁ t₂ : U} →
absorbr ⟷₂ (assocl⋆ {O} {t₁} {t₂} ◎ (absorbr ⊗ id⟷₁)) ◎ absorbr
[assocl⋆◎[absorbr⊗id⟷]]◎absorbr⟷₂absorbr : {t₁ t₂ : U} →
(assocl⋆ {O} {t₁} {t₂} ◎ (absorbr ⊗ id⟷₁)) ◎ absorbr ⟷₂ absorbr
[id⟷⊗absorbr]◎absorbl⟷₂assocl⋆◎[absorbl⊗id⟷]◎absorbr : {t₁ t₂ : U} →
(id⟷₁ ⊗ absorbr {t₂}) ◎ absorbl {t₁} ⟷₂
(assocl⋆ ◎ (absorbl ⊗ id⟷₁)) ◎ absorbr
assocl⋆◎[absorbl⊗id⟷]◎absorbr⟷₂[id⟷⊗absorbr]◎absorbl : {t₁ t₂ : U} →
(assocl⋆ ◎ (absorbl ⊗ id⟷₁)) ◎ absorbr ⟷₂
(id⟷₁ ⊗ absorbr {t₂}) ◎ absorbl {t₁}
elim⊥-A[0⊕B]⟷₂l : {t₁ t₂ : U} →
(id⟷₁ {t₁} ⊗ unite₊l {t₂}) ⟷₂
(distl ◎ (absorbl ⊕ id⟷₁)) ◎ unite₊l
elim⊥-A[0⊕B]⟷₂r : {t₁ t₂ : U} →
(distl ◎ (absorbl ⊕ id⟷₁)) ◎ unite₊l ⟷₂ (id⟷₁ {t₁} ⊗ unite₊l {t₂})
elim⊥-1[A⊕B]⟷₂l : {t₁ t₂ : U} →
unite⋆l ⟷₂
distl ◎ (unite⋆l {t₁} ⊕ unite⋆l {t₂})
elim⊥-1[A⊕B]⟷₂r : {t₁ t₂ : U} →
distl ◎ (unite⋆l {t₁} ⊕ unite⋆l {t₂}) ⟷₂ unite⋆l
fully-distribute⟷₂l : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
(distl ◎ (dist {t₁} {t₂} {t₃} ⊕ dist {t₁} {t₂} {t₄})) ◎ assocl₊ ⟷₂
((((dist ◎ (distl ⊕ distl)) ◎ assocl₊) ◎ (assocr₊ ⊕ id⟷₁)) ◎
((id⟷₁ ⊕ swap₊) ⊕ id⟷₁)) ◎ (assocl₊ ⊕ id⟷₁)
fully-distribute⟷₂r : {t₁ t₂ t₃ t₄ : U} →
((((dist ◎ (distl ⊕ distl)) ◎ assocl₊) ◎ (assocr₊ ⊕ id⟷₁)) ◎
((id⟷₁ ⊕ swap₊) ⊕ id⟷₁)) ◎ (assocl₊ ⊕ id⟷₁) ⟷₂
(distl ◎ (dist {t₁} {t₂} {t₃} ⊕ dist {t₁} {t₂} {t₄})) ◎ assocl₊
data _⟷₃_ : {X Y : U} {p q : X ⟷₁ Y} → (p ⟷₂ q) → (p ⟷₂ q) → Set where
trunc : {X Y : U} {p q : X ⟷₁ Y} (α β : p ⟷₂ q) → α ⟷₃ β
!!⟷₁ : (c : t₁ ⟷₁ t₂) → !⟷₁ (!⟷₁ c) ⟷₂ c
!!⟷₁ c = TODO- -- trivial, by induction
!⟷₂ : {t₁ t₂ : U} → {c₁ c₂ : t₁ ⟷₁ t₂} → (α : c₁ ⟷₂ c₂) → c₂ ⟷₂ c₁
!⟷₂ α = TODO- -- trivial, by induction