- Введение
- Комментарии
- Ввод выражений
- Обыкновенные и десятичные дроби
- Переменные и функции
- Алгебра
- Двумерные графики
- Геометрия
- Тригонометрия
- Полярные координаты
- Степени и логарифмы
- Пределы
- Производные
- Интегралы
- Последовательности, суммы и ряды
- Специализированные двумерные графики
- Трехмерные графики
- Функции нескольких переменных
- Векторный анализ и визуализация
- Дифференциальные уравнения
- Комплексные числа
- Матрицы и линейная алгебра
- Дискретная математика
- Вероятности
- Статистика
- Функции для визуализации данных и аппроксимации кривых
- Теория групп
- Математические головоломки
- Интерактивные модели
- Математическая нотация
Введение ↑top↑
Wolfram — мультипарадигмальный язык программирования, разработанный компанией Wolfram Research для системы Mathematica. Спроектирован как максимально универсальный язык с акцентом на символьные вычисления, функциональное и логическое программирование, с поддержкой произвольных структур данных.
Данный справочник поможет узнать, как решать математические задачи на языке программирования Wolfram, начиная с простой арифметики и заканчивая вычислением интегралов. Язык Wolfram охватывает широкий спектр разделов математики, включая как университетские дисциплины, так и более продвинутые концепции. Этот сравочник создан специально для быстрого обучения студентов математических специальностей различных уровней подготовки навыкам использования языка Wolfram для расчетов, визуализации и презентаций.
Комментарии ↑top↑
В Языке Wolfram, как и во многих других языках программирования, комментарии используются для добавления пояснений к коду, которые не исполняются интерпретатором или компилятором. Вот как можно добавлять комментарии в код на Языке Wolfram:
Однострочные комментарии: Однострочные комментарии начинаются с символа (* и заканчиваются
символом *). Любой текст между этими символами будет считаться комментарием.
(* Это однострочный комментарий *)Многострочные комментарии: Вы можете также создавать многострочные комментарии, заключая текст
между (* и *). Это удобно для описания блоков кода или для временного исключения фрагментов кода
из выполнения.
(* Это
многострочный
комментарий *)Комментарии внутри строк кода: Иногда бывает удобно добавить комментарии прямо внутри строк кода.
Для этого используется символ % после которого идет комментарий до конца строки.
Print["Это строка кода"]; (* Это комментарий *)Используйте комментарии, чтобы делиться своими мыслями с другими разработчиками или оставлять напоминания для себя о том, что делает тот или иной кусок кода. Это помогает повысить читаемость и понимание вашего кода.
Ввод выражений ↑top↑
В документах Wolfram на локальном компьютере или в облаке, для начала работы нужно просто набрать нужное выражение и, затем, нажать SHIFT + ENTER для расчета:
Метки In[n] и Out[n] обозначают соответствующие входные и выходные данные. Символ % обозначает
результат последних вычислений:
После выполнения расчетов появляется Suggestions Bar, которая предлагает несколько вариантов последующих действий:
Для обозначения математических операций используются традиционные символы (для умножения используйте
пробел или *, а не символ x.):
Для управления порядком действий используйте только круглые скобки:
Язык Wolfram содержит более 5 000 встроенных функций, покрывающих множество различных областей математики.
Аргументы встроенных функций разделяются между собой запятыми и заключены в квадратные скобки:
Если Вы не знаете, какую функцию использовать, просто наберите = в начале строки для активации
естественной формы ввода:
Списки представляют собой коллекцию элементов и задаются с помощью фигурных скобок { ... }:
Элементы в списках упорядочены. Они могут содержать цифры, переменные, результаты вычислений, а также другие списки.
Многие встроенные операторы к спискам применяются поэлементно:
Нумерация элементов списка начинается с 1. Части списка могут быть получены с помощью двойных
квадратных скобок [[ ... ]]:
Создавать списки можно легко, благодаря таким функциям как Range:
Обыкновенные и десятичные дроби ↑top↑
В Языке Wolfram, точные входные данные (например, обыкновенные дроби) приведут к точному результату (Используйте CTRL + / для ввода обыкновенных дробей):
Сложим дроби, используя функцию Together, которая обеспечивает наименьший общий делитель в ответе:
Если в выражении представлена хотя бы одна десятичная дробь, то результат будет представлен в приближенной форме:
Функция N позволяет получить численное приближение результата:
Также можно указать необходимую точность результата:
Некоторые цифры лучше отображать, используя ScientificForm:
ScientificForm используется автоматически, когда это необходимо:
Переменные и функции ↑top↑
Имена переменных должны начинаться с букв и могут также содержать цифры (имена переменных лучше начинать с маленьких букв, так как встроенные объекты начинаются с прописных букв):
Пробел между двумя переменными или цифрами обозначает умножение (другими словами, “a b” - это a умножить на b, а “ab” - это переменная ab):
Используем символы /. и → для замены частей выражения (символ “правило” → может быть
набран как ->):
Присвоение значения переменной осуществляется с использованием символа = (равенство):
Собственные переменные можно использовать в любых выражениях и функциях:
Значение переменной можно стереть и тогда x останется не вычисленным:
Собственные функции можно задавать с помощью конструкции f[x_]:=
x_ означает, что x - это шаблон, который может быть заменен любым значением.
:= означает, что функция f с любым переданным аргументом будет заменена на правую часть
функцию после ее вычисления:
Алгебра ↑top↑
Можно проводить факторизацию или раскрывать алгебраические выражения (используйте CTRL
- 6 для ввода степени):
В Языке Wolfram символ == (два знака равенства) используется для проверки равенства:
Объединим алгебраические выражения с помощью == для формирования уравнения:
Функции, такие как Solve позволяют найти точные решения уравнений:
Для приближенных результатов используйте NSolve:
Систему уравнений можно передать функции в виде списка:
Найдем корни уравнения (символ || обозначает Или):
В случае если полином не так просто разложить на множители, то лучше использовать приближенные решения:
Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме (наберите <= для ввода символа
≤):
Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:
Функция NumberLinePlot - это удобный способ визуализации этих результатов:
Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:
Двумерные графики ↑top↑
Создадим двумерный график полиномиальной функции (интервал {x,min,max} используется для
задания области определения аргумента):
Или построим двумерную область, заданную системой неравенств (&& - это символ для И):
Существует большое число опций для настройки визуализации, например, добавление легенд:
Или закрашивание области под графиком:
Соединим несколько типов графиков с помощью функции Show:
Геометрия ↑top↑
Функция Graphics позволяет создавать все виды двумерных графиков:
Многие геометрические объекты в качестве входных аргументов принимают координаты вершин в виде списка:
Для контроля над стилями графических объектов используются списки директив:
Генерация треугольников осуществляется за счет таких функций, как SASTriangle (наберите
ESC deg ESC для ввода символа °):
Такие свойства, как площадь, вычисляются с использованием прямых команд:
В качестве аргументов функции Graphics также можно передавать инициализированные переменные:
Аналогично, функция Graphics3D используется для отображения трехмерных графических объектов:
С помощью встроенных функций можно рассчитать объем фигуры и другие свойства (если функция
Cylinder вызвана без аргументов, то полученный цилиндр будет иметь радиус 1 и высоту 2):
Информация о геометрических фигурах и их формулах доступна через естественную форму ввода:
Геометрические преобразования осуществляются с помощью встроенных функций, таких как Rotate,
Translate и Scale:
Тригонометрия ↑top↑
Для базовых тригонометрических функций используются стандартные обозначения (первые буквы в именах функций - заглавные):
Добавим ключевое слово “Arc” для получения обратных функций:
Для работы с радианами зачастую необходимо использовать константу Pi (наберите ESC
pi ESC для ввода символа π):
Или наберите ESC deg ESC для использования встроенного символа Degree:
Разложим (или упростим) тригонометрические выражения, используя известные тождества:
Выполним факторизацию тригонометрического полинома:
Такие функции, как Solve, также позволяют решать подобные уравнения:
Уточним интересующую область решений:
Полярные координаты ↑top↑
Построим двумерный график в полярных координатах (наберите ESC th ESC
для ввода символа θ):
Используем полярную систему координат вместо декартовой:
Переведем декартовы координаты в полярные:
Степени и логарифмы ↑top↑
В Языке Wolfram для отображения экспоненты используется символ E.
Функция Log возвращает натуральный алгоритм выражения:
Вычислим логарифм по основанию 2:
Построим график, используя логарифмический масштаб по оси ординат:
Построим обе оси в логарифмическом масштабе:
Введение ↑top↑
Рассчитаем предельное значение выражения (наберите -> для ввода символа →):
Найдем предел на бесконечности (наберите ESC inf ESC для ввода символа
∞):
Также предусмотрена возможность указания направления предела.
Значение 1 означает приближение слева:
Значение −1 означает приближение справа:
Используем функцию HoldForm для предотвращения вычисления выражения (функция TraditionalForm
использует классическую математическую нотацию):
Производные ↑top↑
Для расчета производных используется функция D:
Или штрих в традиционной нотации:
Дифференцирование работает также для пользовательских функций:
Производные можно использовать в явном виде для построения графиков:
Рассчитаем производную более высокого порядка с использованием функции:
Или несколько раз запишем символ штриха:
Также, как и в предыдущих разделах, формулы математического анализа доступны через естественную форму ввода:
Интегралы ↑top↑
Вычислим интеграл с использованием функции Integrate:
Или набрав ESC intt ESC для создания заполняемого математического шаблона
(подробная информация о заполняемых шаблонах представлена в разделе Математическая нотация):
Для задания определенного интеграла наберем ESC dintt ESC и укажем нижний и верхний пределы интегрирования:
Используем функцию NIntegrate для получения численного решения:
Последовательности, суммы и ряды ↑top↑
В Языке Wolfram целочисленные последовательности представлены в виде списков.
Используем функцию Table для задания простой последовательности:
Некоторые известные последовательности уже встроены в язык:
Для задания рекурсивных последовательностей используем функцию RecurrenceTable (обратите
внимание на использование нотации {x,min,max}):
Вычислим сумму всех элементов последовательности, используя функцию Total:
Вычислим сумму элементов последовательности, используя функцию Sum и производящую функцию:
Используйте ESC sumt ESC для создания заполняемого шаблона:
Существует возможность задания вложенных и неопределенных сумм:
Найдем производящую функцию для последовательности:
Сгенерируем степенной ряд для представления практически любой комбинации встроенных функций:
O[x]9 представляет член высшего порядка; используем функцию Normal для того, чтобы
отбросить его:
Если функции Series передать неизвестную или неопределенную функцию, то она вернет степенной ряд
в терминах производных:
Сходящийся ряд может упрощаться автоматически:
Специализированные двумерные графики ↑top↑
Функция ParametricPlot позволяет создавать параметрические графики:
Функция ContourPlot позволяет построить график линий уровня:
Функция DensityPlot строит непрерывный график - диаграмму плотности функции:
Трехмерные графики ↑top↑
Функция Plot3D используется для построения трехмерных графиков в декартовых координатах:
С помощью функции ParametricPlot3D построим трехмерную пространственную кривую:
Для работы в сферических координатах используется функция SphericalPlot3D:
Функция RevolutionPlot3D строит поверхность вращения с использованием заданного выражения:
Функции нескольких переменных ↑top↑
Функция D позволяет также рассчитывать частные производные - необходимо только уточнить по
каким переменным дифференцировать:
Также можно использовать символ ∂ (наберите ESC pd ESC для ввода символа
∂ и CTRL + - для ввода нижнего индекса):
Кратные интегралы используют такую же нотацию, как и обычные интегралы (наберите ESC int
ESC для ввода символа ∫ и ESC dd ESC для ввода символа d):
Символьные результаты часто бывают достаточно сложными
В таких случаях можно использовать функцию N для получения приближенного решения:
Векторный анализ и визуализация ↑top↑
В Языке Wolfram n-мерные вектора представляются в виде списков длиной n.
Вычислим скалярное произведение двух векторов:
Для расчета векторного произведения необходимо ввести символ ESC cross ESC:
Вычислим норму вектора:
Найдем проекцию вектора на ось x:
Найдем угол между двумя векторами:
Рассчитаем градиент вектора (для ввода символа ∇, наберите ESC grad ESC):
Вычислим дивергенцию или ротор векторного поля:
Язык Wolfram содержит встроенные функции для визуализации двумерных и трехмерных векторных полей:
Построим сечения векторного поля:
Дифференциальные уравнения ↑top↑
Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.
Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде (C[1] - константа
интегрирования):
Используем символ /. для замены константы:
Или добавим начальные условия для получения частного решения:
Функция NDSolveValue позволяет находить численные решения:
Объект InterpolatingFunction можно визуализировать без дополнительной обработки:
Для решения систем дифференциальных уравнений, необходимо использовать списки для задания уравнений и условий (обратите внимание, что перенос уравнений на новую строку не влияет на результат):
Построим решения системы в виде параметрического графика:
Комплексные числа ↑top↑
Мнимая единица I:
Большинство операций автоматически поддерживают работу с комплексными числами:
Разложим комплексное выражение:
Перевод выражения из экспоненциальной формы в тригонометрическую и обратно:
Наберем ESC co ESC для ввода символа сопряженности:
Выделим действительную и мнимую части выражения:
Или вычислим абсолютное значение и аргумент комплексного числа:
Построим конформное отображение с помощью функции ParametricPlot:
Используем функцию AbsArg при построении графика PolarPlot:
Визуализируем мнимую компоненту, используя функцию DensityPlot:
Матрицы и линейная алгебра ↑top↑
В Языке Wolfram матрицы представляются как списки списков:
Их можно вводить в табличном виде, используя CTRL + ENTER для добавления строк и CTRL + , для добавления столбцов:
Функция MatrixForm позволяет отобразить матрицу в классическом виде:
Матрицы можно создавать с помощью итерационных функций:
Или импортировать данные, которые представляют собой матрицу:
IdentityMatrix, DiagonalMatrix и другие встроенные функции используются для создания матриц
специального вида.
Стандартные матричные операции работают поэлементно:
Вычисление произведения двух матриц:
Вычисление детерминанта:
Поиск обратной матрицы:
Функция LinearSolve используется для решения систем линейных уравнений:
Реализованы также функции для минимизации и декомпозиции матриц.
Дискретная математика ↑top↑
Выполним ряд базовых операций теории чисел, например, факторизацию целого числа:
Найдем наибольший общий делитель GCD (или наименьший общий делитель LCM) любых двух целых
чисел:
Отобразим 4-е простое число:
Проверим является ли это число простым:
Аналогичный тест реализован и для взаимно простых чисел:
Используем функцию Mod для определения остатка от деления:
Получим все возможные перестановки списка:
Применим функцию Permute к списку c использованием функции Cycles (функция Cycles в
качестве аргумента принимает список списков):
Найдем порядок перестановки:
Сгенерируем граф из списка ребер (используйте ESC ue ESC для ввода неориентированного ребра или ESC de ESC для ввода ориентированного ребра):
Найдем кратчайший путь между двумя вершинами:
Исследуем хорошо известные графы, используя естественную форму ввода:
В Язык Wolfram также встроены функции для решения задач из области комбинаторики, теории вероятностей, целочисленных последовательностей и многие другие.
Вероятности ↑top↑
Язык Wolfram содержит большой набор встроенных функций для расчета вероятностей, а также сотни встроенных символьных распределений.
Вычислим факториал, используя классическую математическую нотацию:
Для расчета числа комбинаций используем Binomial:
Вычислим вероятность для биномиального распределения (наберите ESC dist ESC
для ввода символа ~):
Рассчитаем ожидание для полиномиального выражения:
Вычислим функцию распределения вероятности PDF для нормального распределения в символьной
форме:
Построим график результата:
Естественная форма ввода может использоваться для расчета вероятностей каких-либо реальных событий:
Статистика ↑top↑
В Языке Wolfram статистические функции в качестве аргументов принимают либо списки, либо символьные распределения.
Вычислим среднее значение элементов списка:
Определим степень корреляции двух списков:
Рассчитаем среднеквадратичное отклонение для распределения Пуассона:
Вычислим момент случайной величины списка символов:
Найдем производящую функцию момента для распределения (наберите ESC m ESC
для ввода μ и ESC s ESC для ввода σ):
Сгенерируем статистические данные с помощью функции RandomVariate (используйте функцию
//Short для получения краткой информации о результате):
Визуализируем полученные данные:
Функции для визуализации данных и аппроксимации кривых ↑top↑
Используем функцию ListPlot для построения точечной диаграммы:
Или представим информацию в виде столбиковой диаграммы:
Также предусмотрены специализированные функции для визуализации временных рядов, финансовых данных и много другого.
Несколько наборов данных автоматически выделяются разными цветами:
Внешний вид графиков можно настраивать с помощью опций, таких как PlotTheme.
Найдем кривую, которая наилучшим образом описывает данные, используя функцию Fit (список
{1,x,x2} означает что ищется аппроксимация в виде полинома второго порядка):
Используем функцию Show, чтобы сравнить полученную аппроксимацию с исходными данными:
Теория групп ↑top↑
SymmetricGroup, AlternatingGroup, DihedralGroup и многие другие именованные
группы уже встроены в Язык Wolfram.
Выведем список элементов группы:
Определим генератор группы:
Создадим группу перестановок из двух генераторов:
Вычислим ее порядок:
Отобразим таблицу умножения группы:
Визуализируем ее с помощью графа Кэли:
Математические головоломки ↑top↑
Язык Wolfram является идеальной платформой для решения сложных и интересных математических головоломок. Исследование и решение таких задач становится простым как только Вы освоили базовые принципы языка.
Предположим необходимо найти количество положительных целых чисел до 1 000 000 у которых нет общих делителей с 1 000 000.
Для начала проверим все положительные целые числа в заданном диапазоне, используя функцию
CoprimeQ:
Уберем все значения False, заменив их значением Nothing:
Затем рассчитаем длину Length полученного списка:
И объединим все шаги в одно выражение:
Символьные выражения зачастую поддаются прямым подходам. Пусть задано положительное целое число k, можно ли найти общую формулу для суммы 1k+2k+...+nk?
Решение для k=2:
Общее решение - это n-ое гармоническое число порядка −k:
Используя встроенную графику, также легко можно решить и визуализировать геометрические задачи. Рассмотрим следующую фигуру:
При заданной длине основания n, возможно ли заполнить данную фигуру такими же фигурами но с длиной основания 1?
Решение для n=2:
Решение для n=3:
Известные задачи и головоломки доступны через естественную форму ввода:
Большое число различных углубленных примеров доступно на Wolfram Demonstrations Project.
Интерактивные модели ↑top↑
Функция Manipulate позволяет создавать интерактивные объекты для исследования их поведения
в реальном времени:
Одна функция Manipulate может включать в себя несколько контроллеров, а Язык Wolfram
автоматически выбирает для них оптимальное расположение:
Любое выражение на Языке Wolfram можно сделать интерактивным, а не только объекты визуализации:
Математическая нотация ↑top↑
Используйте комбинации клавиш (такие как CTRL + / для ввода обыкновенных дробей) для создания заполняемых математических шаблонов (нажмите на один из квадратиков, чтобы ввести значение, затем нажмите клавишу TAB для перемещения между полями):
Простой способ ввода степени (CTRL + 6) или нижнего индексы (CTRL + -) и других стандартных выражений.
При нажатии клавиши ESC в рабочем документе появляется символ ⋮, который обозначает начало ввода специальных комбинаций клавиш ⋮условное обозначение⋮ (зачастую в документации присутствует следующее обозначение ESCусловное обозначениеESC).
При вводе правильного условного обозначения, выражение автоматически заменяется на нужный шаблон после повторного ввода символа ⋮ (условное обозначение для “частной производной” - “pd”):
Суммы, интегралы и другие подобные выражения генерируются следующим образом (условное обозначение для “определенного интеграла” - “dintt”):
Многие греческие буквы и другие специальные символы также доступны через эту форму.
В рабочем документе на локальном компьютере Вы можете выбрать пункт меню “Basic Math Assistant” из Меню Palettes для обзора доступных шаблонов.
При нажатии на кнопку с шаблоном, он автоматически подставляется на место текущего положения курсора:
Используем функцию TraditionalForm для отображения любого выражения в традиционной
математической нотации:
Существующие ячейки можно перевести в TraditionalForm, используя комбинацию клавиш
SHIFT + CMD + T (выражения, представленные в TraditionalForm,
также являются вычислимыми):
